筑波大学University of Tsukuba博士（学術）Doctor of Philosophy1988doctoral thesi

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Yuan, Fuzhi

衰, 福之

Tsukuba Repository  (Tulips-R)

Construction of some balanced arrays and theircharacterization, with applications tobalanced and (G, g)-invariant fractionalfactorial designs著者 Yuan Fuzhi, En Fukuyuki内容記述 Thesis--University of Tsukuba, D.So.Ec.Pl.(A),no. 614, 1989. 3. 25発行年 1989URL http://hdl.handle.net/2241/2048匿瑚氏　名（本籍）学位の種類学位記番号学位授与年月日学位授与の要件審査研究科学位論文題目主副副副副査査査査査えん　　　　　　ふく　　ゆき衰　　福之（中　国）学　　術　　博　　士博甲第614号平成元年3月25日学位規則第5条第1項該当社会工学研究科Co鰍s敏繊磁量⑪魎　o量So醜e　遍劔盈獺艶湿A縦訟ys　盛翻湿　乱h⑧虹　C駄誘資繊磁微虹磁量⑪鰯，W撒A聰亙量c磁量棚s竜o晩艮餓c純畿胴磁（⑭，9）・五醐忽由磁趾磁量㈱a翌賄蜘・貧滅⑳es五駅§筑波大学教授筑波大学教授筑波大学教授筑波大学助教授筑波大学助教授渡同赤野藤辺橋平上原般石昌佳良浩郎文子叔論　　文　　の　　要　　旨　本論文のテーマは実験計画法の中の要因計画（factoria1des1gn）の分野に属する。要因計画とはいくつかの離散的要因の各水準が特性値に及ぼす効果について，できるだけ少い実験回数で情報を得るために，どのような水準の組合せによる実験を行ない，その結果についてどのような解析を行えばよいかを研究する分野であり，自然科学，社会科学，産業，経営の各分野で，効率のよい実験や調査を行う上で不可欠な方法であり，R．A．Fisherおよび，F．Yatesによる直交計画の提案以来，それを拡張した多くの研究がある。　要因計画の内容は，要因水準の具体的な組合せを構成する「計画」と，その結果のデータの「解析」方法の2つの領域に分けられる。後者の問題はすでにほぼ研究しつくされた感があるのに対し，前者には未解決の問題が多く残されている。本論文のテーマもまた前者に属する。　直交計画，あるいはそれを実現する手段としての直交配列は極めて効率の高い実験を与えるもので，ある意味での最適性が証明されているが，それが存在するような実験回数は水準数の累乗またはその整数倍に限られるので，応用の可能性が限定される。他方任意回数の実験に対応しては，最適性の保証はないが比較的効率のよい実験を与えるものとして，ba1anced鮒ay（以下B－array）が従来から知られている。これは要因記号の任意の置換に対して情報行列が不変となる計画として特徴づけられる。一87一　B－arrayの構成法についてもすでに多くの研究があるが，本論文第2章ではこれをrecursiveに構成する一つの新しい方法を与えている。（Theore馳2一ユ，2－2）。その骨子はあるパラメーター系列をもつB一鮒ayから他のパラメーター系列を構成する一般的方法を与えるもので，これによって構成し得るB一鮒ayのパラメーターの範囲を大巾に拡大することができるものである。　一般にある実験回数（行数）が与えられたとき，その下で効果を推定できる要因の数（列数）はできるだけ多いことが望ましい。第3章ではその目的のためにreso1vableなB一鮒ayを基にした構成法が提案されている。resolvab1eなB－armyとは，配列の列を適当に分割して，いくつかのブロックに分けたとき，その各ブロック自身が一つのB一鮒ayとなるような特殊な構造をもつB－ar－rayである。Th．3－1，3－2，3－3ではその特殊性を生かし，またそれと直交配列の構造とうまく組合せることによって，一定の実験回数に対して多くの要因を推定できるB－aζrayを構成する方法を与えている。　一定の行数の下では列数の多いB一鮒ayが望ましいがラ当然それには隈界がある。第4章ではその上限を具体的に与える定理（Theore㎜4一ユ）が得られており，またそのための條件が明示されている（Theore聰4－2）。また列数が最大となるB一雌ayに対する情報行列がsing泌1鮒となる可能性があることを指摘し，その條件をも与えている。またこれによって従来何人かの研究者によって構成された列数最大のBWrayのあるものは，情報行列がSi㎎曲rになっていることが指摘されている。　一般に要因計画において交互作用効果が存在するばあいが多いが，要因を点，2要因の交互作用をその2点を結ぶ枝とした，交互作用パターンを表現するグラフGが考えられる。他方n個の要因の置換全体のつくる対構群Snの部分群9を考え，主効果およびGに対応する交互作用効一果が推定可能で，情報行列が9に対して不変な計画を（G－g）一ba1a㏄ed　designあるいはそれを実現する配列を（G－g）一ba1anced鮒ayと呼ぶ。これはB－arrayの拡張概念になる。　この問題を一般的に論ずることは容易ではないが，第5章ではrmXsn型の要因計画（要因のうち㎜コの水準がr，nコの水準がs）において，Gとして2都グラフをとり，gとしてSm×S。の部分群をとったばあいについて，その構成法や情報行列とその固有方程式の具体的な形についての結果が得られている。審　　査　　の　　要　　旨　第2，3章に与えられている一般的なB一鮒ayの構成法はすでに多くの研究者が研究している分野である。recursive，co㎜binatoria1な構成手順は方法的にまた整数論的に面白いと云える。ある程度の大きさで実際にこれを行おうとすると膨大なものとなって実用性が大きいとは云えないが，実用的には元来そのような大きさの問題が提起されることは少いので，意味があるという見方も可能である。第4章は完全に衰氏の独創によるものであり，その成果の学会への貢献は極めて高いと言えよう。一定の実験回数の下で列数が最大となるB－arrayある意味では最適なB－arrayと呼べる一88一もので，多くの研究者がその構成に努力を払って来たが，その情報行列がSi㎎u1arになること，すなわち推定論的には大きな欠陥があることを始めて指摘したものであり，これはまたarrayの構成という組合せ論の間題と，統計的推定論の問題との設定に位置する重要な指摘であると云える。　第5章は衰氏が修士論文の時から手がけている問題で，一般的に云って難しい問題であり，応用面から云ってもやや特殊な問題である。衰氏の努力も多く注入されており，それなりの成果が認められるが，概念構成の面でも今一つすっきりしない部分が残されているように感ずる，との意見も出された。　よって，著者は学術博士の学位を受けるに充分な資格を有するものと認める。一89一

Construction of some balanced arrays and their characterization, with applications to balanced and (G, g)-invariant fractional factorial designs

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