This paper is an example of project valuation using fuzzy real options methodology. It is based on the previous work by Carlsson y Fullér (2000).fuzzy real options

Bacchini, Roberto Darío

Garcia-Fronti, Javier

Marquez, Ezequiel

Spanish

Research Papers in Economics

VALUACIÓN DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN  
UTILIZANDO OPCIONES REALES BORROSAS 
 
Darío Bacchini, Javier García-Fronti y Ezequiel Márquez  
 
Centro de Investigación en Métodos Cuantitativos Aplicados a la Economía y la Gestión 
Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires 
Av. Córdoba 2122 – 2º Piso – Capital Federal, Argentina 
 
 
Febrero 2007 
 
 
Resumen 
 
Entre las  metodologías  para  evaluar  proyectos  de inversión en  tecnología,  una de  las más  utilizadas 
actualmente es la teoría de Opciones Reales, la cual permite evaluar las posibilidades de una empresa de 
flexibilizar la inversión de acuerdo a distintos escenarios. Esta teoría asume que el valor presente del 
beneficio  neto  futuro  esperado  es  un  valor  cierto,  lo  cual  es  de  difícil  aplicación  en  contextos 
tecnológicos. Asimismo, en los casos donde se instala tecnología nueva, tampoco la estadística tradicional 
puede dar respuesta debido a la falta de historia previa. Carlsson y Fullér (2000) desarrollan un modelo 
que permite que el flujo de fondos futuro sea borroso (en particular trapezoidal) logrando así extender la 
teoría  a  “opciones  reales  borrosas”.  Este  trabajo  describe  el  modelo  y  lo  aplica  a  un  caso  práctico, 
permitiendo contrastar los resultados con los modelos tradicionales de valuación de inversiones. 
 
Palabras Clave: Inversión en Tecnología, Valuación de Opciones Reales, Números Borrosos. 
 
 
Agradecimientos: Los autores agradecen el apoyo de la Universidad de Buenos Aires por medio del proyecto 
UBACyT E015, del programa PROPAI y del Centro de Investigación en Métodos Cuantitativos Aplicados a la 
Economía y la Gestión Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires. INTRODUCCIÓN 
 
Las técnicas tradicionales de evaluación de proyectos, “Valor actual neto” y “Tasa interna de retorno”
1, 
omiten  un  hecho  fundamental  que  debe  tenerse  presente  al  momento  de  realizar  una  inversión:  los 
Proyectos son dinámicos. Con esto queremos decir que las situaciones, las circunstancias o el ambiente en 
el cual se desarrolla un Proyecto van cambiando, y así una inversión rentable en un momento puede 
transformarse en deficitaria en otro. Para dar cuenta de esta característica fundamental de toda inversión 
surgen técnicas alternativas que están directamente asociadas a la administración o gestión del proyecto. 
Es decir, no debemos pensar solamente si es conveniente o no invertir, también debemos preguntarnos si 
es más conveniente esperar un tiempo y realizar la inversión en otro momento. A su vez, una vez en 
marcha el proyecto, podemos expandirlo si las cosas así lo ameritan, o bien achicarlo si los resultados no 
son  tan buenos como  esperábamos. En  el peor de los casos,  hay ocasiones en  que un proyecto  que 
esperamos que sea rentable resulta ser un fracaso, con lo cual la mejor alternativa podría ser abandonarlo 
y liquidar los activos destinados al mismo. 
 
La  metodología  que  contempla  las  características  descritas  en  el  párrafo  anterior  es  conocida  como 
Opciones  Reales  (Bacchini  et  al.,2006).  Son  oportunidades  de  tomar  una  decisión  determinada  en 
beneficio del resultado del proyecto y, por consiguiente, tienen un valor asociado. Al incluir el valor de 
estas oportunidades (diferir, abandonar, expandir), un proyecto que las técnicas tradicionales rechazarían 
puede convertirse en una buena elección a la hora de invertir.  Copeland y Antikarov (2001:5) definen a 
las Opciones Reales como “un derecho, pero no una obligación, de tomar una acción a un determinado 
costo por un período predeterminado”. 
 
