El pasado mes de octubre nos dejó Joaquín Hernández, uno de los grandes de ESTALMAT-Madrid. Joaquín estuvo muy comprometido a lo largo de toda su vida con todo lo que tuviera que ver con fomentar el interés por las matemáticas entre los jóvenes y trabajó con tesón para descubrir y mimar el talento matemático de sus estudiantes. Desde sus comienzos Joaquín destacó por su forma de enseñar matemáticas. Desde muy pequeño manifestó que de mayor quería ser profesor de matemáticas. Pasión, rigor, problemas y amor por sus alumnos, fueron los cuatro pilares de su ingente actividad profesional. A esto unía una constante pasión contagiosa, daba igual que estuviera justificando que el ángulo que abarca un diámetro es recto o que el número pi es irracional

Sánchez, Merche

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Funes

El pasado mes de octubre nos dejó Joaquín Her-nández, uno de los grandes de ESTALMAT-Ma-drid.Joaquín estuvo muy comprometido a lo largode toda su vida con todo lo que tuviera que vercon fomentar el interés por las matemáticas entrelos jóvenes y trabajó con tesón para descubrir ymimar el talento matemático de sus estudiantes. Desde sus comienzos Joaquín destacó por suforma de enseñar matemáticas. Desde muy pe-queño manifestó que de mayor quería ser profe-sor de matemáticas. Pasión, rigor, problemas yamor por sus alumnos, fueron los cuatro pilaresde su ingente actividad profesional. A esto uníauna constante pasión contagiosa, daba igual queestuviera justificando que el ángulo que abarcaun diámetro es recto o que el número pi es irra-cional.Joaquín fue catedrático de IES, los últimos25 años en el IES San Juan Bautista de Madrid.Profesor asociado de la Facultad de Matemáticasde la UCM durante 28 años. Profesor delegadoen la Olimpiada Matemática en Madrid. Directorde la colección de libros «La Tortuga de Aquiles»de la editorial Euler. Autor de libros de texto debachillerato. Infatigable conferenciante. Colabo-rador y al final principal responsable del concursode resolución problemas Puig Adam. Uno de losArtículo solicitado por Suma en julio de 2019 y aceptado en septiembre de 20197792Joaquín Hernández Gómez(Fuente del Arco, Badajoz, 1953-Madrid, 2018). Profesor pionerode eSTALMAT-MadridMERCHE SÁNCHEZ BENITO92SeCCIoneSnoviembre 2019pp. 77-82El rincónde ESTALMATComo el linaje de las hojas, tal es también el delgénero humano. De las hojas, unas tira a tierra elviento, y otras el bosque hace brotar cuando florece,en primavera. Igualmente, una generación humananace y otra desaparece. Homero (Ilíada, V: 145-150)creadores del Concurso de Primavera. Creadordel Concurso Intercentros que ahora lleva sunombre. Profesor del Máster de Formación delProfesorado en Matemáticas de la UCM y unode los profesores pioneros del Proyecto ESTAL-MAT.En 1998 cuando Miguel de Guzmán decidióponer en marcha el proyecto ESTALMAT en Ma-drid no dudó en contar con Joaquín, pues paraentonces, ya era una persona consagrada al nobleoficio de enseñar matemáticas, con una larga e in-tensa andadura profesional por la que ya se habíaganado el reconocimiento y el cariño de compa-ñeros y estudiantes. El proyecto le tuvo entusias-mado durante los veinte años que trabajó en él.Era un «todo terreno», solvente y riguroso ensu hacer matemático. Siempre fue garantía deltrabajo bien hecho. A todas partes llevó su energíainsólita, aquella con la que desafió, en los Pirineos,en los Alpes, en los Dolomitas, los riesgos deconquistar las más altas cimas de sus montañas.Su carácter era afable, generoso y muy abierto;la empatía era su tesoro, amigode sus amigos, tenía amigos entodas partes. Y en todas partessintió que no había mejor oficioen el mundo que el reto de guiara sus alumnos por el universomatemático. La nobleza fue sufacultad más preciada. Fue unexcelente profesor y una personacon una calidad humana incalculable. Es impo-sible olvidar su alegría, su lucidez para explicarlos conceptos más áridos y el entusiasmo quemostraba por