Presentamos algunas de las actividades matemáticas diseñadas por integrantes del Grupo de Álgebra y por estudiantes practicantes del departamento de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, desarrolladas en el Club de matemáticas, éstas les ha permitido a los niños, descubrir relaciones, hacer hipótesis, simbolizar, enunciar teoremas y fascinarse con el trabajo matemático

Luque, Carlos Julio

Mora, Lyda Constanza

Funes

 8oEncuentroColombiano demat máticaducativa                                                                                 CONFERENCIAS     83  Actividades en el club de matemáticas de la universidad pedagógica nacional   Carlos Julio Luque Arias Lyda Constanza Mora Mendieta   Resumen Presentamos algunas de las actividades matemáticas diseñadas por integrantes del Grupo de Álgebra y por estudiantes practicantes del Departamento de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, desarrolladas en el Club de matemáticas, éstas les ha permitido a los niños, descubrir relaciones, hacer hipótesis, simbolizar, enunciar teoremas y fascinarse con el trabajo matemático. Palabras clave: Actividad matemática, poliminós, números figurados, teselados.   Introducción En el segundo semestre de 2005 se dio apertura al Club de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, un espacio creado, primordialmente, para fomentar el interés por el estudio de las matemáticas que demuestran algunos niños y niñas de colegios distritales, principalmente, aquellos vinculados a través de la práctica educativa del Departamento de Matemáticas. En el primer semestre de 2006, el profesor Carlos Luque, con los mismos presupuestos teóricos y pedagógicos presentados en el proyecto14 Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: contar e inducir, coordinó el trabajo a llevar a cabo en el club junto con cuatro estudiantes practicantes15, considerando posible la actividad matemática elemental16 y con la pretensión de educar la creatividad, plantearon y desarrollaron actividades que permitieran sumergir a los niños en ambientes donde se efectuaran procesos como clasificar, ordenar, contar, conjeturar, plantear y refutar hipótesis, resolver problemas, justificar procedimientos, crear conceptos, símbolos, y algoritmos, generalizar, hacer ejemplos y contraejemplos, argumentar y demostrar, construyendo teorías elementales y conocimiento matemático, no necesariamente inédito, pero si nuevo para los estudiantes.  Se recurrió a la escuela pitagórica y sus métodos y partiendo del cuadrado, una de las tetraktys básicas del pitagorismo, se construyeron figuras de diferentes formas y tamaños siguiendo ciertas reglas de construcción, se construyeron tablas y tanto con las primeras como con las segundas, los niños encontraron fórmulas para la suma de los primeros n números naturales, pares, impares, triangulares,                                                  14 LUQUE, C., MORA, L., PÁEZ, J. Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: contar e inducir. Universidad Pedagógica Nacional. Ediciones Antropos. Bogotá, 2002. p.p. 9 – 18.    15 Haydeé Jiménez, Diana Lucía Domínguez, Carlos Ruiz, Rafael Angarita; actualmente, todos Licenciados en matemáticas. 16 GRUPO MUSA. E1. Cuatro propuestas didácticas en matemáticas. Universidad Sergio Arboleda. Colciencias. Bogotá, 2005. p.p. 5 – 22.   Profesores Universidad Pedagógica Nacional. Grupo de Álgebra. lmendieta@pedagogica.edu.co  8oEncuentroColombiano demat máticaducativa                                                                                 CONFERENCIAS     84 cuadrados y cúbicos, y algunos teoremas de la teoría de números, relacionados con números figurados, conteo y suma de divisores. Dando continuidad a estas ideas, durante 2006-II, se llevó a cabo el proyecto de Facultad: El Club de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional: Un espacio para fortalecer el estudio de las matemáticas, dirigido a niños y niñas de colegios distritales entre 10 y 16 años, con el fin de fortalecer el club y atender el creciente aumento de niños interesados en participar en el club (se pasa de 20 asistentes durante 2005-II  a 200 durante el presente semestre). Con la participación