Fahse, Christian

Wagner, Ralf

Eldorado - Ressourcen aus und für Lehre, Studium und Forschung

In Institut für Mathematik und Informatik Heidelberg (Hrsg.), Beiträge zum Mathema-
tikunterricht 2016 (S. x–y). Münster: WTM-Verlag 
 
Christian FAHSE, Ralf WAGNER, Landau 
„Propädeutischer“ Grenzwertbegriff - eine erprobte 
Konkretisierung für die Unterrichtspraxis 
Ein rigoroser Grenzwertbegriff baut auf Folgen auf. Interessanterweise 
kommt das Wort „Folgen“ in den Bildungsstandards (KMK, 2015) gar nicht 
vor. Die Auslassung bzw. Verschiebung des Themas „Folgen“ erlaubt es, 
gleich zu Beginn des Analysisunterrichts den Ableitungsbegriff anzusteuern. 
Ein "propädeutischer" Grenzwertbegriff müsste also genügend tragfähig 
sein, um mit ihm Grenzwerte von Differenzenquotienten ohne Folgen und 
ohne einen formalen Grenzwertbegriff behandeln zu können. Gleichzeitig 
sollte er anschlussfähig an die fachmathematischen Definitionen sein und 
persistierende Fehlvorstellungen vermeiden. 
Unterrichtsvorschlag – Einstieg in die Analysis 
Im Folgenden soll eine konkrete Unterrichtsidee grob skizziert werden. 
Diese wurde von beiden Autoren in insgesamt 7 Kursen an rheinland-pfälzi-
schen Gymnasien erprobt. Direkt am Anfang wird eine Aufgabe gestellt, die 
problemorientiert auf die Steigung in einem Punkt führt (z. B. Weiterführung 
eines Brückenbogens in ein gerades Element). Zunächst werden die Schüler 
nur Näherungslösungen erzielen. Die naheliegende Betrachtung mit der 
Funktionenlupe (Elschenbroich, 2015) zeigt das erste erstaunliche Ergebnis: 
Die geschwungene Kurve ist vergrößert (fast) „gerade“, und die Weiterfüh-
rung erweist sich als Sekante. Schülerlösungen können in einer Tabelle (vgl. 
Tab. 1) gesammelt werden. Das Problem einer knickfreien Fortführung lässt 
die Tabelle naheliegenderweise mit immer kleinerem Abstand h der Stütz-
stellen fortführen. Im Falle einfacher Funktionen und ganzzahliger Stützstel-
len lässt sich oft ein optimaler Wert raten. Die zugehörige Gerade erweist 
sich als Tangente, die in der Funktionenlupe lokal deckungsgleich mit dem 
Graphen der Funktion erscheint. Schreibt man die letzte Zeile der Tabelle 
allgemein, so lässt sich in manchen Fällen der Stützstellenabstand h im Nen-
ner kürzen und der geratene Wert kann algebraisch bestätigt werden. Das 
Limeszeichen kann als Umschreibung dieses Grenzwertüberganges an der 
Tabelle plausibel eingeführt werden.  
Hinsichtlich des methodischen Vorgehens ist es wichtig, zunächst ganz nah 
am gewählten Kontext zu bleiben und das Modellieren (Gruppenarbeit) in 
den Vordergrund zu stellen, also authentisch problemorientiert zu unterrich-
ten. Die dargestellte Tabelle stellt also nur den Endpunkt einer Entwicklung 
dar, in der insbesondere bei der Aufstellung der Formel des Differenzenquo-
 tienten der Impuls zur Verallgemeinerung durch die Lehrkraft gegeben wer-
den muss. Der untersuchte Grenzübergang wird parallel dazu mittels ent-
sprechender Applets visualisiert. 
 
