En esta breve nota queremos presentar las denominadas sucesiones look and say como recurso a la hora de abordar contenidos relacionados con la búsqueda de patrones, así como para plantear pequeñas investigaciones en el aula. El contenido de este artículo viene motivado por la sesión «sucesiones look and say» desarrollada el 4 de Noviembre de 2016 dentro del taller de talento matemático para 4º de la ES

Gairín, José María

Muñoz-Escolano, J. M.

Oller, Antonio Miguel

Spanish

Funes

Boletín de la SAPM   enero 2017Las sucesiones numéricas son un contenido clásico de la matemática escolar. Actualmente, aparecen en el currículoen el curso de 3.º de la ESO. Tanto en el caso de la asignatura Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadascomo en el de la asignatura Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas las sucesiones se encuentran enel Bloque 2 (Números y álgebra) donde se especifica, en sus contenidos:— Sucesiones numéricas. Sucesiones recurrentes. Progresiones aritméticas y geométricas.Por otra parte, a lo largo de los cuatro cursos de la ESO se insiste en el Bloque 1 (Procesos, métodos y actitudesmatemáticas) en aspectos como la necesidad de encontrar patrones y regularidades y de realizar investigaciones ma-temáticas. En particular, en la sección contenidos del currículo podemos encontrar las siguientes especificaciones:— Estrategias y procedimientos puestos en práctica: […] empezar por casos particulares sencillos, buscar re-gularidades y leyes, etc.— Planteamiento de investigaciones escolares en contextos numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos yprobabilísticos.Una revisión de varias propuestas editoriales parece indicar que la enseñanza de las sucesiones presta especialatención a los procedimientos de cálculo (término n-ésimo, suma o interpolación de términos, etc.) y que se centraprincipalmente en el caso de las progresiones aritméticas y geométricas. En consecuencia, la visión que los alumnos adquieren sobre las sucesiones es muy limitada desde el punto devista conceptual y está muy orientada hacia el manejo y uso de las expresiones algebraicas que las definen. Másen particular, esto implica que no se aprovechan las potencialidades que el uso de ciertos tipos de sucesiones «nohabituales» puede tener a la hora de trabajar algunos de los contenidos correspondientes al Bloque 1.En esta breve nota queremos presentar las denominadas sucesiones look and say como recurso a la hora deabordar contenidos relacionados con la búsqueda de patrones, así como para plantear pequeñas investigacionesen el aula. El contenido de este artículo viene motivado por la sesión «Sucesiones look and say» desarrollada el 4 de No-viembre de 2016 dentro del Taller de Talento Matemático para 4.º de la ESO [3].La sucesión look and sayEn un interesante video disponible en YouTube<https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA>, John HortonConway, antiguo profesor en Cambridge, relata cómo esta sucesión le llegó en forma de acertijo propuesto por unalumno. A la postre, el acertijo que le propuso ese alumno fue, en palabras del propio Conway: the stupidest problem you could conceivably imagine, that led to the most complicated answer that you could conceivablyimagine.Así pues, un alumno se acercó a Conway y le invitó a descubrir el siguiente número de la sucesión cuyos primerostérminos son:111211211…La sucesión look and sayporJ. M. GAIRíN, V. MANERO, J. M. MuñOZ y A. M. OLLER(universidad de Zaragoza)Entorno Abierto #14 AE19Conway no supo responder, por lo que el alumno escribió el siguiente elemento de la sucesión:111221Puesto que el profesor seguía sin adivinar como continuaba la sucesión, el alumno escribió el número siguiente:312211Como relata el propio Conway:I knew for the way he was saying it that, somehow, I was supposed to be able to guess. I still didn’t […] in the end he had to tell meJ. M. GAIRíN, V. MANERO, J. M. MuñOZ y A. M. OLLERLa sucesión look and sayBoletín de la SAPM   enero 2017Entorno Abierto #14 AE20El acertijo planteado por este alumno es lo que actualmente se denomina sucesión look and say con raíz (primertérmino) el número 1.Veamos otro ejemplo similar usando otra raíz. Consideremos una cadena de números naturales, por ejemplo:1 3Esta cadena se puede describir verbalmente como: «un uno y un tres»; es decir:1 1 1 3que, a su vez, se puede describir verbalmente como «tres unos y un tres»; es decir:3 1 1 3que no es más que «un tres, dos unos y un tres»:1 3 2 1 1 3Como es natural, este proceso puede continuar indefinidamente. Este tipo de sucesiones consisten en mirar ydecir, de ahí su nombre. Por tanto, la sucesión look and say se puede definir como aquella en la que cada elementose obtiene como la expresión numérica de la descripción verbal del elemento anterior. Pese a la aparente dificultad de expresar esta sucesión en