Kumano, Shunzo

Nagai, Takahiro

クマノ, シュンゾウ

ナガイ, タカヒロ

永井, 崇寛

熊野, 俊三

Saga University Institutional Repository

Reports of the Faculty of Science and Engineering,Rep. Fac. Sci. Engrg.
Saga Univ
32-2 (2003),
Saga University, Vol. 32, No.2, 2003
Mellin変換を用いたDGLAP方程式の数値解析
永井崇寛・熊野俊三
Numerical analysis of DGLAP equations
by using Mellin transformation
By
Takahiro NAGAI and Shunzo KUMANO
Abstract: We investigate numerical solution for the DGLAP Q2 evolution equations by using
the Mellin transformation. The evolution equations are complicated integrodiﬀerential equa-
tions, which are often used in analyzing high-energy hadron scattering data. The numerical
solution is discussed in comparison with the solution by a “brute-force” method. We ﬁnd that
the Mellin-transformation method could be an accurate and fast one, although we should be
careful about the accuracy in the small- and large-x regions.
Key words: Parton, Quark, Gluon, Q2 evolution, QCD, Nucleon
1 序論
核子の内部構造を調べる手段の一つとして高エネ
ルギーレプトン・核子散乱の実験研究が行われてき
た。その散乱断面積を測定することにより、核子の
構造関数が求められる。一般的に、構造関数は２つ
の変数 xとQ2の関数として表される。これらの変数
は運動量移行 qと核子運動量 pを用いて Q2 = −q2,
x = Q2/(2p · q)と定義される。実験で測定された構
造関数を解析することにより、核子内のパートン分
布が定まる。
構造関数とパートン分布のQ2依存性はスケーリン
グの破れとして知られており、この現象は DGLAP
(Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi) Q2 発
展方程式によって記述される。実験値は様々な Q2
の値で求まっており、これらを解析する際には Q2の
違いを考慮する必要がある。この様な高エネルギー
反応の解析に Q2 発展方程式は頻繁に用いられるた
め、その正確な解を求めることは応用上重要な課題
である。しかし、DGLAP方程式は摂動高次項を含
めると複雑な微積分方程式となっており、容易に数
値解を求めることができない。
我々の研究室では過去に Q2発展方程式を “Brute-
force”の方法 [1]や Laguerre多項式の方法 [2]で解く
平成１５年１１月１日受理
工学系研究科物理科学専攻
c© 佐賀大学理工学部
研究をした。しかし、小さい xにおいて精度が落ちる
問題や計算時間が長いなどの問題があった。そこで、
本研究では Mellin変換を利用した数値解法 [3]を研
究し、文献 [1]の方法を用いた結果と比較した。
本論文は以下の様に構成されている。第２章で Q2
発展方程式を示し、数値解法として Brute-forceの方
法とMellin変換の方法を説明する。第３章でMellin
変換法の結果を説明し、２つの方法の結果を比較検
討する。第４章に研究成果をまとめる。
2 DGLAP方程式の数値解法
2.1 Q2発展方程式
Q2 発展方程式は分岐関数 (P ) とパートン分布
(qi, g)で記述される。分岐関数は摂動論的量子色力
学を用いて計算でき、パートン分布は様々な高エネ
ルギー散乱の実験データを解析して得られる。まず、
発展方程式を簡略化するために変数 Q2を次の変数
t = − 2
β0
ln
[αs(Q2)
αs(Q20)
]
(1)
に変換する。ここで β0は
β0 =
11
3
CG − 43TRNf , CG = Nc, TR =
1
2
(2)
永井崇寛, 熊野俊三
で定義され、NcとNfは色数とフレーバー数である。
摂動の最低次においては実効結合定数は
