Este reporte describe los elementos matemáticos articuladores en los modos de pensar el concepto de derivada de una función real de variable real. Estos modos se han sustentado en el pensamiento práctico y teórico de Sierpinska, y se han validado con un análisis histoórico-epistemoloógico, cognitivo y didáctico con base en la epistemología de Cauchy, los modos que se proponen para comprender este concepto son: modo Geométrico-Gráfico-Convergente (GGC), Analítico Operacional (AO) y Analítico-Estructural (AE). Para alcanzar este objetivo se diseñan secuencias didácticas que son aplicadas a un grupo de estudio, con metodología de estudio de casos, con informantes de primeros años de nivel universitario

Parraguez, Marcela

Pinto, Irma

Este reporte describe los elementos matemáticos articuladores en los modos de pensar el concepto de derivada de una función real de variable real. Estos modos se han sustentado en el pensamiento práctico y teórico de Sierpinska, y se han validado con un análisis histórico-epistemológico, cognitivo y didáctico con base en la epistemología de Cauchy, los modos que se proponen para comprender este concepto son: modo Geométrico-Gráfico-Convergente (GGC), AnalíticoOperacional (AO) y Analítico-Estructural (AE), (Pinto y Parraguez 2015). Para alcanzar este objetivo se diseñan secuencias didácticas que son aplicadas a informantes de primeros años de nivel universitario

Pinto-Rojas, I.

Funes

612		ARTICULADORES PARA LOS MODOS DE COMPRENDER EL CONCEPTO DE DERIVADA Pinto-Rojas, Ia., Parraguez-González, Mb. Universidad Católica del Norte, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso; correos electrónicos: ipinto@ucn.cl, marcela.parraguez@pucv.cl  Resumen Este reporte describe los elementos matemáticos articuladores en los modos de pensar el concepto de derivada de una función real de variable real. Estos modos se han sustentado en el pensamiento práctico y teórico de Sierpinska, y se han validado con un análisis histórico-epistemológico, cognitivo y didáctico con base en la epistemología de Cauchy, los modos que se proponen para comprender este concepto son: modo Geométrico-Gráfico-Convergente (GGC), Analítico-Operacional (AO) y Analítico-Estructural (AE), (Pinto y Parraguez 2015). Para alcanzar este objetivo se diseñan secuencias didácticas que son aplicadas a informantes de primeros años de nivel universitario. Palabras clave: Elementos articuladores, Modos de Pensamiento, comprensión, derivada.  INTRODUCCIÓN Esta investigación tiene una perspectiva cognitiva cuyamotivación inicial fue describir cómo el objeto matemático “derivada”, es comprendido por estudiantes de nivel universitario (19 años y más).Con este propósito se consideró un estudio desde un marco teórico cognitivo de la didáctica de la matemática, Los Modos de Pensamiento, propuesto por Sierpinska, (2000), marco que fue variado para el objetivo de este estudio. Desde esta perspectiva teórica se define la comprensión profunda de la derivada como la capacidad que los estudiantes tienen para transitar desde un pensamiento práctico a un pensamiento teórico del concepto al resolver problemas del cálculo diferencial. A partir del análisis de las respuestas de los estudiantes que conforman el estudio, se plantea como proyección de investigación indagar respecto a los elementos matemático que propician este tránsito, que para este estudio serán llamados los elementos articuladores.  Problemática, antecedentes y objetivo El concepto de derivada es un concepto relevante para los investigadores en didácticade la matemática, existiendodistintas y variadas perspectivas teóricas para observar su comprensión, en Sanchez-Matamoros, García y Linares (2008), se presenta una revisión organizada de las aportaciones de investigadores en torno al concepto de derivada, esta revisión fue estructurada en consideración a lo que se conoce sobre la comprensión de la derivada de una función en un punto, el rol de los sistemas de representación, las características del desarrollo de esquema de la derivada, sin embargo aún existen aspectos que no han sido observados, como por ejemplo validar los elementos de la matemática o de otras disciplinas que permiten la conexión desde un pensamiento práctico a un pensamiento teóricopara la comprensión de la derivada. El objetivo inicial de este estudio fue observar y describir cómo estudiantes de nivel universitario comprenden la derivaday desde el marco teórico- Los Modos de Pensamiento- de Sierpinska 613		(2000), sin embargo se tuvo que realizar una variación dada las características de la representación visual inmediatay lo analítico de la derivada.  