Se presenta aquí la factorización de polinomios, concentrándose especialmente en factorización de polinomios utilizando las fórmulas notables y llegando por medio de ellas a la fórmula general para factorizar polinomios de grado dos

Schmidt, Sandra

Funes

Artículo de secciónRevista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, No 1. Agosto − Febrero 2012.Factorización de polinomios.Sandra Schmidt Q.sschmidt@tec.ac.crEscuela de MatemáticaInstituto Tecnológico de Costa Rica1.1 IntroducciónSe presenta aquí la factorización de polinomios, concentrándose especialmente en factorización de polinomiosutilizando las fórmulas notables y llegando por medio de ellas a la fórmula general para factorizar polinomiosde grado dos.Los polinomios son expresiones algebraicas donde se combinan monomios a través de la adición y sustracción.Pero, qué cosa son los monomios? Pues bien, son expresiones donde se combinan variables, representadaspor letras de nuestro abecedario y números reales. Sin embargo, esta combinación no es al azar. Para que seamonomio los exponentes de las variables deben ser positivos y es el producto quien une variables y númerosreales.Según lo que se define anteriormente como monomio, responde: de las expresiones siguientes cuáles corre-sponden a monomios?1. −3xy 2.√5x2 +3x 3. 4x2y4. 4a13 5.√2ab 6.−3a2b4La combinación de dos monomios por adición o sustracción se le suele llamar binomio. Si se combinantres monomios por adición o sustracción se les llama trinomios. Bueno, el asunto de los nombres se puedesimplificar si les llamamos simplemente polinomios.Ahora, otra vez responde según la información anterior: de las expresiones siguientes cuáles corresponden apolinomios?1. −3z3−8z+ y 2. √5x2 +3x−4 3. 2x−3y4.43x12 + x−2 5. 2x−3√z 6. 5b2−3ay2−8yPodemos tener polinomios en varias variables o polinomios en una variable. Trataremos solamente a lospolinomios en una variable. Además, muchas veces para simplificar el lenguaje escrito les ponemos nombrestales como: p(x),q(x),r(x), etcétera, con minúscula y otras con mayúscula: P(x), Q(x), R(x) .2 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 12, No 1. Agosto− Febrero 2012.Ejemplos de lo anterior son:a) P(x) =√5x2 +3x−4b) Q(x) = 3x5−1c) q(x) = 2x4 +3x2− 12.Por ahora nos interesa la factorización de polinomios de grado dos. Estudiaremos esto por casos. Por cierto,qué significa factorizar un polinomio?Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que almultiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.1.2 Factorización por factor comúnObserva lo que hay en común en la representación siguiente, toma en cuenta que las estrellas representanvalores reales:+La estrella azul se repite en ambos sumandos, por lo que podemos escribir la expresión anterior como sigue:+( )Esta visualización nos ayuda a recordar la propiedad distributiva de la adición con respecto a la multiplicación.La cual establece que:ac+bc= (a+b)cVeamos otros ejemplos.+La estrella azul se repite, por lo menos, dos veces en cada sumando, así podemos representar esa expresión,nuevamente por la propiedad distributiva de la adición con respecto a la multiplicación, de la manera siguiente:+( )Uno más:Revista digital Matemática, Educación e I nternet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 12, No 1. Agosto− Febrero 2012. 