Le résultat principal de cette étude réside dans l'expression de la volatilité d'une option en fonction des autres paramètres intervenant dans le modèle classique de Black et Scholes. Cette expression, exacte, est déduite de manière analytique puis vérifiée de manière numérique.Modèle de Black et Scholes ; volatilité implicite ; problème inverse de valorisation des options

Nikolay Sukhomlin

Philippe Jacquinot

French

Research Papers in Economics

Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph.  04/05/2007  1/9 
SOLUTION EXACTE DU PROBLEME INVERSE DE VALORISATION DES 
OPTIONS DANS LE CADRE DU MODELE DE BLACK ET SCHOLES 
 
 
NIKOLAY SUKHOMLIN
1 * 
PHILIPPE JACQUINOT
2 
 
Le résultat principal de cette étude réside dans l’expression de la volatilité d’une option en 
fonction des autres paramètres intervenant dans le modèle classique de Black et Scholes. 
Cette  expression,  exacte,  est  déduite  de  manière  analytique  puis  vérifiée  de  manière 
numérique. 
 
Mots clés : Modèle de Black et Scholes, volatilité implicite, problème inverse de valorisation 
des options. 
 
EXACT SOLUTION OF THE INVERSE PROBLEM OF OPTION PRICING IN THE BLACK-SCHOLES MODEL 
The  main  result  of  this  study  concerns  the  expression  of  the  volatility  of  an  option  as  a 
function  of  the  other  parameters  intervening  in  the  traditional  Black-Scholes  model.  This 
expression, exact, is firstly deduced in an analytical way and secondly verified with simulated 
data. 
 
Key words : Black Scholes model, implied volatility, inverse problem of option pricing. 
 
Classification JEL : G13, G15  
 
 
INTRODUCTION 
 
Le  modèle  formulé  en  1973  par  Black  et  Scholes  est,  depuis  l’année  de  son  invention, 
demeuré la pierre de touche de la théorie des options et de la pratique des marchés de produits 
dérivés.  Il  permet,  dans  des  conditions  strictes,  de  valoriser  une  option  en  fonction  de 
paramètres dont les valeurs sont connues ou observables, tels que le taux d’intérêt, et d’un 
paramètre non observable : la volatilité. Très vite s’est posée la question du problème inverse 
visant à connaître le paramètre non observable en fonction des paramètres habituels, dont les 
valeurs sont connues ou observables, et de la valeur de l’option, également observable. 
 
Un grand nombre d’auteurs, parmi lesquels Bouchouev et Isakov (1997), Chiarella et alii 
(2003), Cont et alii (2004), Egger et alii  (2006) se sont penchés sur la résolution du problème 
inverse de valorisation des options.  Ils se sont heurtés, dans leurs approches respectives, à des 
complications  importantes.  D’autres,  tels  que  Hull  (2006),  ont  estimé,  de  manière  plus 
radicale, que cette inversion était impossible.  
 
                                                 
1  Department  of  Physics,  the  Autonomous  University  of  Santo-Domingo;  Department  of  Economy,  the 
Pontifical Catholic University of Santo-Domingo, Dominican Republic,  
2 Université Paris 1, Pantheon – Sorbonne, France. Chargé de cours vacataire dans les départements de Sciences 
Economiques,  de  Sciences  de  Gestion  et  à  l’Institut  d’Administration  des  Entreprises  de  Paris. 
ph.jacquinot@laposte.net ; philippe.jacquinot@univ-paris1.fr  
*Auteur  de  correspondance  :  Nikolay  Sukhomlin    w17971865@gmail.com,  ww17971865@yahoo.fr,  
Department  of  Economy,  the  Pontifical  Catholic  University  of  Santo-Domingo,  Dominican  Republic,  Ave. 
Abraham Lincoln, Esq. Romulo Betancourt, Ap. 2748, Tel. 809 535 0111, ext 2144, Fax: 809 534 7060 
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Les développements qui suivent présentent la solution analytique au problème de l’inversion 
de la formule de Black et Scholes puis sa vérification numérique. Nous partons des résultats 
des études de symétries effectuées par Sukhomlin (2004, 2006) et des approches quantitatives 
sur lois de conservation proposées par Sukhomlin et Jacquinot (2006). 
 