Abb. 1 Tabelle  
Die Tabelle zur numerischen und 
algebraischen Bestimmung der Ab-
leitung entwickelt sich in mehreren 
Doppelstunden. 
Theoretischer Hintergrund 
Der Vorschlag, den Ableitungsbegriff ohne vorherige Thematisierung von 
Folgen einzuführen, ist nicht neu. Bereits zu Beginn des 20. Jahrhunderts 
kam die Idee intuitiver Zugänge zur Analysis auf. Artin (1957) und Lang 
(1964) stellten Zugänge mittels eines intuitiven Grenzwertbegriffes dar, die 
in der deutschen didaktischen Landschaft zunehmend Widerhall fanden 
(Blum 1979). Auch aktuelle Standardwerke behandeln zunächst einen "pro-
pädeutischen" oder "anschaulichen" Grenzwertbegriff (Büchter & Henn 
2010, S. 85, 88). Blum betont die Vorteile auch bzgl. der Anschlussfähigkeit: 
„Ein vereinfachter Grenzwertbegriff verbaut also nichts, er ist im Gegenteil 
noch offen für sämtliche Arten der Präzisierung“ (Blum 1979). Dennoch 
wird bis heute die fehlende Strenge im mathematischen Verständnis eines 
solchen anwendungsorientierten, anschaulichen Ansatzes kritisch gesehen 
(Weigand 2015, S. 97).  
Der hier unterbreitete Unterrichtsvorschlag stellt heraus, dass für das Model-
lieren im Rahmen der Differenzialrechnung ein intuitiver Grenzwertbegriff 
ausreichen kann. Die Frage, ob es curricular vertretbar ist, auf das Thema 
„Folgen“ und einen rigoroseren Grenzwertbegriff gänzlich zu verzichten, 
wird hier nicht behandelt. Stattdessen wird im Folgenden argumentiert, dass 
es legitim ist, einen intuitiven Grenzwertbegriff ohne die vorherige Behand-
lung von Folgen mit einem exakten Grenzwertbegriff zu unterrichten, indem 
die mathematische übliche Auffassung des Begriffs "Grenzwert" in eine Ab-
folge von Vorstellungen eingeordnet wird. 
Ausweitung des Grenzwertbegriffs 
Zunächst soll die Vielfältigkeit des Grenzwertbegriffes beispielhaft darge-
stellt werden. Am einfachsten können Grenzwerte numerisch näherungs-
weise berechnet werden – nur dies wurde im Praxisvorschlag verwendet. 
Man denkt beim Thema „Grenzwerte“ wohl meist an Zahlenfolgen, die al-
 gebraisch auf einen Grenzwert führen oder graphisch gegen einen Wert stre-
ben. Aber dies ist nur ein Aspekt. Folgen geometrischer Figuren (archimedi-
scher Polygone) können gegen eine Grenzfigur (Kreis) konvergieren, was 
anschaulich beispielsweise als Daumenkino realisiert werden kann. Zufalls-
variablen konvergieren stochastisch nur "fast sicher", Abweichungen kann 
es geben, aber sie sind "beliebig unwahrscheinlich". Bei der Konvergenz von 
Funktionen kann neben der Konvergenz von Funktionswerten etwa bei heb-
baren Definitionslücken, auch der Verlauf der Funktion als Ganzes gegen 
eine Asymptote konvergieren. Topologische Filter verallgemeinern den 
Grenzwertbegriff, Non-Standard-Zahlen stellen die Konvergenz reeller Zah-
lenfolgen in einen besonderen Zusammenhang. 
Gemeinsam ist allen Beispielen eine geordnete Menge von Objekten in ei-
nem gemeinsamen Raum, in dem ein Konzept der "Nähe" definiert ist. Wich-
tiger sind allerdings die Unterschiede. Die angeführten Beispiele sollen ver-
deutlichen, dass die gedankliche Fixierung des Konvergenzbegriffs auf Zah-
lenfolgen zu eng ist. Erstens gibt es vielfältige relevante Zielräume. Zweitens 
kann man die Indexmenge einerseits auf die reellen Zahlen ausweiten, ande-
rerseits treten beim Daumenkino und der numerischen Grenzwertbestim-
mung sogar endliche Indexmengen auf, die auf Näherungsverfahren führen. 
Propädeutischer Grenzwert als ein Schritt in der Begriffsbildung 
Grenzwerte von Zahlenfolgen sind deshalb auch nur eine Stufe in einer Folge 
von Verallgemeinerungen des Grenzwertbegriffes. Dies soll nun durch einen 
Vergleich mit der Zahlbereichserweiterung deutlich gemacht werden. Statt 
nach dem Grenzwert fragt man hier: Was ist eine Zahl? Zunächst sind dies 
nur die natürlichen Zahlen. Dann kommt die Null hinzu, die gar nichts zählt. 