de ocho practicantes17 durante 2006-II en el Club, se llevaron a cabo actividades similares a las gestionadas por el profesor Luque, pero esta vez, dirigidas por los profesores Leonardo Ángel y Lyda Mora, ambos integrantes del Grupo de Álgebra y bajo los mismos supuestos, se desarrollaron actividades matemáticas alrededor de dos tópicos matemáticos: particiones de números y teselados. En el trabajo alrededor de los teselados se partió del uso de fichas que representaban algunos polígonos, inicialmente regulares, con éstos los niños llegaron a conclusiones relacionadas con número de posibles teselados regulares y semirregulares, notaciones creativas para referirse a los teselados, principalmente a algunos demirregulares sin tener que recurrir a su dibujo y a algunos de los teoremas clásicos sobre teselados irregulares. Referentes teóricos El principal referente teórico de este trabajo tiene que ver con el interés del grupo de álgebra, formular actividades matemáticas, generalmente, de las matemáticas mismas, con el ánimo de propiciar el quehacer matemático en las aulas; por lo que al respecto, tomamos palabras de otros investigadores que han discutido alrededor de estos temas, por ejemplo Acuña, N. & Saiz, I. (2006, parra 5) escriben que según Gascón (1994), la actividad matemática puede, verse, desde el paradigma modernista como  la exploración de problemas no triviales, es decir se presentan problemas que aún no se saben resolver, se prueba con distintas técnicas o métodos, para comprobar adónde se puede llegar, se buscan problemas semejantes, etc. La idea es que los alumnos puedan tomar posesión de la situación planteada y empezar a hacer ensayos, conjeturas, proyectos de resolución y contraejemplos, que constituyen tareas típicas de la actividad exploratoria de resolución de problemas.  Sin embargo, tomamos otros elementos sobre actividad matemática, referentes a otros paradigmas, como el constructivista, según el cual,  al plantear un problema al estudiante, se pretende con éste, construir nuevos conocimientos matemáticos, para lo cual, en un primer momento, el estudiante no tiene los elementos suficientes para dar solución a la situación planteada, el estudiante es capaz de decidir si la solución que plantea se ajusta o no al problema y “el conocimiento que se desea que el alumno adquiera (“construya”) ha de ser la herramienta más adecuada para resolver el problema al nivel de conocimientos del alumno” (Douady, 1986, citado por Acuña & Saiz, 2006, parra 11). Debido a las limitaciones de espacio, sólo se mencionará, parcialmente una de las actividades propuestas y aplicadas en el Club: Tomando un cuadrado como unidad de área y el lado como unidad de longitud, vamos a construir, siguiendo determinadas reglas, que se resumen en: Para construir una figura plana colocamos los                                                  17 Carlos Pérez, David Rodríguez, Yeison Sánchez, Sandra Rojas, William Jiménez, Magda Pilar Ángel, Néstor Zambrano.  8oEncuentroColombiano demat máticaducativa                                                                                 CONFERENCIAS     85 cuadrados, unos al lado de otros, de manera que uno de los lados de un cuadrado coincida con uno de los lados del otro cuadrado, sin que los cuadrados se superpongan.   Como se pueden construir diversas figuras es necesario definir cuándo dos figuras son iguales y cuándo equivalentes; así: Dos figuras planas son iguales si tienen la misma forma y el mismo número de cuadrados o alfas, independientemente del lugar y la dirección en la que se encuentre (es decir, traslaciones, rotaciones y reflexiones).  