Thesis (M.Sc.) -- University of Adelaide, Dept. of Pure Maths, 199

Yates, Stuart

Adelaide Research & Scholarship

r - 9 . 3 ' l gU n i v e r s i t y  o f  A d e l a i d eD e p a r t m e n t  o f  P u r e  M a t h e m a t i c sD i s c r e t e  M o r s e  T h e o r ya n d  1 z  H o m o l o g yS t u a r t  Y a t e sA  t h e s i s  s u b m i t t e d  f o r  t h e  d e g r e e  o fM a s t e r  o f  S c ' i e n c ei n  t h eF a c u l t y  o f  M a t h e m a t ' i c a l  a n d  C o m p u t e r  S c ' i e n c e sD e c e m b e r  1 9 9 7S u p e r v i s o r :  D r  V a r g h e s e  M a t h a iS t a t e m e n tT h i s  w o r k  c o n t a i n s  n o  m a t e r i a l  w h i c h  h a s  b e e n  a c c e p t e d  f o r  t h e  a w a r d  o f  a n yo t h e r  d e g r e e  o r  d i p l o m a  i n  a n y  u n i v e r s i t y  o r  o t h e r  t e r t i a r y  i n s t i t u t i o n  a n d ,  t ot h e  b e s t  o f  m y  k n o w l e d g e  a n d  b e l i e f ,  c o n t a i n s  n o  m a t e r i a l  p r e v i o u s l y  p u b l i s h e do r  w r i t t e n  b y  a n o t h e r  p e r s o n ,  e x c e p t  w h e r e  d u e  r e f e r e n c e  h a s  b e e n  m a d e  i n  t h et e x t .I  g i v e  c o n s e n t  t o  t h i s  c o p y  o f  m y  t h e s i s ,  w h e n  d e p o s i t e d  i n  t h e  U n i v e r s i t yl i b r a r y ,  b e i n g  m a d e  a v a i l a b l e  f o r  l o a n  a n d  p h o t o c o p y i n g .A b s t r a c tA  b r i e f  o v e r v i e w  o f  F o r m a n ' s  d i s c r e t e  M o r s e  t h e o r y  i s  p r e s e n t e d ,  f r o m  w h i c ha n a l o g u e s  o f  t h e  m a i n  r e s u l t s  o f  c l a s s i c a l  M o r s e  t h e o r y  c a n  b e  d e r i v e d  f o r  c o m -b i n a t o r i a l  M o r s e  f u n c t i o n s ,  t h e s e  b e i n g  f u n c t i o n s  m a p p i n g  t h e  s e t  o f  c e l l s  o f  aC W  c o m p l e x  t o  t h e  r e a l  n u m b e r s  s a t i s f y i n g  s o m e  c o m b i n a t o r i a l  r e l a t i o n s .  T h ed i s c r e t e  a n a l o g u e  o f  t h e  s t r o n g  M o r s e  i n e q u a l i t y  w a s  p r o v e d  b y  F o r m a n  f o r  f i n i t eC W  c o m p l e x e s  u s i n g  a  W i t t e n  d e f o r m a t i o n  t e c h n i q u e .T h i s  d e f o r m a t i o n  a r g u m e n t  i s  a d a p t e d  t o  p r o v i d e  s t r o n g  M o r s e  i n e q u a l i t i e sf o r  i n f i n i t e  C W  c o m p l e x e s  w h i c h  h a v e  a  f i n i t e  c e i l u l a r  d o m a i n  u n d e r  t h e  f r e ec e l l u l a r  a c t i o n  o f  a  d i s c r e t e  g r o u p .  T h e  i n e q u a l i t i e s  d e r i v e d  a r e  a n a l o g o u s  o f  t h e- L 2  M o r s e  i n e q u a l i t i e s  o f  N o v i k o v  a n d  S h u b i n  ( [ 2 1 ] ) ,  a n d  t h e  a s y m p t o t i c  . L 2  M o r s ei n e q u a l i t i e s  o f  a n  i n e x a c t  M o r s e  1 - f o r m  a s  d e r i v e d  b y  M a t h a i  a n d  S h u b i n  i n  [ 1 S ] .C o n t e n t s1  I n t r o d u c t i o n2  P r e l i m i n a r i e s2 . 1  C W  c o m p l e x e s2 . 2  T h e  a s s o c i a t e d  c h a i n  c o m p l e x2 . 3  R e g u l a r  f a c e s3  D i s c r e t e  M o r s e  t h e o r y3 . 