Bài báo phân tích dao động riêng của tấm FGM có chiều dày biến đổi. Xây dựng thuật toán phần tử hữu hạn (PTHH), lập chương trình tính trong môi trường MATLAB và kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính thông qua so sánh với các kết quả đã công bố. Trên cơ sở đó, các tác giả tiến hành khảo sát số và đã đưa ra được ảnh hưởng của các thông số hình học, vật liệu như: Quy luật biến đổi chiều dày, điều kiện biên, tỉ lệ thể tích vật liệu đến dao động riêng của tấm

Nguyễn Thị Dung

Trần Trung Thành

Trần Văn Kế

English

Journal of Science and Technique

    Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209    28 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM FGM CÓ CHIỀU DÀY BIẾN ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Nguyễn Thị Dung1,, Trần Trung Thành1, Trần Văn Kế1 1Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn Tóm tắt Bài báo phân tích dao động riêng của tấm FGM có chiều dày biến đổi. Xây dựng thuật toán phần tử hữu hạn (PTHH), lập chương trình tính trong môi trường MATLAB và kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính thông qua so sánh với các kết quả đã công bố. Trên cơ sở đó, các tác giả tiến hành khảo sát số và đã đưa ra được ảnh hưởng của các thông số hình học, vật liệu như: Quy luật biến đổi chiều dày, điều kiện biên, tỉ lệ thể tích vật liệu đến dao động riêng của tấm. Từ khóa: FGM; dao động riêng; phương pháp phần tử hữu hạn. 1. Mở đầu Kết cấu tấm làm bằng vật liệu FGM ngày càng được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp, việc tính toán kết cấu này được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm.  Đã có nhiều công trình tính toán cơ học được công bố. Tuy nhiên, kết cấu tấm FGM có chiều dày biến đổi hầu như chưa được đề cập tới. Nghiên cứu tấm có chiều dày biến đổi trên thế giới có P. Gagnon và C. Gosselin [3] phân tích uốn tĩnh của tấm đồng nhất sử dụng phương pháp dải phần tử (finite strip method), Sakiyama [1] phân tích dao động riêng của tấm đồng nhất sử dụng phương pháp xấp xỉ hàm. Trong nước, các tác giả T. Le Manh, H. Nguyen Xuan [6] nghiên cứu uốn tĩnh và ổn định tĩnh của tấm composite có chiều dày biến đổi. Các công trình khác về kết cấu tấm có chiều dày biến đổi chủ yếu dừng lại ở vật liệu đồng nhất. Bài báo sử dụng phương pháp PTHH, dựa trên lý thuyết tấm Resner-Mindlin, dùng phần tử đẳng tham số 4 nút, mỗi nút 5 bậc tự do. Kết quả tính toán được so sánh với các công bố khác để khẳng định độ tin cậy chương trình tính. 2. Đặt bài toán, các giả thiết  Xét tấm chữ nhật có chiều dày biến đổi làm bằng vật liệu FGM (Hình 1). XZYab CeramicMetal0h 1h2hP Hình 1. Mô hình tấm FGM có chiều dày biến đổi                                                   Email: dung28688@gmail.com     Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật – ISSN 1859-0209    29 Các giả thiết: - Tấm FGM có chiều dày biến đổi thỏa mãn lý thuyết tấm Mindlin. - Vật liệu đàn hồi, biến dạng tuyến tính. 3. Ma trận và các phương trình FGM được tạo thành từ hai thành phần là gốm (ceramic) và kim loại (metal).  