En este taller se analizan dos tareas (Casa de cambio y Progresión geométrica) planteadas en sendas cartillas del proyecto “Juega y Construye la Matemática”, para la Educación Básica Primaria y Secundaria. Con este se pretende evidenciar que el pensamiento variacional es transversal al currículo y no siempre aparece de manera explícita en la actividad matemática del aula de clase

Benavides, Gloria

Guacaneme, Edgar Alberto

Gómez, Julian

Navarro, Ninfa

Orozco, José

Realpe, Germán

Spanish

Funes

?? 914El pensamiento variacional: un asunto de juego  y actividad matemática en la escuelaJulián Ricardo Gómez* José Luis Orozco** Germán Darío Realpe*** Gloria Benavides**** Ninfa Navarro***** Edgar Alberto Guacaneme******RESUMENEn este taller se analizan dos tareas (Casa de cambio y Progresión geomé-trica) planteadas en sendas cartillas del proyecto “Juega y Construye la Matemática”, para la Educación Bá-sica Primaria y Secundaria. Con este se pretende evidenciar que el pen-samiento variacional es transversal al currículo y no siempre aparece de manera explícita en la actividad ma-temática del aula de clase.Palabras clave: pensamiento va-riacional, juego, actividad matemá-tica, formación de profesores, desa-rrollo del pensamiento matemático, razonamiento.* Colegio Champagnat. Dirección electrónica: juliangomez@colegiochampagnat.edu.co** Colegio Champagnat. Dirección electrónica: joseluisorozco@colegiochampagnat.edu.co*** Colegio Champagnat. Dirección electrónica: germanrealpe@colegiochampagnat.edu.co**** Colegio Champagnat. Dirección electrónica: gloriabenavides@colegiochampagnat.edu.co***** Colegio Champagnat. Dirección electrónica: ninfanavarro@colegiochampagnat.edu.co****** Universidad Pedagógica Nacional. Dirección electrónica: guacaneme@pedagogica.edu.coEL PENSAMIENTO VARIACIONAL: UN ASUNTO DE JUEGO Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN LA ESCUELA?? 915PRESENTACIÓNEl proyecto “Juega y Construye la Matemática”, propio de la Comunidad de Hermanos Maristas de la Enseñanza, dentro de sus producciones escritas posee una serie de cartillas de matemáticas, que expresan el currículo de prescolar a undécimo grado, en las que se formulan algunas tareas para los estudiantes, a través de las cuales se busca generar actividad matemática en ellos y así permitir la construcción y apropiación de las matemáticas es-colares. Actualmente estas cartillas son objeto de estudio por parte de un grupo de profesores de matemáticas del Colegio Champagnat de Bogotá, a través de lo cual se pretende indagar si el pensamiento variacional está siendo atendido y promovido por las tareas allí propuestas y en qué medida es transversal al currículo. El objetivo de este taller es compartir la metodología de estudio de las tareas y propiciar, en los asistentes, reflexiones y aprendizajes de orden didáctico y matemático sobre el pensamiento variacional.REFERENTE TEÓRICOEl proyecto “Juega y Construye la Matemática” se sustenta en los postulados de un enfoque constructivista, pero su tendencia es hacia un constructivismo blando; además, está orientado por los principios de globalidad (se requiere de una acción pedagógica global capaz de afectar la totalidad de su pensa-miento), integralidad (es necesario considerar no solo el aspecto cognitivo del estudiante, sino también las diferentes facetas de su subjetividad), lo lúdico (el acercamiento al conocimiento matemático debe resultar placentero), re-conocimiento de la diferencia (el acceso al conocimiento se debe dar desde el nivel de sus propias elaboraciones), construcción social del conocimiento (el conocimiento se construye en comunidades); y lo tecnológico (la construcción de conocimiento se da a través de mediaciones tecnológicas). Esta perspectiva se corresponde ampliamente con lo expuesto en la norma-tiva nacional curricular para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (MEN, 1998, 2006) y pretende efectivamente promoverse a través de las tareas que se incluyen en las cartillas que orientan las acciones docentes y discentes en las aulas de clase. De manera análoga, las tareas de estas carti-llas pretenden atender tanto los contenidos, como promover el desarrollo de los distintos pensamientos matemáticos enunciados en dicha normativa. Sin embargo, este marco de intenciones puede no ser suficientemente explícito para los profesores de matemáticas, al igual que las estrategias, conteni-?? 