nuestro oficio.Prosiguió su trabajo hasta el final, amaba suoficio con pasión y ninguno de los contratiemposque tuvo minaron su vitalidad. Siempre tuvo es-peranza. Por eso su espíritu, su forma de hacerlas cosas y sus enseñanzas no se apagarán y per-vivirán en nuestro recuerdo para siempre. Y, no hay mejor manera de recordar su laborque compartir en esta sección algunas de las múl-tiples tareas que realizó en ESTALMAT. El legadoque Joaquín nos ha dejado en ESTALMAT es in-menso. Tenemos propuestas para trabajar en claseen todos los niveles. Buena prueba de ello son elcapítulo «Cuestiones sobre irracionales» del libroMatemáticas para estimular el Talento II editado por laSociedad Andaluza de Educación Matemática«Thales» y los capítulos «Algunos aspectos rela-cionados con el número p», «Ternas Pitagóricas»y «Series de números positivos» del libro Matemá-ticas para estimular el Talento III de la misma editorial.En este artículo voy a recoger algunas de las pro-puestas para los estudiantes de primer año, queen Madrid tienen 12 y 13 años. Su estilo es muydirecto, mientras escribo algunas de sus propuestasresuenan en mi mente esos puntos sonoros queJoaquín marcaba con la tiza en la pizarra diciendo«¡Tate!» porque había conseguido que los estu-diantes llegaran fácilmente a interesantes conclu-siones. Como era infatigable y muy versátil parti-cipó activamente en la propuesta de problemaspara la prueba de selección y para problemas al es-print, una actividad de problemas encadenados enla que es necesario organizar bien el trabajo en elgrupo porque la solución de algunos de los pro-blemas es un dato necesario para la solución deotros. Aquí presento unos problemas propuestospara la prueba de selección y unacharla que impartió en el PrimerSeminario sobre actividades paraestimular el talento precoz en Ma-temáticas, en Tenerife en 2008.De todas sus propuestas pode-mos extraer ideas y modelos paratrabajar en las aulas de secundariaadaptándolas al nivel adecuado.Las propuestas de Joaquín para trabajar en elaula con los estudiantes de ESTALMAT estánpensadas para que a medida que se avance, sua-vemente en la tarea, se consolide el aprendizaje,siempre con un lenguaje muy directo. Por ejemplo, una hoja de trabajo tituladaAlgosobre números primos empieza así:1. Completa esta definición: «Un número primo esun número natural que…»2. ¿Por qué no consideramos primo el 1?en estos sábados vas a ver que hay infinitos nú-meros primos. Pero ahora vamos a ver solamentelos primos menores que 200, por ejemplo. eratós-tenes, un griego que vivió por el año 200 antes deCristo, desarrolló un método para hallar númerosprimos que todavía se utiliza hoy, y que seguro quelo has oído. Se llama criba de eratóstenes. Vamos arecordar en qué consiste. [Aquí Joaquín recordabala criba de eratóstenes].MerCHe SánCHez BenITo78noVIeMBre201992Y en todas partes sintióque no había mejor oficio en elmundo que el reto de guiara sus alumnos por el universomatemáticoDespués de encontrar los primos menoresque 200 plantea la siguiente cuestión:3. Acabas de escribir todos los primos menores que200, aplicando la criba de eratóstenes de maneraque solo has tenido que dividir entre los númerosprimos menores o iguales que 13. ¿es un númeroprimo el 221? ¿Hasta dónde has tenido que ir divi-diendo para saber si era primo el 221?4. Yo sé que 227, por ejemplo, es un númeroprimo. Para comprobarlo, he visto si era divisible por2, por 3, por 5, por 7, por 11, etc. o sea, he ido divi-diendo por primos menores que él. Un primo menorque él, es, por ejemplo, 29. ¿Tú crees que he llegadoa dividir hasta 29 para decidir que 227 era primo?5. ¿Hasta qué primo tienes que dividir para sa-ber si un número N cualquiera es primo?6. ¿es primo o compuesto el número 2 · 3 · 5 · 7 ·11 · 13 + 3? ¿Y el 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7·8 · … · 107 + 93?