La variación del marco teórico plantea la coexistencia de tres modos de pensar la derivada ( Pinto y Parraguez, 2015), el modo Geométrico-Gráfico-Convergente (GGC), el modo Analítico-Operacional (AO) y el modo Analítico-Estructural (AE), modos que al interactuar permiten una comprensión profunda de la derivada.  El estudio se extiende a la búsqueda de estos elementos de conexión entre las formas de comprender la derivada, dentro de la matemática misma o en conexión con elementos de la física, el objetivo será describirlos elementos invariantes de esta estructura, para tal propósito se ha planteado la pregunta que guiará esta investigación. ¿Cuáles son los elementos articuladores entre los modos GGC, AO y AE que permiten la comprensión profunda, del concepto de derivada? Marco teórico En Sierpinska (2000) se caracterizan dos tipos de pensamiento, un  pensamiento práctico, definido como una acción inmediata entre el sujeto y el objeto, alusivo a hechos observables y un pensamiento teórico, referido a la comprensión como la reflexión de los resultados de una acción, que considera la producción de sistemas conceptuales internos coherentes, sustentados  en un sistema lógico de signos, por tanto reflexivo, sistémico y analítico. Los Modos de pensamiento es una teoríade la didáctica de la matemática que emerge desde el Algebra Lineal.Las autoras presentan  una variación de este marco al cálculo diferencial. Se plantea entonces la coexistencia de tres modos de pensamiento, presentados enPinto y Parraguez (2015), de la siguiente forma: Modo geométrico-gráfico-convergente del concepto de derivada (GGC). Desde un estudio histórico-epistemológico del concepto de derivada (Grabiner, 1983),se define la recta tangente en un punto del gráfico de una función real de variable real, el elemento matemático fundamental para conseguir la imagen directa observable del concepto de derivada,sin embargo la noción de tangencia no forma parte del pensamiento práctico propuesto por Sierpinska(2000), se hace necesario una extensión del modo SG, que será llamado en adelante el modo Geométrico-Gráfico-Convergente (GGC) en relación a la comprensión del concepto derivada. Es posible determinar una recta secante desde !a cualquier otro punto de ésta, a medida que el punto se desplaza a lo largo de su gráfica, (Figura 1), se llegará a una posición límite que será representada por la recta tangente, el tránsito de la recta secante llegando a esta posición límite, que es cuando está próximo a! será representada por la pendiente de la recta tangente, se llamará derivada de la función en P.  Figura 1. Representación del Modo Geométrico- Gráfico- Convergente del concepto de Derivada    614		Modo analítico operacional del concepto de derivada (AO).  Para definir el concepto de derivada en su forma (AO) se propició, considerar la definición formal de límite para para funciones reales de variable real, por tal razón el modo AA definido por Sierpinska pierde su carácter aritmético, emergiendo lo operacional del concepto, por lo que se reformula como el modo AO, para el caso específico de la derivada, noción que tiene sustento en la epistemología de Cauchy. Se definela derivada de ! como el límite del valor del cociente diferencial, cuando este límite existe y se denota como: !′(!) = !"#!→! ! ! + ℎ − !(!)ℎ   Modo analítico estructural del concepto de derivada (AE):  Para definir el concepto de derivada en su forma (AE), es necesario mirar desde el modo AO, como se ha desarrollado el concepto de derivada de una función real de una sola variable, y desde esa perspectiva seguir los elementos estructurales que permiten la generalización de este conceptocomo el elemento matemático que articula el modo AO y AE y que a su vez, permite definir el operador derivada desde  la comprensión de!´(!), es este concepto matemático que permite junto con sus propiedades la representación de derivada en el modo AE, los teoremas y el operador inverso (integración). Una función es diferenciable cuando el operador está bien definido. La estructura que se debe estudiar en este contexto será: El espacio vectorial de las funciones diferenciables y el operador derivada como transformación lineal.  El marco teórico considerado en este trabajo quedará sustentado como se muestra en Figura 2.   