916dos y pensamientos implicados en las tareas propuestas. En este orden de ideas, se reconoce que el estudio de las tareas ofrece una oportunidad para el aprendizaje docente, que puede redundar en el desarrollo de una mayor conciencia sobre el quehacer profesional.Para desarrollar este estudio se ha decidido seleccionar inicialmente el pensamiento variacional y considerar los planteamientos hechos en la norma-tiva curricular (MEN, 1998, 2006), así como acopiar un marco de referencia sobre el razonamiento variacional (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen, & Hsu, 2003).Un primer planteamiento, que se convierte en hipótesis de trabajo y, a la vez, en hipótesis objeto de estudio es la afirmación de que el pensamiento variacional es un eje curricular transversal a los grados escolares y que su estudio se inicia muy temprano en esta escolaridad. En esta dirección, entre otras ideas, se propone el estudio de “… situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica… [o] … el estudio de los patrones” (MEN, 1998, p. 50) como una manera de acceder a las relaciones funcionales en donde “… emerge la función como herramienta de conocimiento necesaria para enlazar patrones de variación entre variables y para predecir y controlar el cambio” (p. 51).Una segunda hipótesis se refiere al planteamiento de que el pensamiento variacional es uno de los logros para alcanzar en la Educación Básica, que … presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos fragmen-tados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un campo conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas (MEN, 1998, p. 49). En esta dirección se reconoce que el pensamiento variacional está relacio-nado con nociones y conceptos como: constante, variable, función, razón o tasa de cambio, dependencia e independencia de una variable con respecto a otra, modelos funcionales, relaciones de desigualdad, y ecuaciones e inecuaciones.Un tercera hipótesis, conectada estrechamente con la anterior, se refiere a que “El pensamiento variacional se desarrolla en estrecha relación con los otros tipos de pensamiento matemático (el numérico, el espacial, el de medida o métrico y el aleatorio o probabilístico) y con otros tipos de pensamiento más propios de otras ciencias” (MEN, 2006, p. 66).EL PENSAMIENTO VARIACIONAL: UN ASUNTO DE JUEGO Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN LA ESCUELA?? 917Por otra parte, para cualificar la mirada a las tareas propuestas en las cartillas, se ha asumido una perspectiva teórica sobre el razonamiento covariacional1, que refiere un marco conceptual para describir las acciones mentales y los niveles de razonamiento covariacional, sintetizados en la tabla siguientes (Carlson et al., 2003, p. 128-129). Acción mentalDescripción de la acción mental ComportamientosAM1Coordinación del valor de una variable con los cambios en la otra. Designación de los ejes con indicaciones verbales de coordinación de las dos varia-bles (e. g., y cambia con cambios en x). AM2Coordinación de la dirección del cambio de una variable con los cambios en la otra variable. Construcción de una línea recta creciente.Verbalización de la consciencia de la direc-ción del cambio del valor de salida mien-tras se consideran los cambios en el valor de entrada. AM3Coordinación de la cantidad de cambio de una variable con los cambios en la otra variable. Localización de puntos/construcción de rec-tas secantes. Verbalización de la consciencia de la canti-dad de cambio del valor de salida mientras se consideran los cambios en el valor de en-trada. AM4Coordinación de la razón de cam-bio promedio de la función con los incrementos uniformes del cambio en la variable de entrada. Construcción de rectas secantes contiguas para el dominio. Verbalización de la consciencia de la razón de cambio del valor de salida (con respec-to al valor de entrada) mientras se consi-deran incrementos uniformes del valor de entrada. AM5Coordinación de la razón de cam-bio instantánea