¿Crees que puedes encontrar 5 000 compuestosconsecutivos? explica como lo harás.Otra hoja de trabajo titulada Divisibilidad y res-tos, sigue la misma línea, guiar al estudiante conejercicios sencillos hasta resultados importantes.Entre otros ejercicios podemos encontrar:1. Ya sabes lo que es un número primo y tambiéncuando un número es divisible por otro. Hoy vas ahacer algunos ejercicios sobre estas cuestiones:2. ¿es cierto que si un número natural es divisi-ble por 4 y por 3 lo es por el producto 4 · 3 = 12? Y sies divisible por 4 y por 6 ¿lo es por su producto4 · 6 = 24?a)  el número A no es divisible por 3. ¿es posibleque el número 2A sea divisible por 3?b)  el número A es par. ¿es cierto que 3A debeser divisible por 6?c)  el número 5A es divisible por 3. ¿es ciertoque A debe ser divisible por 3?d)  el número 15A es divisible por 6. ¿es ciertoque A debe ser divisible por 6?Completa como creas conveniente estas frases:a)  Dos números naturales son primos entre sí si…b)  Si un número natural es divisible por p y q,primos entre sí, entonces es divisible por…c)  Si el número pA es divisible por q, siendo p y qprimos entre sí, entonces A es divisible por…4. elige el mayor número que puedas para com-pletar esta frase y luego escribe una demostraciónde lo que dice: «Yo estoy seguro de que el productode tres números naturales consecutivos cuales-quiera es divisible por…»5. Prueba que el producto de cinco númerosnaturales consecutivos cualesquiera es divisible pora) 30, b) 120.6. recuerda que 5! (factorial de 5) es el producto5 · 4 · 3 · 2 · 1. Calcula el menor número natural n talque n! sea divisible por 990. ¿en cuántos cerosacaba 100!? existe algún número n para el que n!acabe exactamente en cinco ceros?La hoja de trabajo titulada Algunas cuestionesmuy divertidas de lógica recoge los típicos problemasde los habitantes de una isla en la que ciertos ha-bitantes llamados caballeros siempre dicen la ver-dad, y otros llamados escuderos siempre mienteny se supone que todo habitante de la isla es obien caballero o bien escudero (Smullyan,1989).Un ejemplo:Tres de los habitantes A, B y C se encontraban enun jardín. Un extranjero pasó por allí y le preguntóa A: «¿eres caballero o escudero?». A respondió,pero tan confusamente, que el extranjero no pudoenterarse de lo que decía. entonces el extranjeropreguntó a B, «¿qué ha dicho A?». Y B le respondió:«A ha dicho que escudero». Pero en ese instante eltercer hombre, C, dijo: «¡no creas a B, que estámintiendo!». La pregunta es, ¿qué son B y C?Los libros de Raymond Smullyan Cómo se llamaeste libro, ¿La dama o el tigre? y Alicia en el país de lasadivinanzas, que a Joaquín le divertían tanto, sonuna fuente inagotable de este tipo de problemaslógicos.Otra hoja de trabajo titulada Paradojas presentaparadojas de todo tipo, geométricas y aritméticas:Una clásica: Dibuja un cuadrado 8¥8 y divídelo entrozos como indica la figura 1. reordena luego lostrozos como indica la figura 2 y llegarás a la conclu-sión de que 64 = 65. ¿Dónde está el error?JoAqUín HernánDez GóMez (FUenTe DeL ArCo, BADAJoz, 1953 – MADrID, 2018). ProFeSor PIonero De eSTALMAT-MADrIDnoVIeMBre20197992Figura 2Figura 1Otras falacias aritméticas:Intenta detectar el error en el razonamiento:1. Supón que a, b y c son números positivos ta-les que a=b+ c. ¿quién es mayor: a o b? Parececlaro ¿no? Pues mira este razonamiento:Si a=b+ c, multiplico en ambos términos pora– b y obtengo: a2 – ab=ab+ ac– b2 – bc (¡Comprué-balo!). Paso ac a la izquierda y tengo a2 – ab– ac==ab– b2 – bc.Saco factor común en ambos términos y llego aa (a– b– c) =b (a– b– c). Divido entre a– b– c y con-cluyo a=b.2. Ahora 1 = 2. en efecto:Supón que b=a. entonces ab=a2ﬁab– b2 ==a2 – b2ﬁb (a– b) = (a– b) (a+ b)ﬁb= (a+ b)ﬁb== 2bﬁ1 = 2.3. Pero no solamente 1 = 2, sino todos los ente-ros positivos son iguales. Comprueba que las igual-dades que vienen a continuación son verdaderas:a) 35 = 17 + 18 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + 8 b) 18 = a+ (a+ 1) + …. + (a+ k) = (k+ 1)(2a+ k)/2; esdecir 36 = (k+ 1)(2a+ k); si k es impar, k+ 1 es par y2a+ k