Sin embargo, esta teoría presenta algunos problemas. Una de las variables principales en la valuación de 
una Opción Real es el valor presente de los flujos de fondos futuros de la inversión. Estos flujos de 
fondos son estimados, ya que no existe certeza respecto a su verdadero valor. Por lo tanto una mala 
estimación de dichos valores llevaría a tomar una mala decisión. En las inversiones en nuevas tecnologías 
este problema es aún más grave, ya que no existe información histórica, y por lo tanto no es aplicable la 
estadística clásica.  
 
Carlsson  y  Fullér  (2000)  y  Carlsson  y  Majlender  (2005)  introducen  un  nuevo  enfoque  basado  en  la 
matemática borrosa: las Opciones Reales Borrosas. Este trabajo utiliza el modelo de Opciones Reales 
                                                
1 Véase Bernardello et al. (2005). Borrosas presentado en dichos trabajos para valuar una opción de inversión en tecnología. La aplicación 
de la matemática borrosa a las Opciones Reales permite representar los flujos de fondos futuros por 
medio de una distribución de posibilidades, y de esta forma captar la incertidumbre que estos presentan. 
 
La  estructura del  trabajo es la  siguiente.  La  siguiente  sección  describe  la metodología  utilizada para 
valuar  una  Opción  Real  desde  el  enfoque  probabilístico.  En  la  sección  2  se  incorpora  al  modelo  la 
matemática borrosa para reflejar la incertidumbre en los flujos de fondos de la inversión. Finalmente, en 
la sección 3 se desarrolla un ejemplo numérico de aplicación del método.  
 
 
1. VALUACIÓN DE UNA OPCIÓN REAL PROBABILÍSTICA 
 
La característica principal de las Opciones Reales es que permite valuar la flexibilidad de las inversiones 
y las decisiones gerenciales durante el desarrollo de la inversión. A lo largo de la vida de un proyecto de 
inversión la empresa tiene la posibilidad de tomar decisiones para adecuarse a las distintas situaciones que 
se  presentan  y  de  esta  manera  aumentar  las  ganancias  esperadas  de  la  inversión  o  reducir  posibles 
pérdidas. Básicamente, la Teoría de Opciones Reales es una herramienta para valuar estas oportunidades, 
ampliando el análisis de los proyectos de inversión. 
 
Este valor de la flexibilidad (que en algunos casos es más importante que el valor del proyecto en sí), es 
un valor agregado a los proyectos de inversión. La Teoría de Opciones Reales se utiliza para obtener este 
valor y de esta manera incrementar el valor que posee un proyecto de inversión. En otras palabras, una 
inversión tiene dos valores distintos: uno sin considerar las Opciones Reales y otro que incorpora el valor 
de las Opciones Reales. En este sentido, Benaroch (2001, 2002) diferencia entre dos conceptos de valor 
actual. Por un lado, denomina Valor Actual Neto pasivo al valor actual neto tradicional, es decir, al valor 
actual de los flujos de fondos futuros de la inversión menos su costo. Asimismo, denomina Valor Actual 
Neto activo  al Valor Actual  Neto  pasivo más  el valor  que surge  de las  Opciones Reales que  pueda 
contener el proyecto de inversión: 
 
Para  calcular  el  valor  de  las  Opciones  Reales,  se  utilizan  las  técnicas  de  valuación  de  Opciones 
Financieras debido a las similitudes existentes. Uno de las principales técnicas utilizadas en finanzas es la fórmula desarrollada por Black y Scholes (1973) para la valuación de opciones de compra. En el mismo 
año Merton (1973) extendió dicha fórmula para la valuación de activos que pagan dividendos
2,  
 
( ) ( ) 0 0 1 2
δ − − = −
T rT C S e N d Xe N d  
donde 
2
0
1 2 1
ln
2
,
σ
δ
σ
σ
   + − +    
    = = −
S
r T
X
d d d T
T
 
 
y donde 
 
0 C   = valor de la opción de compra 
0 S   = precio del activo 
( ) N    = función de distribución acumulada para una variable normal estandarizada 
X    = precio de ejercicio 
r    = tasa de interés anual libre de riesgo con capitalización continua  
T    = fecha de vencimiento de la opción 
σ    = desvío estándar 
δ    = dividendos que paga el activo durante la vida de la opción 
 