de la función con los cambios continuos en la va-riable independiente para todo el dominio de la función. Construcción de una curva suave con indi-caciones claras de los cambios de concavi-dad. Verbalización de la consciencia de los cam-bios instantáneos en la razón de cambio para todo el dominio de la función (los pun-tos de inflexión y la dirección de las conca-vidades son correctos). Tabla Nº 1. Acciones mentales del marco conceptual para la covariación1 Entendido como “las actividades cognitivas implicadas en la coordinación de dos cantidades que varían mientras se atiende a las formas en que cada una de ellas cambia con respecto a la otra” (Carlson et al., 2003, p. 124)?? 918NIVELES DEL RAZONAMIENTO COVARIACIONALEl marco conceptual para la covariación describe cinco niveles de desarrollo de las imágenes de la covariación. Estas imágenes de covariación se presentan en términos de las acciones mentales sustentadas por cada imagen.Nivel 1 (N1). CoordinaciónEn el nivel de coordinación, las imágenes de la covariación pueden sustentar a la acción mental de coordinar el cambio de una variable con cambios en la otra variable (AM1).Nivel 2 (N2). DirecciónEn el nivel de dirección, las imágenes de la covariación pueden sustentar a las acciones mentales de coordinar la dirección del cambio de una de las variables con cambios en la otra. Las acciones mentales identificadas como AM1 y AM2 ambas son sustentas por imágenes de N2.Nivel 3 (N3). Coordinación cuantitativaEn el nivel de la coordinación cuantitativa, las imágenes de la covariación pueden sustentar a las acciones mentales de coordinar la cantidad de cambio en una variable con cambios en la otra. Las acciones mentales identificadas como AM1, AM2 y AM3 son sustentadas por las imágenes de N3.Nivel 4 (N4). Razón promedioEn el nivel de la razón promedio, las imágenes de covariación pueden sustentar a las acciones men-tales de coordinar la razón de cambio promedio de una función con cambios uniformes en los valo-res de entrada de la variable. La razón de cambio promedio se puede descomponer para coordinar la cantidad de cambio de la variable resultante con los cambios en la variable de entrada. Las acciones mentales identificadas como AM1 hasta AM4 son sustentadas por imágenes de N4.Nivel 5 (N5). Razón instantáneaEn el nivel de la razón instantánea, las imágenes de covariación pueden sustentar a las acciones mentales de coordinar la razón de cambio instantánea de una función con cambios continuos en la variable de entrada. Este nivel incluye una consciencia de que la razón de cambio instantánea resulta de refinamientos más y más pequeños en la razón de cambio promedio. También incluye la consciencia de que el punto de inflexión es aquel en el que la razón de cambio pasa de ser cre-ciente a decreciente o al contrario. Las acciones mentales identificadas como AM1 a AM5 son sus-tentadas por imágenes de N5.Tabla N.º 2. Marco conceptual para los niveles de la covariaciónMETODOLOGÍA DEL TALLEREl taller está configurado por tres partes. En la primera, a partir del co-nocimiento y experiencia de los participantes, se presentarán y discuti-rán las indicaciones de la normativa curricular respecto del pensamiento variacional y se presentará una visión sobre el marco conceptual sobre el razonamiento conceptual; en la segunda y tercera se abordará la presenta-ción y estudio de sendas tareas (El juego de la casa de cambio y Progresión EL PENSAMIENTO VARIACIONAL: UN ASUNTO DE JUEGO Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN LA ESCUELA?? 919geométrica) extractadas de las cartillas del proyecto “Juega y Construye la Matemática”.El juego de la Casa de Cambio. (Vera, Rodríguez y Ríos, 2012, pp. 1-5). Este juego consiste en hacer cambios de fichas de un color por otras de otro color, según una equivalencia que se fija apropiadamente. La siguiente imagen muestra la forma como, en base 3, se deben hacer los cambios.Una de las consignas que se propone a los estudiantes es: Si se juega Casa de Cambio en base 3 ¿cuántas fichas blancas se necesitan para obtener una ficha azul?, ¿cuántas fichas blancas se necesitan para obtener una ficha amarilla?Se prevé que el juego permita construir un sistema de