Carvalho, Luís

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Repositório do ISCTE

Instituto Universitário de LisboaDepartamento de MatemáticaExercícios de Equações Diferenciais Ordinárias1 Exercícios1.1 EDO de Variáveis SeparáveisDiz-se que uma equação diferencial ordinária (EDO) é de variáveis separáveis quando éda formag(y)y′ = f(t) (1)De facto, se f e g forem contínuas, admitem primitivas F e G e o problema pode, peloteorema da função composta, ser reescrito como ddt (G(y(t)) =dFdt . Primitivando ambosos lados obtemos a seguinte soluçãoG(y(t)) = F (t) +K para todo o K ∈ R. (2)1. Considere a equação y′ = y2.(a) Supondo y2 6= 0 mostre que é uma EDO de variáveis separáveis identificandog(y) e f(t).(b) Resolva a equação que se obteve após usar diferenciais para rescrever a equa-ção como y−2dy = dt.2. Resolva os problemas que se seguem.(a) yy′ = t, y(3) = −2.(b) y2y′ = t2.(c) y′ = 2e−yt.(d) 2yy′ = − sin t, y(0) =√2.(e) y′ = 1 + y2, y(0) = 0.(f) xdx = (3 +1y)dy.(g) (1 + ex)yy′ = ex, y(0) = 1(h) (x+ 1)ydx− 2x(y + 5)dy = 0.(i) (x2 − yx2)dy + (y2 + xy2)dx = 0, y(1) = 13. A evolução duma população p pode ser determinada por uma equação diferencial.No modelo de Verhulst (1836) a taxa de crecimento duma população κ = κ(p)depende linearmente da população κ = κ(p) = a − bp onde a e b são constantes2positivas. Isto leva à equação de variáveis separáveis p′ = (a − bp)p. Vamosassumir que a = 2 e b = 1, i.e., que a evolução da nossa população é dada porp′ = (2− p)p. (3)(a) Comece por verificar que p ≡ 0 e p ≡ 2 são soluções. Interprete-as.(b) Mostre agora que∫1(2−p)pdp =12 ln∣∣ p2−p∣∣+ C(c) A partir da alínea anterior conclua que a solução geral de (3) satisfaz |p| =|2− p|e2(t+C).(d) Generalize o resultado anterior ao caso geral com a e b constantes positivasarbitrárias.1.2 EDO Lineares de 1a OrdemEDO lineares são equações da formay′ + a(t)y = b(t) . (4)com a(t) e b(t) funções contínuas num intervalo. A equacão (4) pode ser resolvidade forma explícita. Para tal convém notar que (yePa)′ = (y′ + ay)ePa, com a,b, e P a denotar , respetivamente, as funções a(t) e b(t) e primitiva. Portanto,multiplicando ambos os lados da equação (4) por ePa, obtemos(yePa)′ = bePa ⇒ yePa = P(bePa),e concluímos que a solução geral de (4) é dada pory = Ce−Pa + e−PaP(bePa). (5)4. Vamos resolver o PVI {y′ = t(−2y + 1)y(0) = 3 .(6)(a) Escrevendo o problema na forma (4). Identifique a e b e calcule Pa e conclúaque P(bePa)= et22 + k(b) Deduza que a solução do PVI é dada por y(t) = 12(5e−t2+ 1)(c) Verifique que de facto a solução anterior resolve o PVI.35. Considere-se um reservatório com capacidade para 500 litros. Inicialmente com100 litros de água limpa. No instante t = 0, continua a encher-se o reservatórioabrindo uma torneira com um caudal de 4 litros por segundo e 50% de poluentes.Simultaneamente, com auxílio de uma bomba, retira-se do reservatório 3 litros porsegundo da mistura de água e poluentes assim obtida, que se assume ser semprehomogénea. O objectivo deste problema é encontrar a concentração de poluentesno reservatório quando este transborda.Seja q(t) = quantidade de poluentes no instante t. O caudal de entrada de po-luentes é ve = 2 litros por segundo. O caudal de saída é vs = 3q(t)V (t) , ondeV (t) = 100 + t é o volume de mistura no tanque no instante t. Temos entãoq′ = ve− vs = 2− 3q100+t . Assim sendo, visto que o tanque atinge a sua capacidademáxima no instante t = 400 (segundos), a situação em causa é modelado peloPVI {q′ + 3100+t q = 2 , t ∈]0, 400[q(0) = 0 ,(a) Encontre a solução do PVI.