Figura 2. El Modo Geométrico-Gráfico-Convergente (GGC), el Modo Analítico-Operacional y el Modo Analítico- Estructura (AE) del concepto de derivada. METODOLOGÍA Se propone una metodología desarrollada en dos etapas, primero,determinar los elementos matemáticos de conexión entre las formas de comprender la derivada, desde un análisis epistemológico y didáctico del concepto, junto con la observación de los datos proporcionados por los informantes y segundo, validar estos articuladores con la aplicación de nuevos instrumentos y entrevistas en profundidad, para concluir con la realización de una secuencia de enseñanza y actividades de aprendizaje del concepto, que serán relevantes para la comprensión de la derivada. En este sentido la primera etapa en desarrollo, considera las producciones de los estudiantes en la etapa de validación de los tres modos definidos, con la aplicación de una metodología cualitativa de naturaleza descriptiva y hermenéutica (Stake, 2010) para lo que se consideró un estudio de casos 615		múltiples con dos grupos de informantes,el primer grupo denotado CASO1está formado por diez estudiantes que están cursando la asignatura de Cálculo Diferencial, seis de pedagogía en educación media y cuatro estudiantes de licenciatura en matemáticas, rotulados E1-E10, el CASO2 formado por tres estudiantes de licenciatura en matemáticas que han cursado recientemente el curso de ecuaciones diferenciales, rotulados E1,E2,E3. Se ha diseñado y aplicado un cuestionario de 12 preguntas, al CASO1, al que se le agregaron 3 preguntas para ser aplicado posteriormente al CASO2. Se realiza un análisis a priori por pregunta cuyas respuestas fueron contrastadas con los resultados de la aplicación, en la perspectiva de que el estudiante que logra transitar entre estos tres modos, obtiene una comprensión profunda del concepto. El interés de obtener variada información y datos significativos permitieron dar cuenta de algunos elementos articuladores para la comprensión de la derivada.  Se muestran algunas producciones de estudiantes del CASO1, a los que se aplicóel instrumento.  Pregunta 3:Sea la función !(!) = !! , en el punto (1,1), la tabla muestra los valores resultantes del cociente ! ! !!(!)!!!  que son las pendientes de las rectas secantes cuando ! se aproxima a ! = 1. Se solicita que comente y explique la información que tiene en la tabla, justificando sus observaciones.  Desde una perspectiva teórica, el estudiante estaría mostrando elementos que le permiten transitar desde el modo GGC al modo AO,  Figura 4. Respuesta de E7, muestra transitar débilmente. Esta pregunta, intencionada a situar al estudiante en el modo GGC, pretende que muestre rectas secantes aproximándose a la tangente en términos geométricos e identifique a la recta tangente como su mejor aproximación, es posible que calcule la pendiente de la recta tangente usando la derivada de !(!) y compare con los datos entregados en la tabla, esto es que relacione 1.9999 con !´ 1 = 2, Lo que estaría mostrando el tránsito desde el modo GGC al modo AO, con el concepto de límite como articulador.  Figura 5. Informante  E2, Situado en el modo GGC. 616		RESULTADOS  Desde  los datos obtenidos se propone el concepto de límite en un punto como posible articulador desde el modo GGC al AO, y los límites laterales desde el AO al GGC, se propone también el concepto de derivada como un articulador bidireccional entre estos modos.  Se propone el gráfico de la transformación lineal como un posible articulador entre los modos AE y GGC. Desde un análisis epistemológico surge como posible articulador entre el modo GGC y AE, un problema propuesto por Leibniz, “El problema inverso de la recta tangente”.   Las dificultades que se visualizan en las reproducciones de los estudiantes dan cuenta de la relevancia que tienen los elementos articuladores para la comprensión de la derivada  Figura 7. Muestra un diagrama de los articuladores para los modos propuestos en la primera etapa.  Referencias Grabiner, J., (1983). The changing concept of change:The derivative from Fermat to weierstrass. Mathematics Magazine56(4), 195-206.  Pinto, I. y Parraguez, M. (2015). El concepto de derivada desde la teoría de los modos de pensamiento, sustentada en la epistemología de Cauchy. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 28, 337-344.  Sanchez- Matamoros, G., García, M. y Llinares, S. (2008). La comprensión de la derivada como objeto de investigación en Didáctica de la derivada. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 11(2), 267-296.  Sierpinska, A. (2000). On some Aspects of Student´s thinking in Linear Algebra. En The Teaching    of Linear Algebra in Question (pp. 209-246). Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Stake, R. (2010). Investigación con estudio de casos. Madrid: Morata.  