Die negativen Zahlen zählen vielleicht noch Fehlendes, die rationalen Zah-
len messen zwar noch, aber nicht alles. Dies führt auf die irrationalen Zahlen. 
Spätestens mit den komplexen Zahlen ist die Vorstellung, dass mit Zahlen 
die Größe einer Menge bestimmt wird, nicht mehr zu halten, denn sie sind 
nicht anzuordnen. Schließlich können mit Hamiltonschen Quaternionen, 
Non-Standardzahlen und Zufallsvariablen als verallgemeinerten Zahlen zu-
sätzliche Erweiterungen stattfinden. Obwohl Zahlen letztlich nur algebrai-
sche Objekte sind, gilt es als legitim, in der Primarstufe das Verständnis von 
Zahlen damit zu verbinden, dass sie etwas Konkretes zählen. Dieser Zahlbe-
griff muss dabei nur flexibel und anschlussfähig sein.  
Und hier kommen wir zu dem zentralen Punkt: Die Autoren stellen zur Dis-
kussion, bei der Entwicklung des Grenzwertbegriffs analog zu verfahren. 
Zunächst kann der Grenzwert durchaus ungefähr gleich dem letzten Wert in 
 einer endlichen Tabelle von Folgengliedern sein. Dies ist beim Differenzen-
quotient praktikabel, wenn die Stützstellendifferenz h nur klein genug ist 
(und führt für die in der Schule üblichen lokalkonvexen oder –konkaven 
Funktionen sogar zu einer Fehlerabschätzung!). In einem weiteren Schritt 
muss dann die Problematik einer solchen Definition aufgezeigt werden, ge-
nauso wie in der Zahlbereichserweiterung die Problematik der "Zählvorstel-
lung" thematisiert wird. Dieses Konzept kann dann mittels formaler Schreib-
weisen für geeignete Termumformungen nutzbar gemacht werden und ist 
anschlussfähig an formale Grenzwertdefinitionen und -sätze. 
Fazit 
Das hier vorgestellte Konzept soll im Zusammenhang mit dem propädeuti-
schen Grenzwertbegriff der Bildungsstandards als Beitrag auf unterschiedli-
chen Ebenen verstanden werden. Zum einen stellt es ein konkretes unter-
richtliches Vorgehen dar. Dabei wird "propädeutisch" so interpretiert, dass 
nicht der Grenzwert, sondern der Ableitungsbegriff im Vordergrund steht. 
Zum anderen wurde die Verengung des Grenzwertbegriffes auf Folgen als 
fachmathematisch problematisch herausgestellt und die Stufenhaftigkeit des 
Grenzwertbegriffes in Analogie zur Zahlbereichserweiterung gesetzt, wel-
che in akzeptierter Weise anschlussfähige Begriffsbildungen und ihre Erwei-
terungen thematisiert.  
Literatur 
Artin, E. (1957). A freshman honors course in calculus and analytic geometry. Taught at 
Princeton University. Charlottesville, VA: Mathematical Association of America.  
Blum, W. (1975). Ein Grundkurs in Analysis. Didaktik der Mathematik, 3, 163–184.  
Büchter, A. & Henn, H.-W. (2010). Elementare Analysis. Von der Anschauung zur The-
orie. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. 
Elschenbroich, H.-J. (2015). Anschauliche Differenzialrechnung mit der Funktionen-
lupe. MNU, 68(5), 273–277.  
Lang, S. (1964/1973). A first course in calculus. Dordrecht: Springer. 
Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepu-
blik Deutschland (Hrsg.) (2015). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die All-
gemeine Hochschulreife (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 18.10.2012). 
Köln: Link.  
Törner, G., Potari, D., & Zachariades, T. (2014). Calculus in European classrooms: cur-
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549–560. 
Weigand, H.-G. (2015). From an intuitive-oriented to a content-oriented understanding 
of the basics of calculus. Proceedings of the ICTMT12, Fargo. 


„Propädeutischer“ Grenzwertbegriff - eine erprobte Konkretisierung für die Unterrichtspraxis

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/35344/1/BzMU16%20FAHSE%20Grenzwert.pdf

„Propädeutischer“ Grenzwertbegriff - eine erprobte Konkretisierung für die Unterrichtspraxis

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