3+ -Luego tendríamos:+ -( )Ahora, utilizando la representación simbólica del álgebra, considera que la ilustración anterior, figura (3) yfigura(4), se puede expresar así:9x2−12x3 = (9−12x)x2Esto que hemos estado haciendo corresponde a la factorización por factor común. Ahora respondamos lasiguiente pregunta: por qué también se cumple que 9x2−12x3 = x2 (9−12x)?. Observemos ahora las repre-sentaciones de la figura (5) y la figura (6), debes tener que:9x3−12x4 +16x5 = (9−12x+16x2)x3 (I)Podríamos entonces tener la regla siguiente:Factorizando por factor común significa: que debe haberuna variable que se repite en todos los sumandos del poli-nomio y el factor común será aquella variable común conel menor exponente.Ejemplos:a) 4a3−2a2y+6a= 2a(2a2)−2a(ay)+2a(3) = 2a(2a2−ay+3)b)53a3 +49a2b2− 76ab3 =13ab(5a2)+13ab(43ab)− 13ab(72b2)=13ab(5a2 +43ab− 72b2)c) x(y− z)−w(z− y) =−x(z− y)−w(z− y) = (z− y)(−x−w)La factorización de polinomios puede realizarse combinando diferentes tipos de factorización. El ejemplo(I) nos permitió factorizar por factor común pero, será posible factorizar el polinomio de grado dos que seencuentra dentro de los paréntesis? La respuesta es sí.1.3 Factorización por fórmulas notables o productos notablesAntes de seguir adelante recordemos unas fórmulas, que generalmente llamamos fórmulas notables o pro-ductos notables. Aplicando la distributividad puedes verificar los productos.1. (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2 +2ab+b24 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 12, No 1. Agosto− Febrero 2012.2. (a−b)2 = (a−b)(a−b) = a2−2ab+b2Continuemos la factorización por fórmulas notables o productos notables. Una primera factorización que sepresenta en (I) es:P(x) = 9x3−24x4 +16x5 = (9−24x+16x2)x3Vimos que corresponde a la factorización por factor común, sin embargo, no es una factorización completa.Dentro del paréntesis tenemos un trinomio de grado dos, al cual llamaremos R(x) = 9−24x+16x2.Éste se parece a:a2−2ab+b2 = (a−b)(a−b)puesR(x) = 9−12x+16x2 = 32−2(3)(4x)+(4x)2por lo tanto se tiene que:R(x) = (3−4x)(3−4x) = (3−4x)2Ahora podemos decir que P(x) = 9x3−24x4 +16x5 se factoriza completamente como:P(x) = (3−4x)(3−4x)x3Factorizar utilizando fórmulas notables o productos notables es en realidad reconocer la forma de cada unode los componentes de un trinomio de grado dos. Más adelante veremos que estos componentes no estáncompletos por lo que se hace necesario recurrir a otros métodos de factorización.Ejemplos:a) R(x) = 4x2−4x+1 = (2x)2−2(2x)(1)+12 = (2x−1)(2x−1) = (2x−1)2b) Q(x) = x2−22x+121 = x2−2(x)(11)+(11)21.4 Factorización por agrupaciónAlgunas veces tenemos polinomios que tienen cuatro términos, como por ejemplo:Q(x) = 18x3 +12x2−15x−10El polinomio no tiene factor común, sin embargo en algunos casos, se pueden hacer grupos, en este casoharemos dos grupos:Revista digital Matemática, Educación e I nternet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 12, No 1. Agosto− Febrero 2012. 518x3 +12x2 y −15x−10entonces podemos realizar para cada una de las expresiones una factorización por factor común:6x2(3x+2) y −5(3x+2)así:Q(x) = 6x2(3x+2)−5(3x+2) = (3x+2)(6x2−5) ( ) ( ) ( )235236 2 +−+= xxxxQ( )23 +x( )=xQ ( )56 2 −xEntonces como el nombre lo dice, factorización por agrupación significa hacer grupos, pero ten cuidado, noes cualquier tipo de grupos.Bueno hasta aquí tenemos una factorización para Q(x). Ahora, la pregunta es si es la factorización completade Q(x), la respuesta es no. El factor de segundo grado del polinomio es factorizable, sin embargo, antes dever