(b) Qual a concentração de poluentes quando transborda?6. Resolva os seguintes PVIs(a) y′ + sin(t)y = 0, y(0) = 3/2.(b) y′ = te−t − y, y(1) = 2.(c) y + 4∫ t0 y = 5t+ 3.(d)√1 + x2 y′ + y = 2x, y(0) = 2.(e)12y′ = y tan(2x) + 1 + sec(2x), y(π/2) = 1.7. Resolva as seguintes EDO lineares:(a) (x+ 1) y′ − y = 3x4 + 3x3(b) y′ − yx= x.(c) y2dx− (2xy + 3) dy = 0.(d) y′ + y cos (x) =12sin (2x).(e) y′ = y tan (x) + cos (x).8. Seja p = p(t) (euros/ano), t ∈]0, T ] (anos), a taxa de pagamentos a efectuardurante o período em causa. Mostre que o valor do depósito a efectuar, numa4conta de capitalização contínua a uma taxa de juro anual r, para cobrir todos ospagamentos, é dado por ∫ T0p(t)e−rtdt.1.3 EDO de BernoulliUma EDO de 1a ordem diz-se de Bernoulli se pode ser escrita comoy′ +A(x)y = B(x)yn.Efectuando a divisão por yn, supondo que y 6= 0, a EDO é equivalente a 1yn y′ +A(x) 1yn−1 = B(x). Pela mudança de variável z = y1−n, uma EDO de Bernoullipode ser escrita como a equação linear11− nz′ +A(x)z = B(x).9. Considere a EDO de 1a ordem seguintey′ + xy = x3y3.(a) Divida a EDO por y3.(b) Efectue a mudança de variável y−2 = z e classifique a EDO obtida quantoao tipo.(c) Resolva a EDO obtida.10. Resolva as seguintes EDO de Bernoulli, fazendo primeiro a mudança de variávele depois resolvendo a EDO linear obtida:(a) 3y2y′ − ay3 = x+ 1.(b) yx′ + x = x2 ln (y).(c) xy′ = y + 2xy2.(d) y′ cos (x) + y sin (x) + y3 = 0.11. Resolva os seguintes PVI:(a) y − cos(x)y′ = (1− sin(x))y2 cos(x), y(0) = 1.(b) y′(x2y3 + xy)= 1,y(1) = 0.52 Soluções2.1 EDO de Variáveis Separáveis1. (a) y−2y′ = 1, g(y) = y−2 e f(t) = 1.(b) −y−1 = t+ k, para todo o k ∈ R.2. (a) y2 = t2 − 5.(b) y3 = t3 + k.(c) ey = t2 + k, para todo o k ∈ R.(d) y2 = cos(t) + 1.(e) arctan(y) = t.(f) x2 − 3y − ln |y| = k, para todo o k ∈ R.(g) y2/2 = ln(1 + ex) + 1/2− ln 2.(h) x+ ln |x| − 2y − 10 ln |y| = k, para todo o k ∈ R.(i) ln |x/y| − (1/x+ 1/y) = −2.3. (a)(b)(c)(d)2.2 EDO Lineares de 1a Ordem4.5. (a) q(t) = 1/2(100 + t− 108(100+t)3)(b) q(400)/400 = 0, 624, q(400) = 254−15 = 249.6(litros).6. (a) y = 32ecos(t)−1.(b) y = t22 e−t + ke−t, para k ∈ R.(c) y = 1/4(5 + 7e−4t).(d) (x+√1 + x2)y = x√1 + x2 − ln(x+√1 + x2) + x2 + 2.(e) y = tan(2x) + 2x sec(2x) + (−1− π) sec(2x).67. (a) y = 3(x+ 1)(x3/3− x2/2 + x− ln(x+ 1)) + C(x+ 1), k ∈ R.(b) y = x2 + kx, k ∈ R.(c) x = −1/y + ky2, C ∈ R.(d) y = sin(x)− 1 + ke− sin(x), C ∈ R.(e) y = sec(x)(x/2 + sin(2x)/4) + k, k ∈ R.8.2.3 EDO de Bernoulli9. (a) (1/y3)y′ + x/y2 = x3.(b) EDO linear, z′ − 2xz = −2x3.(c) 1/y2 = x2 + 1 + kex2 , k ∈ R.10. (a) y3 = −(x+ 1)/a− 1/a2 + keax, k ∈ R.(b) 1/x = ln y + 1 + ky, k ∈ R.(c) 1/y = −x+ k/x, k ∈ R.(d) y = 1/√2 tan(x) sec(x) + k sec2(x), k ∈ R.11. (a) y = (sec (x) + tan (x)) / (sin (x) + 1)(b) 1/x = −y2 + 2− e−y2/27

Equações Diferenciais Ordinárias

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