FORMULATION ANALYTIQUE EXPLICITE DE LA VOLATILITE 
 
L’équation  aux  dérivées  partielles  de  Black  et  Scholes  est  couramment  exprimée  de  la 
manière suivante : 
 
0
2
1
2
2
2 2 = -
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
V r
S
V
S r
S
V
S
t
V
s , 
 
où V est la valeur de l’option, S la valeur du sous-jacent à l’instant t, r le taux d’intérêt sans 
risque  (supposé  constant)  et  s   la  volatilité  (supposée  constante).  La  condition  aux 
bornes est : V  = max (S - K; 0)  à l’échéance pour une option d’achat  de style européen
3 
concernant  un  sous-jacent  ne  procurant  pas  de  flux.  Les  constantes K  et  T  représentent 
respectivement le prix d’exercice et l’échéance ( ] , 0 [ T t Î ). 
 
La solution classique de Black et Scholes s’écrit : 
 
) ( ) ( ) ( 2 1 d N t F d N S V - = , 
 
avec :  
) ( ) (
t T r e K t F
- - º , 
 
∫
¥ -
- º
d
u du e d N
2 /
2
2
1
) (
p
,    
 
t b
t
) 1 (
ln ln
1 - +
-
º
K S
d , 
 
t b
t
-
-
º
K S
d
ln ln
2 , 
 
t T - º s t ,     (1) 
 
2 2
1
s
b
r
- º .     (2) 
 
 
Etant donné que :         t + = 2 1 d d , 
 
 
                                                 
3 Seule l’étude des options d’achat est présentée puisque tous les résultats peuvent être facilement étendus aux 
options de vente. 
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il est possible d’écrire
4 :            ) ( ) ( ) ( 2 1 d N t F d N S ¢ = ¢ . 
 
Soit par ailleurs la fonction x  : 
 
) 1 ( ) 2 ( V V - º x ,     (3)    
avec : 
) (ln /
) 1 ( S V V ¶ ¶ º , 
 
et          2 2 ) 2 ( ) ln ( / S V V ¶ ¶ º . 
 
Compte tenu de la propriété de la loi normale :   ) ( ) ( d N d d N ¢ - = ¢ ¢ ,     
 
il vient : 
) (
1
1 d N S ¢ =
t
x ,     (4) 
ou encore :  
) ( ) (
1
2 d N t F ¢ =
t
x .      
 
Soit  x E  l’élasticité de la fonction auxiliaire x  par rapport à S :  
 
S
E
ln
ln
¶
¶
º
x
x    ( ) b
t
+ - - = K S ln ln
1
2 ,      
 
et  
S K E ln ln ) (
2 - = - b t x .     (5) 
 
En remplaçant t  et  b  dans la relation (5) par leurs expressions dans (1) et (2), la volatilité 
peut alors directement être exprimée de la manière suivante :  
 
)
2
1
( ) (
) ( ) / ( ln
- -
- -
=
x
s
E t T
t T r S K
.  (6) 
 
Dans cette formule, la volatilité est ainsi écrite en fonction du quotient entre le prix du sous-
jacent et le prix d’exercice, du taux d’intérêt sans risque, de la maturité et de l’élasticité de la 
fonction auxiliaire x . Cette dernière est une combinaison de dérivées première et seconde de 
la valeur de l’option par rapport au logarithme du sous-jacent. La volatilité est donc bien 
définie de manière exacte en fonction des autres paramètres du modèle. Les valeurs de ces 
dernières sont connues, observables ou calculables à partir de données de marché. 
 