 
Para la valuación de Opciones Reales, como primera aproximación, se utiliza esta misma fórmula pero 
cambiando algunas de las variables del modelo.  La diferencia principal es que  el activo que se está 
valuando es un activo real y no un activo financiero. Una de las características que debe presentar un 
proyecto de inversión para que se pueda aplicar esta teoría es que el mismo no sea “ahora o nunca”, es 
decir que el proyecto se pueda realizar en cualquier momento del tiempo. Por lo tanto, la pregunta que se 
hace la empresa no sólo es si debe realizar la inversión o no, sino también cuándo realizarla, en qué 
escala, etc. La regla de decisión que surge a partir de esta teoría es que la empresa debe invertir si el valor 
actual neto de la inversión es lo suficientemente grande como para compensar el valor de la opción. 
Distintos modelos de valuación de Opciones Reales, así como el contexto en el cual son aplicados se 
puede encontrar en Dixit y Pindyck (1994).  
 
Tomando  el  mismo  modelo  utilizado  para  valuar  opciones  financieras  (Benaroch,  2001),  (Benaroch, 
2002), el precio de una opción real es: 
( ) ( ) 0 1 2
δ − − = −
T rT VOR S e N d Xe N d  
                                                
2 Existen otros modelos para la valuación de opciones, pero la fórmula de Black y Scholes es una de las más 
utilizadas. Para una introducción a la teoría de valuación de opciones, véase Bachini et al. (2004) o Hull (2000).  
donde 
 
2
0
1 2 1
ln
2
,
σ
δ
σ
σ
   + − +    
    = = −
S
r T
X
d d d T
T
 
y donde 
 
VOR  = valor de la opción real 
0 S   = valor actual de los flujos de fondos esperados 
( ) N   = es la función de distribución acumulada para una variable normal estandarizada 
X   = valor de los costos de la inversión 
r   = tasa de interés anual libre de riesgo con capitalización continua 
T    = fecha de vencimiento de la opción 
σ   = volatilidad de los flujos de fondos esperados 
δ   = ingresos perdidos durante la duración de la opción 
 
Si bien las fórmulas de una y otra opción son similares, existe una diferencia sustancial en la aplicación 
de ambas opciones. Las opciones financieras pueden usarse libre e independientemente, mientras que las 
opciones reales se utilizan para tomar decisiones estratégicas dentro de la empresa, donde la decisión de 
tomar una opción debe considerar a la empresa como un todo. 
 
 
2. VALUACIÓN DE UNA OPCIÓN REAL. ENFOQUE HÍBRIDO 
 
En la fórmula para la valuación de opciones reales presentada en la sección anterior, el activo subyacente 
es el valor actual de los flujos de fondos esperados, mientras que el precio de ejercicio es el costo de la 
inversión. Éstos no son valores ciertos al momento de valuar la opción, son inciertos. Por esta razón, 
presentamos en esta sección un modelo que permite valuar una opción real aplicando la fórmula de Black 
y Scholes pero considerando que el valor actual de los flujos de fondos y el costo de la inversión son 
valores inciertos, utilizando números borrosos. Carlsson y Fullér (2000) y Carlsson y Majlender (2005) 
desarrollan un modelo que contempla la situación planteada. Siguiendo estos trabajos, se estima el valor 
actual de los flujos de fondos a partir de una distribución de posibilidad trapezoidal de la forma: 
 
( ) 0 1 2 , , , S s s α β =  
 donde [ ] 1 2 , s s  es el centro del número borroso  0 S  y es el intervalo que contiene los valores más posibles 
del valor actual de los flujos de fondos,  ( ) 2 s β +  es el valor más alto que puede tomar el valor actual y 
( ) 1 s α −  es el valor más chico del mismo. Asimismo, podemos estimar los costos esperados por medio de 
otra distribución de posibilidad trapezoidal de la forma: 
 
( ) 1 2 , , , X x x α β ′ ′ =  
 
donde el intervalo [ ] 1 2 , x x  contiene los valores más posibles del costo esperado, ( ) 1 x β′ +  es el valor más 
alto que pueden tomar los costos y ( ) 1 x α′ −  es el menor valor para los mismos. 
 