es impar; si k es par, k+ 1 es impar y 2a+ k espar. Luego se trata de factorizar 36 como productode un número par por un número impar y solo haydos posibilidades: 36 = 3 · 12 = 4·9. Así 18 = 5 + 6 + 7 == 3 + 4 + 5 + 6.c) Porque todo número impar es suma de dosnúmeros naturales consecutivos: 5 = 2 + 3; 7 = 3 + 4;9 = 4 + 5... d) eliminamos todos los números impares queya sabemos que son trapeciales por el apartado an-terior; no son números trapeciales las potencias dedos porque su doble nunca se puede factorizarcomo el producto de un par por un impar. Así pues,entre 4 y 50, no son trapeciales 4, 8,16, 32. Este problema lo propuso para la prueba delaño 2012:Sumas igualesen la figura [4] que observas hay 7 círculos, dis-tribuidos en 5 líneas, 3 en cada línea, en los quedebes colocar en cada uno de ellos un número en-tero del 1 al 7, sin repetir números. Hay que conse-guir que los tres números de cada línea sumen lomismo. a) Si en el círculo de arriba colocas el 4, escribetres posibilidades de repartir los 7 números.b) Justifica que, en cualquiera de los repartosposibles, aunque no sean de los que has escrito an-tes, el número del círculo de arriba tiene que serun número par.MerCHe SánCHez BenITo80noVIeMBre201992! !! !=!⇒!! !! != !+!⇒!! !! != !!+ !+!⇒……⇒!" !! != !" !+ !" !+⋅⋅⋅+ !!+ !+!Los primeros términos de cada igualdad tienenel mismo denominador, pero difieren en los nume-radores, a saber: x– 1, x2 – 1, x3 – 1, …, xn– 1.Ahora bien, ¿hay algún valor de x para el queestos numeradores sean todos iguales? escríbelo:______. Así pues, para ese valor de x, los términosde la izquierda de las desigualdades que has escritoson iguales; luego los términos de la derecha tam-bién serán iguales: x+ 1, x2 + x+ 1, …, xn – 1 + xn – 2 + …… + x+ 1. Así pues 1 = 2 = 3 = 4 = … =n.El siguiente problema lo propuso Joaquínpara la prueba de selección de ESTALMAT de2005.Números trapeciales en este problema consideraremos unos trape-cios muy especiales. Tienen que tener dos ángulosrectos y un ángulo de 45º y además sus vérticeshan de ser puntos de una cuadrícula. Mira el trape-cio de la figura: como encierra 18 puntos, contandolos que hay sobre los lados, diremos que 18 es un«número trapecial».a) Haz un dibujo que muestre que 35 es un nú-mero trapecial.b) Dibuja todos los trapecios que tienen 18como número trapecial y justifica que no hay másque los que dibujas.c) explica por qué cualquier número impar ma-yor que 3 es un número trapecial.d) encuentra razonadamente todos los númerosentre 4 y 50 que no sean números trapeciales [figura3].Solución:Al ver la construcción deducimos que un nú-mero trapecial es suma de al menos dos númerosnaturales consecutivos. Figura 3Figura 4c) Demostrar que el número del círculo de arribadebe ser obligatoriamente un 4.en total hay tres números pares y 4 impares. Siel número de arriba fuera impar, quedarían 3 paresy 3 impares para poner en las líneas horizontales.Si hubiera 3 impares en una línea horizontal, en laotra habría 3 pares y la suma no sería la misma. Sihubiera dos impares y uno par en una línea hori-zontal la suma sería par, mientras que en la otra lí-nea habría un impar y dos pares, por lo que la sumasería impar [figura 5].El número p y la descomposición de un númerocomo suma de dos cuadradosPara cada entero no negativo n, sea el númeror(n) de pares ordenados de enteros (x,y) tales quex2 +y2 =n.Unos cuantos valores de r(n) serían r(0) = 1,r(1) = 4, las parejas (0, ±1) y (±1, 0), r(2) = 4 las parejas(±1, ±1), r(5) = 8 (±1, ±2) y (±2, ±1), r(3) = 0, r(7) = 0,r(25) = 12 (±5, 0), (0, ±5), (±3, ±4), (±4, ±3), etc.Como se puede observar, el comportamientode la función r(n) es tremendamente irregular; porejemplo es fácil ver que para n= 4k+ 3, r(n) = 0, puessi n=a2 +b2, uno de los dos debería ser impar y elotro par, pero (2p+ 1)2 + (2t)2 = 4k+ 1 y no n= 4k+ 3,pero también puede tomar valores arbitrariamentegrandes.en cambio, el valor medio de r(n) a lo largo delos z enteros 0, 1, 2, 3, …, z– 