 
 
 
                                                 
4 Voir par exemple Wilmott et alii (1995). 
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VERIFICATION NUMERIQUE 
 
L’objectif des propos qui suivent est de vérifier de manière numérique l’expression directe de 
la volatilité formulée à la fin de la section précédente 
 
La  méthodologie  employée  repose  sur  la  simulation  de  données.  La  valeur  d’une  option 
d’achat Vi  est calculée à l’aide de la formule de Black et Scholes en utilisant une maturité   
(T-t), un prix d’exercice K, un taux d’intérêt sans risque  r,  une volatilité  s   et un prix du 
sous-jacent    Si    donnés.  L’opération  est  répétée  en  donnant  au  sous-jacent  des  valeurs 
successives différentes. 
 
On compare ensuite la volatilité calculée en se fondant sur la formule (6) avec celle qui a servi 
pour simuler les données.  
 
De manière chiffrée, les valeurs choisies du sous-jacent vont de 95 à 105 par saut de 0,01, le 
prix d’exercice est égal à 100 (milieu de la plage des valeurs du sous-jacent), le taux d’intérêt 
est égal à 4%, la maturité est égale à 0,2 et la volatilité est égale à 20%. 
 
Pour chaque valeur i S du sous-jacent, la valeur de  x est calculée en utilisant la formule qui 
suit : 
2
) 1 (
ln ln
2
2
1






- +
-
-
=
t b
t
p t
x
K S
i i
i
e S ,      
 
où  [ ] 1000 ; 0 Î i ,   N Î i ,   95 0 = S ;   105 1000 = S   et   01 , 0 1 = - + i i S S . 
 
Cette formule est l’expression discrète de l’égalité (4), après dérivation de la loi normale
5. 
 
La représentation graphique de x (figure 1) est une courbe concave. 
 
Figure 1 
Ksi 
0
100
200
300
400
500
94 96 98 100 102 104 106
S
T-t=0,20 T-t=0,40 T-t=0,60
x 2 , 0 04 , 0 100 = = = s r K
 
 
                                                 
5 Les calculs de   x  sur données discrètes en partant de la formule (3) aboutit à des données  voisines au 
millionième de la valeur approchée près. 
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Pour des maturités plus importantes que 0,2, la courbe est moins élevée et plus aplatie
6.   
 
L’utilisation de la formule (6) nécessite le calcul l’élasticité de  x . Ceci peut être fait, sur 
données discrètes, à l’aide de la formule suivante : 
 
[ ] 1000 ; 1
) S ln( ) S ln(
) ( ln ) ln(
1 - i i
1 - i i Î "
-
-
= E i
i
x x
x . 
 
Afin d’apprécier visuellement x , il est possible de reformuler l’expression (6) comme suit : 
 
b
t
x +
-
- =
2
ln ln K S
E .  (7) 
 
D’après cette relation, l’élasticité est une fonction linéaire décroissante de ln (S/K) avec pour 
coefficient directeur  
2 / 1 t -   et ordonnée à l’origine  b . 
 
L’élasticité étant un rapport de variations entre deux points, il est nécessaire pour représenter 
correctement  l’élasticité  de  x   d’associer,  pour  chaque  i  compris  entre  1  et  1000, 
i Ex à 
K ln
2
) S ln( ) S ln( 1 - i i -
+
.  
 
Sur la figure 2, l’élasticité de x calculée sur données simulées semble apparemment bien être 
une fonction linéaire décroissante de ln(S/K). 
 
Figure 2 
Elasticité de Ksi
-2,8
-2,5
-2,2
-1,9
-1,7
-1,4
-1,1
-0,8
-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6
0,8
1,1
1,4
1,7
1,9
-0,020 -0,015 -0,010 -0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020
ln(S/K)
T-t=0,20 T-t=0,40 T-t=0,60
b
) (
2 t T - bs
x E
2 , 0 04 , 0 100 = = = s r K x
 
 
                                                 
6 La valeur du sous-jacent pour laquelle la valeur de Ksi est maximale peut être, selon la valeur de r, supérieure, 
égale ou inférieure au prix d’exercice. 
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En utilisant la même méthode et en donnant des valeurs de 0,40 puis de 0,60 à la maturité, les 
deux courbes supplémentaires obtenues sont visuellement des droites passant par la même 
ordonnée à l’origine et dont la pente est moins négative. Ceci semble conforter la validité de 
la relation (7). 
 