αs(Q2) =
4π
β0 ln(Q2/Λ2)
(3)
であり、Λは量子色力学のスケール・パラメータで
ある。
変数 xと tを用いて、フレーバー iの非１重項分
布 qNS = qi − q¯iに対する DGLAP方程式は
∂
∂t
qNS (x, t) =
∫ 1
x
dy
y
Pqq
(x
y
)
qNS (y, t) (4)
となる。これは特に価クォーク分布の Q2発展に使用
される。クォーク分布と反クォーク分布との総和で
表されるフレーバー１重項分布 q
S
=
∑
i(qi + q¯i)は
グルーオン分布 gと結びついた微積分方程式として
表される。
∂
∂t
(
qS (x, t)
g(x, t)
)
=
∫ 1
x
dy
y
(
Pqq(x/y) NfPqg(x/y)
Pgq(x/y) Pgg(x/y)
)(
qS (y, t)
g(y, t)
)
(5)
これは連立方程式になっているので、フレーバー非
１重項の式 (4)と比べると多少複雑である。しかし、
基本的な解き方は非１重項の場合と同様であるため、
以下には非 1重項の数値解法のみを説明する。
2.2 Brute force
Brute-forceの方法とは xおよび tを Nx, Nt 個の
小さいステップにそれぞれ分割して単純に微分と積分
を行う方法である。この方法は数値積分法としては簡
単すぎるように考えられるが、単純であるがゆえの利
点がある。例えば、Q2発展に高次ツイストの効果を
含んだ方程式は、Mellin変換の方法では解くことが
できず、また直交多項式で展開する方法でも解くこと
ができない。その様な方程式の数値解は Brute-force
法によって容易に求めることができる。また、数値
計算のプログラムを作成する場合、単純であるがゆ
えに誤りをする可能性が小さく、新しい数値解法を
研究する場合の確認プログラムとして使用できる利
点もある。
この方法では tの微分、及び xの積分を
df(x, t)
dt
⇒ f(xi, tj+1)− f(xi, tj)
∆tj
(6)
∫
dxf(x, t)⇒
Nx∑
k=1
∆xkf(xk, tj) (7)
の様に近似して数値計算を行う。ただし、∆tj =
tj+1 − tj , ∆xk = xk − xk−1 である。よって、非
１重項分布の tj から tj+1への Q2発展は単に
q
NS
(xi,tj+1) = qNS (xi, tj)
+ ∆tj
Nx∑
k=i
∆xk
xk
Pqq
( xi
xk
)
qNS (xk, tj) (8)
の計算となる。初期 t1 = 0におけるパートン分布が
与えられれば、∆t1後の t2におけるパートン分布が
求まる。このステップを Nt − 1回繰り返すと最終的
な tNt の分布が決まる。これは簡単な方法だが、十
分正確な数値解を求めるためには Nxと Ntを大きく
取らなければならない。しかし、構造関数はゆるや
かに変数 tに依存しているため、Ntは Nxと比較し
て大きく取る必要はない。
2.3 Mellin変換
Q2発展方程式 (4)の右辺は畳み込み積分で表され
ており、この部分の取り扱いが発展方程式を解くた
めには重要である。一般的にこの様な積分は Mellin
変換を使用すれば、変換された関数の単なる積とな
ることが知られている。従って、面倒な積分を単純
な積にすることが可能で、数値解を求めるために非
常に有用であることが予想できる。一般的な分布関
数 f(x)のMellin変換は
fˆ(s) =
∫ 1
0
xs−1f(x) dx (9)
で定義される。ここで分布関数は f(x ≥ 1) = 0で
あるため、積分の上限は１とした。この fˆ(s)を関数
f(x)のモーメントと呼ぶ。
Q2発展方程式 (4)のMellin変換を取ると、左辺は
非１重項分布のモーメントの微分となり、右辺は非
１重項分布と分岐関数のモーメントの積となる。
∂
∂t
qˆ
NS
(s, t) = Pˆqq(s) qˆNS (s, t) (10)
これは単純な微分方程式で、解は
qˆ
NS
(s, t) = exp[Pˆqq(s)t] qˆNS (s, t = 0) (11)
となる。従って、モーメントのQ2発展は初期分布と
分岐関数のモーメントがわかれば、簡単に計算する
ことができる。しかし、実験結果との比較や理論の
模型計算をする場合は、xで表された分布関数で示
さなければならない。そのためには逆Mellin変換
qNS (x, t) =
1
2πi
∫ c+i∞
c−i∞
ds x−s qˆNS (s, t) (12)
Mellin変換を用いた DGLAP方程式の数値解析
を計算する必要がある。ここで cは実定数であるが
f(x)xc−1が絶対積分可能である必要がある。更に φ
を実定数として、変数 sを s = c+zeiφとおくことに
より sから実変数 zに積分変数を変換する。これは
積分経路を図 1の様に取ることに相当し、逆変換は