Cơ tính vật liệu của tấm FGM có chiều dày biến đổi biến thiên theo quy luật phân bố lũy thừa [2]:   1(z) ( )2 ( , )km m c c m c mzE E V E V E E Eh x y         (1) 1(z) ( )2 ( , )km m c c m c mzV Vh x y               (2) trong đó: k là chỉ số mũ tỉ lệ thể tích vật liệu, hệ số Poát-xông coi như không đổi const,v   chiều dày tấm phụ thuộc vào quy luật biến đổi chiều dày (h là hàm của x và y). 3.1. Trường chuyển vị Theo Mindlin, các thành phần chuyển vị nút của phần tử được biểu diễn:               0 00, , , , ;  , , , ,, , ,y xu x y z u x y z x y v x y z v x y z x yw x y z w x y     (3) với 0 0 0, ,wu v  là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung bình (z = 0) theo các trục x , y, z ; ,x y  lần lượt là góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình với các trục y và x. 3.2. Trường biến dạng  Trường biến dạng được xác định từ trường chuyển vị: 0 0 0 0 0,  ,  ,  ,  xx xx x yy yy y xy xy xy yz yz xz xzz z z                       (4) với:  000 0 000 0xxyyxyuxvyu vy x                          ; xxyyxyyxxxy x                          ; 00000xxzyzywxwy                     là vectơ biến dạng màng, vectơ độ cong, vectơ biến dạng cắt. Phương trình biểu diễn quan hệ giữa các thành phần nội lực và các thành phần biến dạng của mặt trung bình được viết dưới dạng:     Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209    30             00000 0 pM A BN B DQ A                            (5) với      ; ; ; pA B D A    là các ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng tương tác  màng-uốn-xoắn, ma trận độ cứng uốn và ma trận độ cứng biến dạng cắt, được xác định theo công thức:  ( , )/2 ( , )/22( , )/2 ( , )/25[ ]; [ ]; [ ] [ ](1; ; ) ; [ ] [ ]6h x y h x yb p sh x y h x yA B D D z z dz A D dz      (6) trong đó: 21 01 0[ ] 1 0 ; [ ]0 11- 2(1 )1-0 02b svE ED v Dv vv              - ma trận độ cứng trụ, ma trận  độ cứng cắt. Vì tấm có chiều dày biến đổi, nên các hệ số trong các ma trận độ cứng, ma trận các thành phần quán tính có cận lấy tích phân biến đổi phụ thuộc quy luật biến đổi chiều dày. 3.3. Phần tử tấm Sử dụng phần tử tứ giác đẳng tham số 4 nút, mỗi nút 5 bậc tự do, chuyển vị của điểm bất kì trong phần tử được xác định qua chuyển vị nút và hàm dạng.    40 0 01, , , , , , , ,x y i i i i xi yiiu v w N u v w      (7) trong đó iN  là các hàm dạng được xác định theo công thức:  1(1 )(1 )4i i iN rr ss     (8) với ,i ir s là tọa độ nút thứ i (i=1, 2, 3, 4) trong hệ tọa độ cục bộ (r, s) Ma trận khối lượng phần tử: [ ] [ ] [ ][ ]Te eSM N L N dS   (9) trong đó,  1 2 3 4[ ]= [ ] ,[ ] ,[ ] ,[ ]N N N N N  là ma trận hàm dạng với:     Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật – ISSN 1859-0209    31 0 0 0 00 0 0[ ] 0 00iii iiiNNN NNN         (i=1, 2, 3, 4) (10) Ma trận các thành phần quán tính phần tử được xác định theo công thức: 1 21 21330 0 00 0[ ] 0 00eL LL LL LLL           (11) với (x,y)/221 2 3(x,y)/2( ; ; ) (1; ; )hhL L L z z dz  , trong đó   là khối lượng riêng của tấm. Ma trận độ cứng phần tử:   1 1 2 1 1 2 2 2 3 3[ ]T T T T TpeSK B AB B BB B BB B DB B A B dS       (12) với 1 2 3; ;B B B  là các ma trận vi phân hàm dạng được xác định theo công thức:      , ,4 41 , 2 ,1 1, , , ,4,31 ,0 0 0 0 0 0 0 0= 0 0 0 0 ;  0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0=0 0 0j x j xj y j yj jj y j x j y j xj y jj j x jN NB N B NN N N NN NBN N                     (13) 3.4. Phương trình dao động riêng và phương pháp giải Phương trình dao động riêng không cản có dạng:        0M q K q   (14) Giả thiết nghiệm:    0 sinq q t  suy ra:        20 sin 0K M q t    (15) Do là dao động riêng, nên  0 sin 0,q t   để thỏa mãn thì:    2 0K M    (16)     Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209    32 trong đó: [ ]; [ ]M K  là ma trận độ cứng tổng thể, ma trận khối lượng tổng. Giải hệ phương trình (16) bằng phần mềm Matlab. 