D’un point de vue dynamique, la droite tourne avec le passage du temps autour du point fixe 
) , 0 ( b , dans le sens des aiguilles d’une montre. La connaissance de   b   permet aisément de 
connaître la volatilité. 
 
La validité expérimentale de la relation (6) peut être appréciée également en la réécrivant 
comme suit. 
 
( ) 0 ln ln ) (
2 = - - - S K E b t x .    (8) 
 
En utilisant les données simulées, il est possible de calculer le résidu 
i 1 e défini de la manière 
suivante : 
 
  




 +
- - - =
2
) S ln( ) S ln(
ln ) (
1 - i i 2
1 K E
i i b t e x . 
 
Sur la représentation graphique de 
i 1 e  il n’apparaît visuellement aucune tendance. 
 
Figure 3 
Expression 8 : résidus de calcul
-0,00000000000015
-0,00000000000010
-0,00000000000005
0,00000000000000
0,00000000000005
0,00000000000010
0,00000000000015
95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105
S
c
i 1 e 2 , 0 2 , 0 04 , 0 100 = - = = = t T r K s
 
 
Les valeurs de  
i 1 e  paraissent uniformément réparties de part et d’autre de l’axe des abscisses, 
sans évolution apparente de la dispersion. 
 
Dès lors que x  et son élasticité ont été calculés, il est possible de calculer la volatilité. 
 
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La relation (6) peut être transcrite de la manière suivante : 
 
[ ] 1000 ; 1
)
2
1
( ) (
) (
2
) S ln( ) S ln(
ln
1 - i i
Î "
- -
- -
+
-
= i
E t T
t T r K
i
i calc
x
s . 
 
On peut alors déterminer l’écart entre la volatilité calculée et la volatilité ayant servi pour la 
simulation des données : 
 
i i calc s s e - = 2 . 
 
Cet écart est représenté graphiquement sur la figure 4. 
 
Figure 4 
Volatilité - résidus de calcul
-0,00000000005
0,00000000000
0,00000000005
0,00000000010
0,00000000015
0,00000000020
95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105
S
i 2 e
0,0000000001864
2 , 0 2 , 0 04 , 0 100 = - = = = t T r K s
 
 
 
Les valeurs se partagent uniformément de part et d’autre de l’axe des abscisses, avec une 
dispersion plus forte autour de la valeur du spot égale 99,21 qui correspond à la valeur de 
l’élasticité de  x  proche de 0,5. La formule (6) montre la forte sensibilité au voisinage de 
cette valeur. L’approximation liée au calcul sur données discrètes a donc des effets amplifiés 
autour de ce point. 
 
Un  changement  d’échelle  permet  d’observer  de  manière  plus  précise  ce  phénomène  (voir 
figure 5). 
 
 
 
 
 
 
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Figure 5 
Volatilité - résidus de calcul - zoom
-0,00000000004
-0,00000000003
-0,00000000002
-0,00000000001
0,00000000000
0,00000000001
0,00000000002
0,00000000003
0,00000000004
98,5 99,0 99,5 100,0
S
i 2 e 2 , 0 2 , 0 04 , 0 100 = - = = = t T r K s
 
 
L’écart maximal entre la valeur de la volatilité calculée à partir de la formule (6) et la valeur 
de  la  volatilité  ayant  servi  à  simuler  les  données  est  de  l’ordre  du  milliardième  de  cette 
dernière. La formule (6) déduite de manière analytique semble ainsi, à des seuils acceptables, 
être corroborée par les chiffres. 
 