1  T h e  d i s c r e t e  M o r s e  f u n c t i o n3 . 2  E x a m p l e s  o f  d i s c r e t e  M o r s e  f u n c t i o n s3 . 3  E q u i v a l e n c e  o f  c o m b i n a t o r i a l  M o r s e  f u n c t i o n s3 . 4  C o m b i n a t o r i a l  v e c t o r  f i e l d s3 . 5  A n a l o g u e s  o f  M o r s e  t h e o r y  r e s u l t s4  - L 2  d i s c r e t e  M o r s e  t h e o r y4 . 7  T h e  L 2  c h a i n  c o m p l e x4 . 2  C o n s t r u c t i o n  o f  t h e  c o m b i n a t o r i a l  W i t t e n  c o m p l e x4 . 3  T h e  c o m b i n a t o r i a l  t r 2  M o r s e  i n e q u a l i t y5  A s y m p t o t i c  M o r s e  i n e q u a l i t i e s5 . 1  N o n - f - i n v a r i a n t  c o m b i n a t o r i a l  M o r s e  f u n c t i o n s5 . 2  T h e  d e f o r m e d  c o m p l e x5 . 3  T h e  a s y m p t o t i c  M o r s e  i n e q u a l i t y6  F u t u r e  d i r e c t i o n s6 . 1  A s y m p t o t i c  i n e q u a l i t i e s  .6 . 2  N o n - g r a d i e n t  v e c t o r  f i e l d s  a n d  L y a p u n o v  f u n c t i o n s6 . 3  T h e  e x t e n d e d  c a t e g o r y  o f  F a r b e r36678I91 01 07 21 5L 71 72 02 43 03 03 23 43 93 94 24 41A c k n o w l e d g m e n t sI  w i s h  t o  e x p r e s s  m y  g r a t i t u d e  a n d  a p p r e c i a t i o n  t o  a l l  t h o s e  w h o  h a v e  h e l p e d  a n ds u p p o r t e d  m e  o v e r  t h e  c o u r s e  o f  r e s e a r c h i n g  a n d  w r i t i n g  t h i s  t h e s i s .S p e c i a l  t h a n k s  m u s t  g o  t o  m y  s u p e r v i s o r ,  D r  V a r g h e s e  M a t h a i ,  w h o  f i r s ts p a r k e d  m y  i n t e r e s t  i n  t h e  f i e l d  o f  a l g e b r a i c  t o p o l o g y .  T h i s  t h e s i s  i s  a  t e s t i m o n yt o  h i s  i n v a l u a b l e  g u i d a n c e ,  i n s i g h t  a n d  p a t i e n c e .I  w o u l d  l i k e  t o  t h a n k  a l l  t h o s e  i n v o l v e d  i n  t h e  p o s t g r a d u a t e  D G  s e m i n a r so v e r  t h e  y e a r s ;  t h e  s e m i n a r s  h a v e  b e e n  a  s o u r c e  o f  n o t  o n l y  m u c h  m a t h e m a t i c a lk n o w l e d g e  a n d  s e m i n a r  e x p e r i e n c e ,  b u t  a l s o  o f  m a n y  e n t e r t a i n i n g  d i s c u s s i o n s  b o t hm a t h e m a t i c a l  a n d  o t h e r w i s e .T o  D a t  a n d  B i n g ,  I r i s ,  D a v i d ,  K e r r y  a n d  L i n d a ,  w h o  a l l  a t  v a r i o u s  t i m e s  h a v eh a d  t o  p u t  u p  w i t h  t h e  o d d  h o u r s  a n d  b o u t s  o f  f r e n z i e d  a c t i v i t y ,  t h a n k  y o u  f o rs h o w i n g  s u c h  t o l e r a n c e  a n d  f o r  b e i n g  s u c h  e x c e l l e n t  h o u s e m a t e s .A n d  f i n a l l y ,  h e a r t f e l t  t h a n k s  t o  m y  f a m i l y ,  w i t h o u t  w h o s e  c o n s t a n t  s u p p o r ta n d  e n c o u r a g e m e n t  t h i s  t h e s i s  w o u l d  n e v e r  h a v e  b e e n  c o m p l e t e d .2

Discrete Morse theory and L(2) homology

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Discrete Morse theory and L(2) homology

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