The development of qualitative mental concepts in calculus using interactive visualizations - design principles and empirical results

Abstract

Die Differential- und Integralrechung wurde im Zuge der Meraner Reform (1905) in die Lehrpläne der’höheren Lehranstalten‘ aufgenommen. In dieser Reform wurde die ”Erziehung zum funktionalen Denken“ als Sonderaufgabe gefordert. Funktionales Denken war dabei als gebietsübergreifendes Denken in Variationen und funktionalen Zusammenhängen mit Blick auf Bewegung und Veränderlichkeit gemeint. Der Analysisunterricht sollte Höhepunkt in einem organisch aufgebauten Mathematikunterricht sein, und die ”Erziehung zum funktionalen Denken“ wurde als Propädeutik zur Differential- und Integralrechnung gesehen. Ein oft beschriebenes Problem der derzeitigen Schulanalysis ist deren Kalkülorientierung, die oft losgelöst ist von inhaltlichen Vorstellungen. Die Dissertation ist als Beitrag zu einem qualitativ-inhaltlichen Zugang zur Analysis zu verstehen. In diesem Kontext wurden drei interaktive Lernumgebungen entwickelt, die auf Java Applikationen, welche mit der Dynamischen Geometrie Software "Cinderella" entworfen wurden, basieren. Die Applikationen akzentuieren die dynamische Komponente des funktionalen Denkens durch eine zweistufige dynamische Visualisierung und machen den Objektaspekt funktionaler Abhängigkeiten in besonderer Weise nutzbar. Dabei stehen qualitative Betrachtungen funktionaler Abhängigkeiten und deren Beschreibung im Vordergrund. Die Lernumgebungen wurden im propädeutischen Analysisunterricht im Rahmen einer qualitativen Studie in Klasse 10 an Berliner Gymnasien eingesetzt. Die Ergebnisse zeigen, inwiefern die Schülerinnen und Schüler inhaltliche Vorstellungen zu Konzepten der Analysis unter Ausnutzung der Lernumgebungen entwickelten und welche epistemologischen Hürden dabei sichtbar wurden. Die Ergebnisse werden im Hinblick auf eine Weiterführung des Unterrichts gedeutet und es werden insbesondere Ideen zu einer Fortführung, die sich aus der Arbeit ergaben, entwickelt. Die Arbeit besteht dementsprechend aus zwei großen Teilen: Der erste Teil dient der Entwicklung und Darstellung der begrifflichen und (lern-)theoretischen Grundlagen. Dabei wird der begriffliche Rahmen abgesteckt und begründet. Darauf basierend werden die Designprinzipien der interaktiven Lernumgebungen vorgestellt und analysiert. Diese werden schließlich lerntheoretisch verortet, um dann im zweiten Teil der Arbeit einer empirischen Studie unterzogen zu werden.Calculus was introduced to the German curricula as a result of the so-called 'Meraner Reform' of 1905. The 'education to functional thinking' was formulated as a specific task within this reform. Functional thinking was meant in a broader sense: as thinking in variations and functional dependencies spanning the whole mathematics education in terms of a fundamental idea, and especially the dynamic aspect of functional thinking was pointed out. Calculus was seen as culmination point reached by an organic structured mathematics education, and functional thinking can be seen as propaedeutics to calculus. A problem which is often described is that calculus at school is mainly procedure-oriented, and structural understanding is lacking. This dissertation is meant as a contribution to a qualitative structural-oriented approach to school calculus. In this context three interactive learning activities basing on Java applications created with the Dynamic Geometry Software ‘Cinderella’ were developed. The activities emphasize both the dynamic aspect as well as the object view of a functional dependency by using a double-stage visualization. By interactively visualizing functional dependencies simultanously in different representations the students are enabled to explore various aspects of functional dependencies in a qualitative way. The activities were used within a propaedeutic analysis course in a qualitative study with 10th grade students in different secondary school classes in Berlin, Germany. The results show how the students developed qualitative mental concepts in calculus using the interactive activities and which epistemological obstacles appeared. The results are interpreted with regard to the continuation of this approach in an analysis course and some ideas resulting from the study are developed. The dissertation consists of two parts: Within the first part the underlying notions and the basic principles concerning learning theoretical aspects are developed and presented. Basing on this theoretical background the design principles of the learning activites are introduced and analysed. After refering the design principles to the underlying learning theoretical background, the activites are used in a qualitative study which is described in the second part of this work