En este contexto, podemos utilizar la siguiente fórmula para calcular el valor de una opción real borrosa: 
 
( ) ( ) 0 1 2 ,
T rT VORB S e N d Xe N d
δ − − = −  
 
donde, 
 
( )
( )
2
0
1 2 1
ln
2
,
E S
r T
E X
d d d T
T
σ
δ
σ
σ
   
+ − +           = = −  
 
( ) 0 E S  es el valor esperado del valor actual de los flujos de fondos futuros,  ( ) E X  es el valor esperado 
de los costos y  ( ) 0 S σ σ ≡  es la varianza del valor actual de los flujos de fondos esperados. A partir de las 
operaciones aritméticas para números borrosos trapezoidales podemos encontrar una expresión para el 
valor de una opción real borrosa: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , ', '
T rT
1 2 1 1 2 2 VORB s s e N d x x e N d
δ α β α β
− − = − =
( ) ( ) ( ( ) ( ) , ,
T rT T rT
1 1 2 2 2 1 1 2 s e N d x e N d s e N d x e N d
δ δ − − − − − −  
( ) ( ) ( ) ( )) ' , '
T rT T rT
1 2 1 2 e N d e N d e N d e N d
δ δ α β β α
− − − − + +  
 El valor de una opción real en este contexto es un número borroso, en el cual los valores más posibles que 
puede  tomar  el  valor  de  la  opción  se  encuentran  en  el  intervalo 
( ) ( ) ( ) ( ) ,
T rT T rT
1 1 2 2 2 1 1 2 s e N d x e N d s e N d x e N d
δ δ − − − −   − −   , el máximo valor que puede tomar la opción es 
( ) ( ) ( ) '
T rT
1 2 e N d e N d
δ α β
− − +  mientras que el mínimo es  ( ) ( ) ( ) '
T rT
1 2 e N d e N d
δ β α
− − + . 
 
 
3. UNA APLICACIÓN PRÁCTICA 
 
Supongamos una empresa que desea hacer una inversión para la renovación y el mantenimiento de un 
nuevo sistema informático, por un plazo de 10 años. Luego de un estudio de mercado, la empresa estima 
que la inversión generará ingresos que pueden ser representados por el siguiente número borroso: 
 
( ) 0 $600.000;$900.000;$250.000;$250.000 S =  
 
Figura 1: Distribución de posibilidades del valor actual de los flujos de fondos futuros. 
 
A su vez, se cree que los costos de la misma pueden ser representados por otro número borroso: 
 
( ) $900.000;$1.100.000;$200.000;$200.000 X =  
  
Figura 2: Distribución de posibilidades del valor actual de los costos esperados. 
 
La empresa espera una tasa libre de riesgo del 4% anual, mientras que  estima perder un 3% de los 
ingresos por diferir la inversión. Para obtener el valor de la opción necesitamos calcular previamente los 
valores esperados de los flujos de fondos y los costos, así como la varianza de los flujos de fondos: 
 
( ) 0
$600.000 $900.000 $250.000 $250.000
$750.000
2 6
E S
+ −
= + =  
 
( )
$900.000 $1.100.000 $200.000 $200.000
$1.000.000
2 6
E X
+ −
= + =  
 
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
0
$900.000 $600.000 $900.000 $600.000 $250.000 $250.000 $250.000 $250.000
4 6 24
S σ
− − + +
= + +
( ) 0 $240.658,82 S σ =  
 
El valor que vamos a utilizar para la fórmula de Black & Scholes es el porcentaje de la varianza sobre el 
valor esperado:  ( ) 0
$240.658,82
0,3209
$750.000
S σ = = . 
 