q
NS
(x, t) =
1
π
∫ ∞
0
dz Im
[
exp(iφ)x−c−ze
iφ
× exp (Pˆqq(s)t) qˆNS (s, t = 0) ] (13)
となる。
Re (s)
Im (s)
c
φ
s = c + z eiφ
Fig. 1: Integration contour of the Mellin inversion
積分路は図の定数 cと角度 φによって特定される。
積分は基本的には cや φに依存しないため、式 (13)
を数値積分しやすいように設定すれば良い。特に、φ
の値を調整して、被積分関数の値を zが大きくなる
につれて急速に小さくなるように設定すれば、積分
の上限をある有限値 zmax で打ち切ることができる。
そこで、被積分関数の中にある
x−c−ze
iφ
=exp(c log
1
x
) exp(z cosφ log
1
x
)
× exp(i sinφ log 1
x
) (14)
に着目する。変数 xは 0 < x < 1 の範囲内である
ため、zが大きくなるにつれて因子 exp(z cosφ log 1x)
が急激に小さくなるためには 90◦ < φ < 180◦の範囲
内で φを取れば良いことがわかる。ただし、90◦の場
合には cosφ = 0となり、上記因子が１となり被積分
関数が大きい zで収束しないため注意する必要があ
る。90◦ < φ < 180◦の範囲内で φを変えて数値計算
を行った結果、90◦と 180◦付近を除けば φを変えて
も数値解に影響しないことを確かめた。従って、以
後は φ = 135◦と固定して結果を示す。また、cの取
り方による依存性を調べるために、その値を１から
５まで変えてみた結果、cが３を超えると精度に問題
が生じることがわかった。この様な検討から c = 1.1
と固定するすることにした。
方程式 (13) は実関数の積分であり、この積分を
Gauss-Legendre求積法を用いて数値計算をする。定
数を c = 1.1, φ = 135◦と固定し、xを 10−5から 0.9
まで変化させた場合、被積分関数の絶対値は z = 30で
10−5以下となり十分小さいと判断できるため、積分
の上限値を zmax = 30とした。この様にして、Mellin
変換を用いた数値解析で、最終的に計算精度を決定
する要因は Gauss-Legendre積分のポイント数 NGL
である。この NGL依存性を次章の結果に示す。
3 結果
今回の報告では摂動最低次のQ2発展方程式を用い
た解析結果を示す。ここでは積分のポイント数NGL
を変化させ、精度がどのように変わるかを調べた。結
果の比較検討をするために、Q2=1 GeV2で与えられ
るMRST02 [4]の初期分布を Q2=100 GeV2 まで発
展させて数値解を比較した。スケール・パラメータは
MRST02解析で得られた Λ=0.220 GeVを使用した。
Brute-forceの方法において Nt=200, Nx=4000の
分割を使用すれば、精度が１%以内であることが文
献 [1]の研究により判明しているため、それを基準と
して Mellin変換法による数値解の精度を評価する。
つまり、Mellin変換で求めた Q2=100 GeV2 におけ
る分布と Brute-forceで求めた分布の比として結果を
図を表す。非１重項分布の Q2発展結果を Fig. 2に、
１重項分布の結果を Fig. 3に、グルーオン分布の結
果を Fig. 4に示す。
これらの図よりGauss-Legendre積分のポイント数
NGLが少ない場合、つまり１０や２０ポイントでは
十分な精度が得られないことがわかる。特に、その傾
向は小さい xや大きい x領域で明らかである。５０
ポイントから８０ポイント取れば、10−5 < x < 0.5
の領域で正確な数値計算となっていることがわかる。
しかし x = 1に近い、大きい x領域では正確な数値
計算となっていない。この原因は x→ 1の場合、式
(14)において log(1/x)が０となり、zが大きくなって
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
x
Q  GeV2 2100=
nonsinglet:  v vx u d( )+
80
50
20 NGL=10
Mellin transformation 
x
u v
+d
v
Me
llin
/x
u v
+d
v
BF
(Nt
=
200
,Nx
=
400
0)
Fig. 2: Accuracy for the Q2 evolution of xq
NS
永井崇寛, 熊野俊三
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
x
singlet: xq sQ  GeV2 2100=
Mellin transformation
  