su factorización echemos una mirada a la propiedad siguiente:a2−b2 = (a−b)(a+b)Ésta se conoce generalmente como otro de los productos notables o fórmulas notables. Una justificación paraesta propiedad se muestra a continuación.Considere las representaciones siguientes:Dibujemos un cuadrado cuyo lado mide dentro de uncuadrado donde la medida del lado es a (como lo muestrala figura de la derecha) cuya área es a2.a - b baaa - bbAhora, si recortamos un cuadrado de lado b, el área de lafigura restante será a2−b2. (8)2aaa -  b2a - ba - bbb6 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 12, No 1. Agosto− Febrero 2012.Así, al juntar las secciones A y B de tal forma que obten-gamos ... aaa - ba - bbbbbAB... un rectángulo cuyos lados tienen medidas a+ b ya−b su área estará dada por (a+b)(a−b). (9)+ baaa-ba-bbbaAB Por último si observas lo expuesto en las figuras (8) y (9) podemos concluir:a2−b2 = (a+b)(a−b) (II)Otra manera desde el punto de vista algebraico, de visualizar esta propiedad es recurriendo a la distributividad,partiendo de la derecha de (II) : =  a2 + ab - ba  -  b2a - b( ) a + b( )  = a2 - b2Ahora, volviendo al polinomio en (10), es decir,Q(x) = (3x+2)(6x2−5) tenemos que 6 = (√6)2 y 5 = (√5)2entonces:(6x2−5) = (√6x)2− (√5)2 = (√6x−√5)(√6x+√5)A la última factorización se le suele llamar factorización por diferencia de cuadrados. Podemos ver entoncesque la factorización completa de Q(x) es:Q(x) = (3x+2)(√6x−√5)(√6x+√5)1.5 Factorización de un polinomio de segundo grado en una variableHay polinomios que tienen características particulares como los de grado dos, que pueden ser factorizadosutilizando otras técnicas además de las que ya hemos visto. Veremos en esta sección dos maneras una porinspección y la otra llamada factorización por fórmula general.Revista digital Matemática, Educación e I nternet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 12, No 1. Agosto− Febrero 2012. 71.6 Factorización por inspecciónLa factorización de un polinomio de segundo grado en una variable en el conjunto de los números realespuede realizarse, cuando es posible, utilizando la inspección, en P(x) = x2 +bx+ c y Q(x) = ax2 +bx+ c ,donde a, b, c representan números reales.Así, sea P(x) = x2 +bx+ c, con b, c ∈ R. Note que si desarrollamos el producto P(x) = (x+A)(x+B) =x2 +(A+B)x+A ·B, nos lleva a la regla siguiente:Si el polinomio P(x) se factoriza entonces la suma de A y B es igual a b y el producto de A y B esigual a c.Veamos como funciona,a) Sea P(x) = x2 +7x+12.Observe que las constantes 7 y 12 son positivas, por lo queA yB, son ambos positivos. Las posibilidadesde 7 y 12 son como se muestra en la tabla siguiente:12  BA ⋅  34 ⋅  62 ⋅  121 ⋅  7  BA +  34 +  61+  61 +      Esta es nuestra escogenciaPor lo tanto P(x) = (x+4)(x+3)b) Sea Q(x) = x2 +5x−24.Observe que las constantes 5 y −24, una es positiva y otra negativa por lo que: A es positivo y mayorque B , el cual debe ser negativo. Hagamos una tabla:24−  BA ⋅  46 −⋅   38 −⋅  212 −⋅  5  BA +  ( )46 −+   ( )38 −+  ( )212 −+     Esta es nuestra escogencia8 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 12, No 1. Agosto− Febrero 2012.Por lo tanto P(x) = (x+8)(x−3)c) Sea M(x) = x2−3x−10.Observe que las constantes −3 y −10 ambas negativas por lo que: A es positivo y menor que B ,envalor absoluto, el cual debe ser negativo. Hagamos una tabla:10−  BA ⋅  52 −⋅   101 −⋅  3−  BA +  ( )52 −+   ( )101 −+          Esta es nuestra escogencia