 
CONCLUSION  
 
Contrairement  à  un  préjugé  courant  dans  la  littérature  financière,  le  problème  inverse  de 
valorisation des options du modèle de Black et Scholes peut être résolu de manière exacte. 
Dans la première section de ce document, la solution analytique a été présentée. Dans la 
seconde section, elle a été vérifiée de manière numérique par la simulation de données. 
 
Plus  largement,  le  résultat  ici  obtenu  a  eu  pour  point  de  départ  l’analyse  de  la  symétrie 
spécifique de la solution classique de Black et Scholes trouvée par Sukhomlin (2006). La 
connaissance  de  cette  symétrie  cachée  a  permis  la  construction  d’une  expression  de  la 
volatilité implicite en fonction des paramètres observables sur le marché via l’introduction 
d’une nouvelle caractéristique « grecque » x . Cette approche peut s’avérer fructueuse pour le 
dégagement d’autres propriétés des systèmes dynamiques financiers. 
 
Les débouchés futurs en matière de recherche théorique et appliquée sont multiples. D’un 
point de vue fondamental, les enchaînements analytiques de cet article peuvent par exemple 
être utilisés pour extérioriser la volatilité dans des modèles représentant des extensions du 
modèle classique de Black et Scholes. D’un point de vue pratique, les travaux peuvent porter 
sur l’application des formules théoriques aux données réelles pour tenter de capter avec plus 
d’acuité qu’actuellement la volatilité implicite historique. 
 
 
 
 
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Remerciements : 
 
Philippe Jacquinot remercie vivement, de leur confiance et de leur soutien, les responsables 
des formations où il intervient. Nikolay Sukhomlin exprime sa gratitude à la fondation de 
SEESCyT,  à  M  Roberto  Reyna  et  au  Département  de  Physique  de  la  UASD  pour  leur 
coopération et l’aide apportée. 
 
 
BIBLIOGRAPHIE :  
 
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Political Economy, 81 (mai/juin), 637-659 
 
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Problems, v. 13, pp. 11-17 
 
Chiarella C., Craddock M. and El-Hassan N., (2003),  An Implementation of Bouchouev's 
Method for a Short Time Calibration of Option Pricing Models, Computational Economics, 
v. 22 ,  n. 2-3, pp. 113 – 138 
 
Cont  R.,  Tankov  P.,  Voltchkova  E.  (2004),  Option  pricing  models  with  jumps:  integro-
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Korotov, E. Onate, J. Périaux and D. Knorzer (Eds.) European Congress on Computational 
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Egger  H.,  Hein  T.  and  Hofmann  B.  (2006),  “On  decoupling  of  volatility  smile  and  term 
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Hull J. (2006), Options, Futures and Other Derivative Securities, 6
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Sukhomlin  N.  (2004),  “Simetría  y  nuevas  soluciones  de  la  ecuación  de  Black  Scholes”, 
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Sukhomlin N. (2006), “Ley de conservación del precio final en el modelo de Black Scholes”, 
Economía, Universidad de los Andes, Venezuela, n. 17-18, pp. 147-161 
 
Sukhomlin N., Jacquinot Ph. (2006) “Lois de conservation et modèle de Black et Scholes: 
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è Symposium 
de  Méthodes  Mathématiques  Appliquées  aux  Sciences  (SIMMAC),  Université  d’Antilles 
Guyane, Guadeloupe, France, 18-21 avril 2006 
 
Wilmott  P.,  Howison  S.,  Dewynne  J.  (1995),  The  Mathematics  of  Financial  Derivatives, 
Cambridge University Press. Cambridge 
 
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Solution exacte du problème inverse de valorisation des options dans le cadre du modèle de Black et Scholes

http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/14/47/81/PDF/Sukhomlin-Jacquinot_04_05_2007.pdf

Solution exacte du problème inverse de valorisation des options dans le cadre du modèle de Black et Scholes

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Research Papers in Economics