4. Khảo sát số Từ mô hình PTHH, các tác giả lập chương trình tính trong môi trường Matlab, kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính. Trên cơ sở chương trình đã lập, tiến hành khảo một số thông số kết cấu, vật liệu ảnh hưởng tới dao động riêng của tấm. 4.1. Kiểm tra độ tin cậy chương trình tính Bài toán 1: Xét tấm đẳng hướng hình vuông có kích thước: a = b = 1 (m);  h0 = a/100 (m); chiều dày biến đổi tuyến tính theo trục x: 0 (1 )xxh ha   với 0,1  ; thông số vật liệu E = 2,1 GPa, 0,3v  , 7850  (kg/m3) như trong [1]. Tấm chịu liên kết tựa đơn 4 cạnh.  Tần số dao động không thứ nguyên 1/44 22012 aEh     thể hiện trong bảng 1a. Bảng 1a. So sánh tần số dao động không thứ nguyên của tấm Tần số  1  2  3  4  5  6  7  [1] 4,675 7,446 7,447 9,436 10,693 10,696 12,162 Bài báo 4,668 7,452 7,453 9,439 10,756 10,760 12,202 Sai số [%] 0,14 0,08 0,08 0,03 0,5 0,6 0,3 Bài toán 2: Xét tấm FGM hình vuông làm từ vật liệu Al/ZrO2 với các thông số:  a = b (m); h = a/20, Ec = 200 GPa; 5700c  kg/m3; νc = 0,3; Em = 70 GPa; 2702m  ; νm = 0,3; chỉ số mũ tỉ lệ thể tích k = 1 như trong [2]. Tần số dao động không thứ nguyên mmhE   thể hiện trong bảng 1b. Bảng 1b. So sánh tần số dao động không thứ nguyên của tấm Tần số  1  2  3  4  [2] 0,0158 0,1534 0,2592 2,2140 Bài báo 0,0161 0,1552 0,2603 2,2136 Sai số [%] 1,8 1,2 0,4 0,02 Nhận xét: Các kết quả so sánh tần số riêng với [1] và [2] không quá 2%, chứng tỏ chương trình tính do nhóm tác giả lập đảm bảo độ tin cậy.     Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật – ISSN 1859-0209    33 4.2. Khảo sát dao động riêng của tấm có chiều dày biến đổi Trên cơ sở chương trình tính đã lập, khảo sát thông số kết cấu, vật liệu ảnh hưởng đến dao động riêng của tấm FGM có chiều dày biến đổi. Bài toán: Xét tấm FGM có chiều dày biến đổi (Hình 1, Mục 2) với các thông số hình học: h0 = a/50; h1 = h2 = a/75; chiều dày biến đổi tuyến tính theo 2 cạnh 1 0(x)h hh xa ; 2 0( )h hh y ya . Thông số vật liệu: Ec = 380 GPa; νc = 0,3;  3800c   kg/m3; Em = 70 GPa; νm = 0,3; 2702m   kg/m3 chỉ số mũ tỉ lệ thể tích k = 1; tấm chịu liên kết tựa đơn 4 cạnh.   Mode 1 (0,06 MHz) Mode 2 (0,35 MHz)   Mode 3 (0,38 MHz) Mode 4 (0,92 MHz) Hình 2. Bốn dạng dao động riêng đầu tiên 4.2.1. Khảo sát ảnh hưởng của quy luật biến luật chiều dày Xét bốn trường hợp (TH) với điều kiện biên tựa đơn bốn cạnh, hệ số tỉ lệ thể tích   k = 1; a = b (m). - TH1: Chiều dày biến đổi tuyến tính theo 1 cạnh XZa0h 1h0 11(x) ( )h hh h a xa  YZb0h 0h0( )h y h - TH2: Chiều dày biến đổi tuyến tính theo 2 cạnh x và y XZa0h 1h YZb0h 2h0 11(x) ( )h hh h a xa   0 22(x) ( )h hh h b xb       Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209    34 - TH3: Chiều dày biến đổi hình sin theo 1 cạnh XZa0h1h0(x) sin(x ) /1502h h YZb0h 0h0( )h y h - TH4: Tấm có chiều dày không đổi YZb0h 0h0( )h y hXZa0h 0h0( )h x h Hình 3. Các loại tấm với chiều dày thay đổi khác nhau Tần số dao động riêng không thứ nguyên được thể hiện trong bảng 2. Bảng 2. Bốn tần số không thứ nguyên khi chiều dày biến đổi Tần số mode TH1 TH2 TH3 TH4 0mmhE   1 2,4422 1,4610 2,1890 3,3841 2 15,3803 8,7422 13,5564 21,5737 3 15,6987 9,4531 13,9964 21,6279 4 39,7596 23,5610 35,5758 54,8573 Nhận xét: Quy luật biến đổi chiều dày khác nhau, tần số dao động khác nhau.  