Los cálculos los podemos realizar en una planilla de Excel de la siguiente manera: 
  
Figura 3: Cálculo de los valores de la Opción Real Borrosa 
 
El valor de la Opción Real es el número borroso: 
 
( ) $98.252,37;$270.232,98;$148.777,37;$148.777,37 VORB =  
 
 
Figura 4: Distribución de posibilidades del valor de la Opción Real 
 
De esta manera obtenemos un conjunto de valores posibles para la Opción Real, que amplían la capacidad 
de la empresa para tomar decisiones sobre la inversión que planea realizar. 
 
 
 
 CONCLUSIONES 
 
En el presente trabajo se introdujo un modelo de valuación de Opciones Reales Borrosas, basado en los 
modelos de Carlsson y Fullér (2000) y Carlsson y Majlender (2005). El modelo es una extensión del 
modelo clásico de valuación de  Opciones Reales basado en la fórmula desarrollada por Black y Scholes 
(1973). Por medio de la incorporación de la matemática borrosa se extiende el modelo para dar cuenta de 
la incertidumbre
3. De esta manera, el valor de la Opción Real es un número borroso, brindándole a la 
empresa una mejor herramienta de decisión, como se observa en la aplicación de la última sección del 
presente trabajo.  
 
Dejamos pendiente para futuros trabajos el desarrollo de una fórmula de valuación de Opciones Reales 
Borrosas utilizando el modelo de Merton (1976). Esta extensión permitiría contemplar la ocurrencia de 
eventos extremos por medio de un proceso de Poisson, brindando un modelo más adecuado para valuar 
Opciones Reales en un contexto de riesgos extremos, propios de las economías emergentes. 
                                                
3 Las variables utilizadas en el modelo se representan por medio de números borrosos, que permiten captar la 
incertidumbre de dichas variables. Referencias: 
 
Bacchini, R. D.; Míguez, D. F.; García Fronti, J. I.; Rey, S. A. (2004) Ingeniería Financiera. 
Futuros y Opciones utilizando Microsoft Excel. Omicron System. Argentina. 
 
Bacchini, D., García Fronti, J.  y Márquez E. (2006), Evaluación de Inversiones con Opciones 
Reales, Omicron Editorial. 
 
Bernardello, A. M.Casparri, Javier García Fronti, R. Gotelli y M. Rodriguez  (2005) Matemática 
financiera, Omicron, Buenos Aires. 
 
Benaroch, M. (2001). “Option-Based Management of Technology Investment Risk”, IEEE Transactions 
on Engineering Management, 48 (2), pp. 428-444.  
 
Benaroch, M. (2002). “Managing Information Technology Investment Risk: A Real Option Perspective”, 
Journal of Management Information Systems, 19 (2), pp. 43-84. 
 
Benaroch, M. and R. J. Kauffman (1999). “A Case for Using Real Options Pricing Analysis to Evaluate 
Information Technology Project Investments”, Information System Research, 10 (1) (March 1999), pp. 
70-86. 
 
Black, F. and M. Scholes (1973). “The pricing of options and corporate liabilities”, Journal of Political 
Economy, 81, 637-659. 
 
Copeland, Tom y Antikarov, Vladimir ( 2001) Real Options. A practitioner’s guide. Texere. USA. 
 
Carlsson, C. and R. Fullér (2000) “On fuzzy real option valuation” Turku Centre for Computer Science 
Technical Report No 367. Finland. 
 
Carlsson, C. and P. Majlender (2005) “On Fuzzy Real Option Valuation”, working paper presented at the 
9
th Annual International Conference on Real Options - Paris, France 
 Dixit,  A.  K.  and  R.  S.  Pindyck  (1994).  “Investment  under  Uncertainty”.  Princeton,  N.Y.:  Princeton 
University Press. 
 
Hull, J. C. (2000). Options, Futures & Other Derivatives. New York: Prentice-Hall. Fourth Edition 
 
Merton, R. (1973). “Theory of rational option pricing”, Bell Journal of Economics and Management 
Science, 4, 141-183. 
 
Merton,  R.  (1976).  “Option  pricing  when  underlying  stock  returns  are  discontinuous”,  Journal  of 
Financial Economics 3, 125-144. 

Project Valuation Using fuzzy Real Options

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