80
  
50
  
20
 xq
sM
ell
in /x
q s
BF
(N
t=2
00
,
Nx
=
40
00
)
NGL=10
Fig. 3: Accuracy for the Q2 evolution of xq
S
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
x
 
xg
M
ell
in /x
g
BF
(N
t=2
00
,
Nx
=
40
00
)
 
Mellin transformation
8050
20
NGL=10singlet: xg 
Q  GeV2 2100=
Fig. 4: Accuracy for the Q2 evolution of xg
も被積分関数が収束しないことが原因と考えられる。
この様に小さい xや大きい x領域で多少精度に問題
はあるが、NGLを５０以上に取ることにより精度良
い数値計算法として採用できる。また、計算時間を
短縮できる利点があることもわかった。Brute-force
法と比較すると、NGL=50を取った場合に計算時間
は約半分となる。従って、積分の上限 zmaxを工夫し
て NGLを小さく取れる様にすれば、更に効率よい計
算方法になると考えられる。
最後に、小さい xや大きい x領域での問題点を明
示するために、(13)式の被積分関数を図 5に示す。小
さい xでは (x = 10−3, 10−5) 関数が急激に振動して
いるため、正確に数値積分をするためにはポイント
数 NGLを多く取らなければいけないことがわかる。
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
z
x = 0.9
0.1 0.001
0.00001
   
1 π
Im
ex
p
iφ
x
–
s
ex
p
P q
q(s
)t
q N
S(s
,t
=
0)
Fig. 5: Integrand of Eq. (13)
大きい xにおいては zが増しても関数が小さくなら
ない特徴があり、zmaxを更に大きく取る必要性が出
てくる。また、x = 0.9の曲線からわかるように、正
の分布と負の分布の積分がほぼ同じで打ち消し合っ
ている。これは数値計算において桁落ちを意味し、精
度が悪くなる原因となっている。
4 まとめ
Mellin変換を用いてQ2発展方程式の数値解を研究
した。Mellin変換により分布関数のモーメントのQ2
変化を容易に計算することができる。このモーメント
を xの分布に戻すために逆Mellin変換をするが、こ
の部分に Gauss-Legendre求積法を用いた。複素平面
内の積分経路を工夫することにより、正確な数値解が
求まることがわかった。特に、Brute-forceの数値解法
と比較して数値解の精度を示した。Gauss-Legendre
積分のポイント数NGLとしては５０程度取れば十分
良い精度となることが判明した。ただし、小さい x
と大きい x領域で多少精度が落ちる問題があり、数
値解法に関して更なる工夫が必要である。
参考文献
[1] M. Miyama and S. Kumano, Comput. Phys.
Commun. 94 (1996) 185.
[2] S. Kumano and J. T. Londergan, Comput.
Phys. Commun. 69 (1992) 373.
[3] M. Glu¨ck, E. Reya, and A. Vogt, Z. Phys. C48
(1990) 471; D. Graudenz et. al., Z. Phys. C70
(1996) 77; S. Kumano and T.-H. Nagai, re-
search in progress.
[4] A. D. Martin, R. G. Roberts, W. J. Stirling,
and R. S. Thorne, Phys. Lett. B531 (2002) 216.


MELLIN ヘンカンオモチイタ DGLAP ホウテイシキノスウチカイセキ

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