Tấm có chiều dày không đổi tần số lớn nhất, tấm có chiều dày biến đổi tuyến tính theo  2 chiều có tần số nhỏ nhất.  4.2.2. Khảo sát ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích Xét 5 trường hợp k = 0, 1, 2, 4, 8 với điều kiện biên tựa đơn bốn cạnh, kích thước  a = b (m), quy luật biến đổi chiều dày như trường hợp 2 (TH2, Mục 4.2.1) Bảng 3. Bốn tần số không thứ nguyên khi k biến đổi Tần số mode k = 0 k = 1 k = 2 k = 4 k = 8 0mmhE   1 2,5262 1,4610 1,2179 1,1201 1,0710 2 15,1128 8,7422 7,2876 6,7014 6,4058 3 16,3413 9,4531 7,8803 7,2461 6,9264 4 40,7192 23,5610 19,6403 18,0564 17,2556     Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật – ISSN 1859-0209    35 Nhận xét: Khi số mũ k tăng từ 0 đến 8 tần số dao động giảm đi, điều này chứng tỏ độ cứng của tấm giảm xuống, sự biến đổi nhiều nhất tần số dao động của tấm khi k biến đổi trong phạm vi 0 - 2. 4.2.3. Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số b/a Xét 4 trường hợp b/a = 0,5; 0,75; 1; 2 với điều kiện biên tựa đơn bốn cạnh, quy luật biến đổi chiều dày như trường hợp 2 (TH2, Mục 4.2.1), hệ số tỉ lệ thể tích k = 1. Bảng 4. Bốn tần số không thứ nguyên khi b/a biến đổi Tần số mode b/a = 0,5 b/a = 0,75 b/a = 1 b/a = 2 0mmhE   1 0,0875 0,0278 1,4610 0,5621 2 0,2357 0,1236 8,7422 1,4665 3 0,6434 0,2304 9,4531 3,9232 4 0,9596 0,4316 23,5610 6,3325 Nhận xét: Khi tỉ số b/a biến đổi từ 0,5 - 2 thì tần số của tấm biến đổi, với b/a = 1 (tấm hình vuông) cho giá trị tần số lớn nhất. 4.2.4. Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên đến khả năng chịu uốn của tấm với 4 trường hợp:  TH1: Tựa đơn 4 cạnh (ssss); TH2: Ngàm 4 cạnh (cccc); TH3: Tự đơn 2 cạnh đối diện và ngàm 2 cạnh đối diện còn lại (scsc); TH4: Tựa đơn 2 cạnh kề nhau, ngàm 2 cạnh kề còn lại (sscc) với các thông số: k = 1; a = b (m), quy luật biến đổi chiều dày như trường hợp 2 (TH2, Mục 4.2.1) Bảng 5. Bốn tần số không thứ nguyên khi điều kiện biên biến đổi Tần số mode ssss cccc scsc sscc 0mmhE   1 1,4610 4,8478 3,1247 3,1071 2 8,7422 19,9509 10,8698 14,5506 3 9,4531 21,5477 18,2425 16,8611 4 23,5610 45,9144 33,9637 37,5316 Nhận xét: Khi điều kiện biên biến đổi, tần số dao động của tấm biến đổi, tấm liên kết ngàm 4 cạnh có tần số lớn nhất, tấm liên kết tựa đơn 4 cạnh có tần số nhỏ nhất.      Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209    36 5. Kết luận  Dựa trên phương pháp PTHH, lý thuyết tấm Mindlin các tác giả đã xây dựng chương trình tính, phân tích dao động riêng của tấm FGM có chiều dày biến đổi. Các kết quả cho thấy tần số dao động riêng của tấm FGM phụ thuộc đáng kể vào quy luật biến đổi chiều dày, chỉ số mũ tỉ lệ thể tích... kết quả nghiên cứu làm cơ sở cho việc tính toán, thiết kế tấm FGM có chiều dày biến đổi. Với thuật toán, chương trình tính đã lập, có thể phân tích các lớp bài toán FGM có chiều dày biến đổi khác như: Bài toán có kết cấu phức tạp (quy luật biến đổi chiều dày phức tạp hơn, tấm có gân gia cường, lượn sóng…), bài toán đáp ứng động, chịu lực phức tạp, bài toán ổn định, các bài toán tấm FGM có chiều dày biến đổi trên nền đàn hồi. Tài liệu tham khảo 1.  