Por lo tanto P(x) = (x+2)(x−5)d) Sea M(x) = x2−10x+21.Observe que las constantes y una es negativa y otra positiva por lo que: es positivo y menor que , elcual debe ser negativo. Hagamos una tabla:21  BA ⋅  37 −⋅−   211 −⋅−  10−  BA +  ( )37 −+−   ( )211 −+−                    Esta es nuestra escogencia Por lo tanto M(x) = (x−7)(x−3)En general, realizar la inspección en el caso , P(x) = ax2 +bx+ c, con a,b, c ∈ Rno es práctico, pues consiste en realizar una serie de pruebas hasta encontrar los valores que corresponden.Este caso no se presenta aquí. Sin embargo, vamos a estudiar un procedimiento mucho menos complicado yque llamaremos factorización por fórmula general.1.7 Factorización por fórmula generalEstudiar la fórmula general requiere conocer un aspecto importante que se relaciona con la factorización depolinomios. Éste es el Teorema del factor.Teorema 1.1 (Teorema del Factor) Sea c ∈ R y P(x) un polinomio entonces P(c) = 0 si y solo sí (x− c) esun factor de P(x).Un polinomio de grado dos en forma general es: P(x) = ax2 +bx+ c, con a, b, c ∈ R. Factorizarlo implicautilizar alguna de las fórmulas notables o productos notables que mencionamos anteriormente, así:Revista digital Matemática, Educación e I nternet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 12, No 1. Agosto− Febrero 2012. 9ax2 +bx+ c = a(x2 +bxa+ca)= a[x2 +2(x)(b2a)+ca]completando cuadradosObserve que= a(x+ b2a)2−√( b2a)2− ca2 (x+ b2a)2= x2 +2(x)(b2a)+(b2a)2= ax+ b2a+√(b2a)2− cax+ b2a−√(b2a)2− ca= a(x+b2a+√b2−4ac2a)(x+b2a−√b2−4ac2a)= a(x +b+√b2−4ac2a)(x − b−√b2−4ac2a)Observa que la factorización de P(x) = ax2 +bx+ c ya está hecha, por lo que sus ceros son:x=−b+√b2−4ac2ay x=−b−√b2−4ac2a(III)lo cual conocemos como la fórmula general para factorizar un polinomio de grado dos en el conjunto de losnúmeros reales. Formalizando lo anterior tenemos,Teorema 1.2 Sea P(x) = ax2 +bx+ c, con a, b, c ∈ R y sea ∆= b2−4ac, llamado discriminante,a) Si ∆ > 0 entonces P(x) = ax2 + bx+ c posee dos ceros distintos: x =−b+√b2−4ac2ay x =−b−√b2−4ac2ay por el teorema del factor se tiene que:P(x) = a(x− −b+√b2−4ac2a)(x− −b−√b2−4ac2a).b) Si ∆ = 0 entonces P(x) posee dos ceros iguales, x=− b2ay por el teorema del factor se tiene que:P(x) = a(x− −b2a)(x− −b2a).c) Si ∆ < 0 entonces P(x) no posee ceros en el conjunto de los números reales, por lo que no seríaposible factorizarlo en este conjunto.Algunos ejemplos:Factoriza en el conjunto de los números reales los polinomios siguientes.10 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 12, No 1. Agosto− Febrero 2012.a. P(x) = 3x2−4x−1Como ∆= (−4)2−4(3)(−1) = 28 entonces tiene dos ceros distintos, a saber:x=−(−4)+√282(3)=4+√7 ·42(3)=4+2√72(3)=2+√73yx=−(−4)+√282(3)=4−√7 ·42(3)=4−2√72(3)=2−√73Luego P(x) = 3(x− 2+√73)(x− 2−√73).b. Q(x) = 4x2 +4x+1Como ∆= (−4)2−4(4)(1) = 0 entonces tiene dos ceros iguales, a saber: x= −(4)2(4)=−12Luego Q(x) = 4(x− −12)(x− −12)= (2x+2)(2x+2).c. R(x) =−2x2 +2x−6Como ∆ = (2)2− 4(−2)(−6) = −44 entonces no es posible factorizar a R(x) en el conjunto de losnúmeros reales.Bibliografía[1] Swokowski,Earl. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoaméricana. 2da edición. Méx-ico. 1989.[2] Spiegel, Murray. Theory and Problems of College Algebra. McGraw-Hill; 2da edition. 1997.Factorización de polinomios.. Sandra Schmidt Q.Derechos Reservados© 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)

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