Dos representaciones equivalentes de un mismo número son aquellas figuras que tienen la misma cantidad de alfas. Aunque se observan, naturalmente, figuras diferentes las podemos clasificar de acuerdo a algunas características comunes; por ejemplo: Figuras en Ele (L)  Figuras en (línea)  Figuras en Ese(s) Figuras en Te(T)  Escaleras  Rectángulos   Estudiemos, por ejemplo, las familias de rectángulos, haciéndonos preguntas como: ¿Cuáles números se pueden escribir como rectángulos de lado 1? ¿Cuáles números se pueden escribir como rectángulos de lado 2? ¿De lado 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.? Algunos resultados se resumen en la siguiente tabla: Números como rectángulos de Números que resultan Lado 1  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12   13  14  15  16  17  18  19  20  21 22 … Lado 2  2  4  6  8  10  12  14  16  18  20  22  24  26  28  30  32  34  36  38  40 42… Lado 3  3  6  9  12  15  18  21  24  27  30  33  36  39  42  45  48  51  54  57  60 …  Lado 4  4  8  12  16  20  24  28  32  36  40  44  48  52  56  60  64  68  72  76 80 … Lado 5  5  10  15  20  25  30  35  40  45  50  55  60  65  70  75  80  85  90  95 … Lado 6  6  12  18  24  30  36  42  48  54  60  66  72  78  84  90  96  102  108  …  Lado 7  7  14  21  28  35  42  49  56  63 70  77  84  91  98  105  112  119  126 … Lado 8  8  16  24  32  40  48  56  64  72  80  88  96  104  112  120  128  136 …    Lado 9  9  18  27  36  45  54  63  72  81  90  99  108  117  126  135  144  153 … Lado 10  10  20  30  40  50  60  70  80  90  100  110  120  130  140  150  160 …  Lado 11  11  22  33  44  55  66  77  88  99  110  121  132  143  154  165  176 …   Lado 12  12  24  36  48  60  72  84  96  108  120  132  144  156  168  180  192 …  Que corresponde a la conocida tabla de multiplicar. Si tratamos de sumarlos, debemos definir que Sumar es ensamblar dos o más rectángulos, es decir, colocar los rectángulos, unos al lado de otros, de manera que uno de los lados de un rectángulo coincida con uno de los lados del otro rectángulo, sin que  8oEncuentroColombiano demat máticaducativa                                                                                 CONFERENCIAS     86 éstos se superpongan.  Definida así la suma, no todo par de números se pueden sumar, con esto se logran algunas conclusiones. Podemos también sumar los números de las filas, sumando los números de la 1-f obtenemos los números triangulares, que también tienen una configuración especial en la tabla dada; de manera similar, al sumar los números de la fila 2 encontramos patrones, que se resumen así: La suma de los primeros n múltiplos de k, corresponde a  k + 2k + 3k + 4k … + nk  = ( 1)2kn n +  Al sumar, en la tabla anterior, utilizando gnomones, también se obtienen resultados  interesantes: Gnomon No. Conjunto de números que conforman el gnomon 1 1 2 2  4  2 3 3  6  9  6  3 …  n n + 2n + 3n +…. + (n – 1)n + n2 + (n – 1)n +… + 3n + 2n + n = n3  Metodología En la conferencia, por las limitaciones de tiempo en relación con el trabajo que deseamos presentar, se expondrán los resultados encontrados por los niños en las actividades aritméticas, parcialmente descritas anteriormente, y algunos de los resultados hallados en relación con los teselados; después de hacer la presentación inicial del Club de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional.  Conclusiones El Club de matemáticas de la UPN, ha contribuido a la atención de una población especial, los niños (as) interesados (as) por el estudio de las matemáticas. Es posible hacer matemáticas en el aula y llegar a resultados inéditos para niños y adultos. El uso de distintas representaciones permite el planteamiento de conjeturas y  argumentos   Referencias bibliográficas Acuña, N. & Saiz, I. (2006). Distintos paradigmas. Portal educativo del Estado argentino. Recuperado en Noviembre 27 de 2006, de Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología de Argentina: http://aportes.educ.ar/matematica/nucleo-teorico/recorrido-historico/la-resolucion-de-problemas-en-matematica/distintos_paradigmas.php#nota1. Ruiz, C. & Sánchez, M. (2006). Algunas conjeturas aritméticas a partir de relaciones geométricas. Tesis de pregrado para la obtención del título de Licenciado en matemáticas,  Departamento de Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia. Jiménez, H., Luque, C., Mora, L. & Torres, J. (2006). Uso de tablas para construir conjeturas en teoría de números. En Universidad Nacional de Colombia (Ed.), XXII Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional. 

Actividades en el club de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional

http://funes.uniandes.edu.co/11447/1/Luque2007Actividades.pdf

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