Sakiyama, M. Huang. Free Vibration Analysis of Rectangular Plate with Variable Thickness. Reports of the Faculty of Engineering, Nagasaki University, 28(5l). 2.  R. U. Reddy, Kuma (2014). Free Vibration Behaviour of Functionally Graded Plates Using Higher-Oder Shear Deformation Theory. Journal of Applied Science and Engineering,  17, 231-241. 3.  P. Gagnon, C. Gosseln (1997). The Finite Strip Element for the Analysis of Variable Thickness Rectangular Plate. Computers Structures, 63(2), 349-362. 4.  Y. K. Cheung (1968). The Finite Strip Method in the Analysis of Elastic Plates with Two Opposite Simply Supported Ends. Proceedings of Institution of Civil Engineers, 40, 1-7. 5.  G. H. Powell and D. W. Ogden (1969). Analysis of Orthotropic Bridge Decks. Journal of the Structural Division, 95(5), 909-922. 6.  T. Le-Manh, Q. Huynh-Van, Thu D. Phan, Huan D. Phan, H. Nguyen-Xuan (2017), Isogeometric Nonlinear Bending and Buckling Analysis of Variable-Thickness Composite Plate Structures. Composite Structures, 159, 818-826. 7.  Tran Trung Thanh, Do Van Thom, Doan Trac Luat, Tran Van Ke (2018). Static Bending Analysis of Variable-thickness FGM Plates Based on Mindlin Theory and Finite Element Method. Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, tập 3, quyển 2, 1038-1045. 8.  Thom Van Do, Dinh Kien Nguyen (2017). Analysis of Bi-directional Functionally Graded Plates by FEM and A New Third-Order Shear Deformation Plate Theory. Thin-Walled Structures, 119, 687-699. 9.  Chu Quốc Thắng (1997). Phương pháp phần tử hữu hạn. Hà Nội: Khoa học và Kỹ thuật.     Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật – ISSN 1859-0209    37 FREE VIBRATION ANALYSIS OF FGM VARIABLE  THICKNESS PLATES BASED ON MINDLIN THEORY  AND FINITE ELEMENT METHOD Abstract: This paper studies free vibration behavior of functionally graded material plates (FGM) characterized by a thicknesses variation based on Mindlin theory and finite element method (FEM). The authors establish a MATLAB program, then verify our program by comparing our results with publishing results in the literature. Based on this basis, the authors examine the numerical survey and we have shown the effect of geometric and physical parameters of the structure such as the law of varying thickness, boundary condition, material volume ratio on the free vibrations of the plate. Keywords: FGM; free vibration; finite element method; variable thickness. Ngày nhận bài: 22/3/2018; Ngày nhận bản sửa lần cuối: 21/6/2018; Ngày duyệt đăng: 21/8/2018  

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM FGM CÓ CHIỀU DÀY BIẾN ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

http://jst.lqdtu.edu.vn/index.php/jst/article/download/455/310

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM FGM CÓ CHIỀU DÀY BIẾN ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Journal of Science and Technique