términos puramente matemáticos, pueden demostrarseresultados interesantes sobre ella. El propio Conway [2] demostró que, salvo para el caso particular de la raíz 2 2,esta sucesión no se estabiliza nunca. Más aún, el ritmo de crecimiento (definido como el cociente entre el númerode cifras de dos términos consecutivos de la sucesión) viene dado en última instancia por la denominada constantede Conway:φ=1,3035772690342…La secuencia look and say ordenadaLa sucesión look and say ordenada es una versión modificada de la sucesión look and say. En este caso, cada elementode la sucesión es el número obtenido como descripción verbal del anterior, donde contamos primero el númerototal de unos, luego el total de doses, luego el número de treses y así sucesivamente. Para ilustrar esta sucesión presentamos el ejemplo siguiente. Consideremos nuevamente la cadena de númerosnaturales 1 3. La descripción verbal de esta cadena es: «un uno y un tres». Por tanto el segundo término de la su-cesión es 1 1 1 3. La descripción verbal es en este caso: «tres unos y un tres», por lo que el siguiente término será3 1 1 3. Ahora, a diferencia de la sucesión look and say original, la descripción verbal es «dos unos y dos treses» porlo que el término siguiente es justamente 2 1 2 3. Si continuamos con este proceso no es difícil comprobar que eltérmino undécimo de esta sucesión es:2 1 3 2 2 3 1 4Cuya descripción es «dos unos, tres doses, dos treses y un cuatro», llegando a la conclusión de que el duodécimotérmino es:2 1 3 2 2 3 1 4 Así, quizás sorprendentemente, ¡la sucesión look and say ordenada de raíz 1 3 se estabiliza!A pesar de la clara similitud que existe con la sucesión look and say, la sucesión look and say ordenada difiere en mu-chos aspectos de la sucesión original. La principal diferencia es que la sucesión look and say ordenada se estabilizasiempre [1].  Las sucesiones look and say como recurso didáctico en el aulaPensamos que estas sucesiones tienen propiedades que las convierten en objetos muy útiles e interesantes para suuso en el aula. Para empezar, son fáciles de presentar y se pueden plantear desde un punto de vista lúdico. Además,aportan una visión totalmente distinta de las sucesiones, al no tratarse de una progresión aritmética ni geométricani tener un término general expresable algebraicamente.Por otra parte, pese a que la comprensión de estas sucesiones no requiere de conocimientos matemáticos previos,el planteamiento de actividades relacionadas con ellas puede fomentar la adquisición de competencias matemáticas. A modo de ejemplo, vamos a presentar actividades de tres tipos (exploración, análisis y vuelta atrás) que puedenllevarse a cabo en el aula.Boletín de la SAPM   enero 2017Entorno Abierto #14 AE21EXPLORACIÓN                                     Sucesión original                                                                         Sucesión ordenadaANÁLISIS                                     Sucesión original                                                                         Sucesión ordenadaVuELtA AtRÁSBibliografía[1] V. BRONSTEIN y A. FRAENKEL. «On a Curious Property of  Counting Sequences». Amer. Math. Monthly. 101 n.º 6, 560-563, 1994.[2] J. H. CONWAY. The Weird and Wonderful Chemistry of  Audioactive Decay. Eureka 46 5—18, 1986. [3] F. DE LA CUEVA. «Taller de Talento Matemático». Entorno Abierto. n.º 12, 5-7, 2016.Calcula el sexto término de la sucesión look andsay ordenada cuyo primer término es 3.Calcula los once primeros términos de la sucesióncuyo primer término es 1 4.Calcula tantos términos como puedas de la suce-sión cuyo primer término es 2. ¿qué observas?Calcula los cinco primeros términos de la suce-sión look and say cuyo primer término es 2.Calcula los trece primeros términos de la suce-sión cuyo primer término es 1 2.Calcula tantos términos como puedas de la suce-sión cuyo primer término es 3. ¿qué observas?¿Puede ser el 1 1 3 un término de la sucesión?¿qué puedes decir sobre el número de cifras delos términos de la sucesión?¿qué forma pueden tener los números que apa-recen en la secuencia?¿Puede ser el 1 2 3 1 un número de la sucesión?¿Puede ser el 1 1 3 un término de la sucesión?¿qué puedes decir sobre el número de cifras delos términos de la sucesión?¿qué forma pueden tener los números que apa-recen en la secuencia?¿Puede ser el 1 2 3 1 un número de la sucesión.¿Cuál es el término anterior al 1 4?¿Cuál es el término anterior al 2 3?, ¿y el anterior?,¿y el anterior?, ¿y el anterior?¿Cuál es el término anterior al 3 2 1 4?, ¿es único?¿Cuál es el término anterior al 1 1?¿Cuál es el término anterior al 2 3?, ¿y el anterior?,¿y el anterior?, ¿y el anterior?¿Cuál es el término anterior al 3 2 1 4?, ¿es único?J. M. GAIRíN, V. MANERO, J. M. MuñOZ y A. M. OLLERLa sucesión look and say

La sucesión look and say

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