cambios análogos a las situaciones problema de conversión de unidades, multiplicación compuesta, potenciación, proporcionalidad y, además, que permita trabajar elementos para generar pensamiento variacional. Los profesores tienen la posibilidad de hacer algunas modificaciones del contexto y proponer situaciones como las siguientes:Una fábrica de gomas empaca su producto en base 6, así: 6 gomas en un paquete, 6 paquetes llenos en una bolsa y 6 bolsas en una caja. ¿Cuántas gomas hay en 2 cajas y 3 paquetes?Una fábrica de galletas empaca su producto de la siguiente manera: 4 galletas en una paquete, 12 paquetes en una bolsa, 24 bolsas en una caja ?? 920¿Cuántos galletas hay en 2 cajas?Luego de la presentación del juego, se propondrán las siguientes consignas para que sean resueltas en grupos de tres integrantes.1. Resuelva la anterior situación colocándose en el lugar del estudiante e identifique qué estrategias utilizaría. Realice una representación de la situación.2. Discuta si el juego se ajusta a los planteamientos sobre el pensamiento variacional expresados en los Lineamientos y Estándares (MEN, 1998, 2006).3. Identifique si a través del juego se promueven aspectos del razona-miento covariacional (Carlson et al. 2003). 4. Especifique si el juego debe modificarse para responder a la normativa curricular y a los niveles del razonamiento covariacional.Progresión geométrica. (Orozco, 2010). Esta tarea busca descubrir patrones de variación y regularidad, así como abordar el concepto de progresión geomé-trica. Para ello se propone al estudiante observar la sucesión de triángulos mostrados en la secuencia de figuras y posteriormente completar la tabla, teniendo en cuenta que el área de la figura 1 es de una unidad cuadrada. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4Números de veces que se trazan puntos medios. 0 1 2 3 4 5 … nTotal de puntos medios trazados sobre cada lado del triángulo. 0 1 3 7 15 31 …Números triángulos equiláteros de menor área en cada figura. 1 4 16Área del triángulo equilátero más pequeño de cada figura. 114116Perímetro del triángulo equilátero más pequeño de cada fi-gura, tomando x , como la longitud del lado del triángulo de la figura 1.3x32x 34xEL PENSAMIENTO VARIACIONAL: UN ASUNTO DE JUEGO Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN LA ESCUELA?? 921La tarea se complementa con la formulación a los estudiantes de algunas de las siguientes preguntas:a) ¿Qué tipo de progresión forma el número de triángulos pequeños, que se forman en cada figura?b) ¿Qué tipo de progresión forman las magnitudes del área de los triángulos pequeños, que se forman en cada figura?c) ¿Qué tipo de progresión forman las longitudes del perímetro de los trián-gulos pequeños que se forman en cada figura?d) ¿En cada caso anterior, cuál es la razón de cada una de las progresiones?e) Si n, representa el número de veces que se realiza el proceso de trazar puntos medios, iniciado en cero, ¿cuáles son las expresiones que permiten calcular: el número de triángulos, el área y el perímetro del triángulo pequeño que se forma?Luego de la presentación de la segunda tarea se pedirá a los asistentes al taller que, organizados en grupos de tres integrantes, respondan las pre-guntas propuestas para el análisis de la tarea del juego de la casa de cambio.Finalmente, se hará la discusión plenaria de las posturas de los asistentes y se contrastará con la de los profesores, coordiandores del taller.REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASCarlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S. & Hsu, E. (2003). Razonamiento cova-riacional aplicado a la modelación de eventos dinámicos: un marco conceptual y un estudio. Revista EMA 8 (2), 121-156. MEN. (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.Orozco, J. (2010) Juega y Construye la Matemática. Noveno Grado. Bogotá: Ediciones Maristas.Vera, J., Rodríguez, A., & Ríos, A. (2012). Juega y Construye la Matemática. Quinto Grado. Bogotá: Editorial Kimpres Ltda.

El pensamiento variacional: un asunto de juego y actividad matemática en la escuela

http://funes.uniandes.edu.co/2635/1/ElpensamientoG%C3%B3mezAsocolme2012.pdf

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