1, es decirJoAqUín HernánDez GóMez (FUenTe DeL ArCo, BADAJoz, 1953–MADrID, 2018). ProFeSor PIonero De eSTALMAT-MADrIDnoVIeMBre20198192Figura 5d) Si se hace la suma de las 5 líneas, todos losnúmeros se cuentan dos veces, excepto el de arribaque se cuenta tres veces. Si llamamos N a este nú-mero, la suma total es (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) · 2 ++N= 56 + N. Como hay 5 líneas, este número debeser múltiplo de 5. Si 1 ≤N≤ 7, el único valor posiblees el 4.El texto que presento a continuación está co-piado literalmente tal y como él lo escribió parael Primer Seminario sobre actividades para esti-mular el talento precoz en Matemáticas en Te-nerife.!!"#+!!$#+%%%+!!" &$#"ya tiene otro aspecto. en concreto: si llamamosR(z) = r(0) + r(1) + …+ r(z– 1), algunos valores de lafunción R(z)/z son:!=!"#"$!%!= #$&%=!!=!"#"$!%!=#$&%+#$'%!=(!!=!"#"$!%!=&+'+'!=!!= !"#"$!%!=&!!=!"#"$!%!=&'!!"#!→ !$"%"= Parece que fue Gauss (a los 22 años) quien con-jeturó y probó quees decir, que un entero no negativo tiene por tér-mino medio p representaciones como suma de doscuadrados.Una curiosa demostración de este resultado po-dría ser la siguiente:Consideremos la circunferencia de centro (0, 0)y radio √z, es decir C(√z):x2 +y2 = z, con z entero po-sitivo y contemos el número de puntos reticularesque hay en su interior: un punto reticular (a,b) desu interior verificará a2 +b2 =n< z, es decir, la pareja(a,b) estará contada en r(n). Así pues, la sumaR(z) = r(0) + r(1) + …+ r(z– 1) coincidirá con el númerode puntos reticulares en el interior de C(z). estimemos el número R(z). Alrededor de cada punto P reticular del plano,coloreamos un cuadrado de lado 1 centrado en P yde lados paralelos a los ejes. Si P es del interior deC(z) lo coloreamos de azul y si no, de rojo. Comoestos cuadrados no se solapan y cubren todo el planoy tienen área 1, R(z) coincidirá con el área de la regiónque hayamos coloreado de azul; R(z)=área azul.Casi todo el interior de la circunferencia seráazul aunque habrá trozos rojos correspondientes acuadrados como el de la figura 6. epílogoA su último viaje le siguió un multitudinario ho-menaje celebrado en la Facultad de Matemáticasel pasado 15 de marzo en el que su familia, susamigos, sus compañeros, sus alumnos y las au-toridades académicas de la UCM, el rector CarlosAndradas y el decano Antonio Bru, le recorda-mos con mucho cariño.Su amigo Ramón Antúnez se despidió di-ciendo: Decía eduardo Galeano que:«Mucha gente pequeña, en lugares pequeños,haciendo cosas pequeñas, pueden cambiar elmundo».Para todos nosotros tu corazón y tu talentonunca fueron pequeños. Gracias a gente como túexiste la esperanza. Por donde pasaste dejaste unmundo mejor, nos hiciste a todos mejores.Gracias eternas por todo, amigo del alma.Joaquín amó la vida y a los suyos. La ense-ñanza de las mates fue su pasión. Vuela alto amigo.referencias bibliográficasSMULLYAN, R. (1989), ¿Cómo se llama este libro?, Edi-ciones Cátedra, Madrid.Y casi todo el exterior será rojo, aunque análo-gamente habrá trozos azules (figura 7).por lo queMerCHe SánCHez BenITo82noVIeMBre201992Figura 6Figura 7Ahora bien: Sea O el centro de la circunferencia;si R es un punto rojo y Q el centro del cuadrado alque pertenece, es!" # !"!"$ #$!" !#!#"  $ !"#! !"#! " !"#!"< # !"!$" #$por lo que, de la desigualdad OQ≤OR+QR se tienequees decir, cualquier punto rojo dista del origen unnúmero mayor o igual que por lo que el interior dees completamente azul.Análogamente: si A es un punto azul y P el cen-tro del cuadrado al que pertenece, es !" !#+#"< $+!"  ! ! "##"$!%  !+ "##por lo tanto el área azul, o sea R(z), estará com-prendida entre el área de estos dos círculos.Así puescon lo que  !"#" !""$!%# !  !"+" !"  !"!#" !"!"$!%!#   !"!+" !"!!"#!→ !$"%" =&'(' !"#!→ !$"%"= de dondees decirMerCHe SánCHez BenIToUniversidad Complutense de Madrid<merche@mat.ucm.es>

El rincón de ESTALMAT: Joaquín Hernández Gómez

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