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Articuladores para los modos de comprender el concepto de derivada

 ! - 124 - CAPITULO 1 / ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR!  Palabras clave:  elementos articuladores, modos de pensamiento, comprensión, derivada.  Key words: articulating elements, modes of thinking, understanding, derivative.   RESUMEN: Este reporte describe los elementos matemáticos articuladores en los modos de pensar el concepto de derivada de una función real de variable real. Estos modos se han sustentado en el pensamiento práctico y teórico de Sierpinska, y se han validado con un análisis histórico-epistemológico, cognitivo y didáctico con base en la epistemología de Cauchy, los modos que se proponen para comprender este concepto son: modo Geométrico-Gráfico-Convergente (GGC), Analítico-Operacional (AO) y Analítico-Estructural (AE). Para alcanzar este objetivo se diseñan secuencias didácticas que son aplicadas a un grupo de estudio, con metodología de estudio de casos, con informantes de primeros años de nivel universitario. ABSTRACT: This report describes the mathematical articulating elements for the modes of thinking the concept of derivative a real function of real variable. These modes are supported by the practical and theoretical thinking of Sierpinska, and validated by historical-epistemological, cognitive and didactic analysis, based on the epistemology of Cauchy, which are proposed to understand this concept modes are: mode Geometric-Graphical-Convergent (GGC), Analytical-Operational (AO) and Analytical-Structural (AE). To achieve this objective are designed teaching sequences that are applied to a study group with case study methodology, with students the early years of university level.     ELEMENTOS ARTICULADORES PARA LOS MODOS DE COMPRENDER EL CONCEPTO DE DERIVADA !Irma Pinto Rojas, Marcela Parraguez González Universidad Católica del Norte (Chile), Pontificia Universidad Católica de Valparaíso (Chile) ipinto@ucn.cl, marcela.parraguez@pucv.cl  ! - 125 - CAPITULO 1 / ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR!  INTRODUCCIÓN Esta investigación tiene una perspectiva cognitiva cuya motivación inicial fue describir cómo el objeto matemático “derivada”, es comprendido por estudiantes de nivel universitario (19 años y más).Con este propósito se consideró un estudio desde un marco teórico cognitivo de la didáctica de la matemática, Los Modos de Pensamiento, propuesto por Sierpinska, (2000), marco que fue variado para el objetivo de este estudio, desde esta perspectiva teórica se define la comprensión profunda de la derivada como la capacidad que los estudiantes tienen para transitar desde un pensamiento práctico a un pensamiento teórico del concepto de derivada y se observa cuando un estudiante resuelve problemas del cálculo diferencial. A partir de la observación de estas producciones, se plantea, indagar respecto a los elementos matemáticos que propician este tránsito, que para este estudio serán llamados los elementos articuladores.  La búsqueda de los elementos que favorecen el tránsito entre estos modos de pensar la derivada, permite plantear la pregunta que guiará esta investigación. ¿Cuáles son los elementos articuladores entre los modos GGC, AO y AE que permiten la comprensión profunda, del concepto de derivada? Un desafío en esta etapa, será dar respuesta a esta pregunta, por lo que se han planteado los siguientes objetivos: 1. Determinar los elementos de conexión entre las formas de comprender la derivada. 2. La búsqueda de estos elementos conectores que pudiera estar en el ámbito de la matemática o de la física o de otra disciplina. 3. Una vez determinados estos articuladores serán validados a través de la realización de una secuencia de enseñanza y actividades de aprendizaje para la compresión de la derivada.    MARCO TEÓRICO El marco teórico que sustenta esta investigación corresponde a una variación del marco teórico- Los Modos de Pensamiento de Anna Sierpinska-, un referente teórico que se focaliza en la actividad cognitiva exigida al sujeto que realiza una actividad matemática, es decir, observa la interacción  del pensamiento con el objeto. En Sierpinska (2000) se caracterizan dos tipos de pensamiento, el pensamiento práctico, definido como una acción inmediata entre el sujeto y el objeto, alusivo a hechos observables y el pensamiento teórico, referido a la comprensión como la reflexión de los resultados de una acción, que considera la producción de sistemas conceptuales internos coherentes, sustentados en un sistema lógico de signos, por tanto reflexivo, sistémico y analítico. Sin embargo las autoras presentan una variación de este marco para el estudio en otra área de la matemática, en este caso el cálculo diferencial. Se plantea entonces la coexistencia de tres modos de pensar la derivada, presentados en Pinto y Parraguez (2015), de la siguiente forma: Modo Geométrico-Gráfico-Convergente del concepto de Derivada (GGC). Desde un estudio histórico-epistemológico del concepto de derivada, se define la recta tangente en un punto del gráfico de una función real de variable real, el elemento matemático fundamental para conseguir la imagen directa observable del concepto, sin embargo la noción de tangencia no forma parte del pensamiento práctico propuesto por Sierpinska, Nadozier y Oktaç (2002), se hace necesario una extensión del modo SG, que será llamado en adelante el modo Geométrico-Gráfico-Convergente (GGC) en relación a la comprensión del concepto derivada.  ! - 126 - CAPITULO 1 / ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR!Es posible determinar una recta secante desde!!, un punto fijo de la curva, a cualquier otro punto de ésta, a medida que éste se desplaza a lo largo de su gráfica, (Figura 1), se llegará a una posición límite que será representada por la recta tangente, el tránsito de la recta secante llegando a esta posición límite, que es cuando está próximo a ! será representada por la pendiente de la recta tangente que será la imagen directa de la derivada de la función en P. Figura 1. Representación del Modo Geométrico- Gráfico- Convergente del concepto de Derivada  Modo Analítico Operacional del concepto de Derivada (AO). La idea de aproximar la recta tangente con múltiples rectas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan la función, (Figura 1), considera la recta tangente como la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. Se define entonces el concepto de derivada como el límite de las pendientes de las rectas secantes al aproximarlas a la recta tangente. La derivada de !!en el punto ! es el límite del valor del cociente diferencial, en la medida que las rectas secantes se aproximan a la recta tangente, esto es: !′(!!) = !"#!→! ! !! + ℎ − !(!!)ℎ  Si este límite existe, entonces se dice que la derivada de !!en el punto ! es !′(!!) .  En la aproximación lineal anterior, se sustenta que para definir el concepto de derivada en su forma (AO) se propició, considerar la definición de límite presentada por Cauchy, por tal razón el modo AA definido por Sierpinska pierde su carácter aritmético, emergiendo lo operacional del concepto, por lo que se reformula como el modo AO, para el caso específico de la derivada. Con esta idea se define: Derivada de una función ! definida en su dominio y continua, como la pendiente de la recta tangente de !!en el punto !: (!!, ! !! ). Modo Analítico Estructural del concepto de Derivada (AE): Para definir el concepto de derivada en su forma (AE), es necesario mirar desde el modo AO, como se ha desarrollado el concepto de derivada de una función real de una sola variable, y desde esa  ! - 127 - CAPITULO 1 / ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR!perspectiva seguir los elementos estructurales que permiten la generalización de este concepto como el elemento matemático que articula el modo AO y AE y que a su vez, permite definir el operador derivada desde  la comprensión de la derivada en un punto a su comprensión de la derivada de una función en un punto cualquiera, !´(!), es este concepto matemático que permite junto con sus propiedades la representación de derivada en el modo AE, se consideran así las reglas de derivación, los teoremas y el operador inverso (integración). Una función es diferenciable cuando el operador está bien definido. La derivada en este contexto será el operador derivada como transformación lineal, el operador inverso de la derivada, en el espacio vectorial de las funciones diferenciables. Estos modos definidos para la derivada constituyen las vías de acceso a una comprensión  profunda de la derivada, siendo la coordinación de ellos a través de elementos de conexión el objetivo principal de este estudio.    MÉTODOLOGÍA Se propone una metodología en tres etapas, primero, determinar los elementos matemáticos de conexión entre las formas de comprender la derivada, desde un análisis epistemológico y didáctico del concepto, junto con la observación de los datos proporcionados por los informantes, segundo, validar estos articuladores con la aplicación de nuevos instrumentos y entrevistas en profundidad y tercero, concluir con la realización de una secuencia de enseñanza y actividades de aprendizaje del concepto, que serán relevantes para la comprensión de la derivada. En este sentido, la primera etapa en desarrollo, considera las producciones de los estudiantes en la etapa de validación de los tres modos definidos, con la aplicación de una metodología cualitativa de naturaleza descriptiva y hermenéutica (Stake, 2010) para lo que se consideró un estudio de casos múltiples con dos grupos de informantes, el primer grupo denotado CASO1está formado por diez estudiantes que están cursando la asignatura de Cálculo Diferencial, seis de pedagogía en educación media y cuatro estudiantes de licenciatura en matemáticas, rotulados E1-E10, el CASO2 formado por tres estudiantes de licenciatura en matemáticas que han cursado recientemente el curso de ecuaciones diferenciales, rotulados E1,E2,E3.  Emerge desde un análisis histórico-epistemológico y de los resultados obtenidos del grupo de estudio, los tres articuladores matemáticos de los Modos de pensar el concepto de Derivada, se muestran en la Figura 2. Figura 2. Descripción de los elementos articuladores entre los modos de pensar el concepto de derivada.  ! - 128 - CAPITULO 1 / ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR!  RESULTADOS En una etapa inicial se presenta el concepto de límite como un articulador  bidireccional, lo mismo con el concepto de función derivada y el gráfico de la transformación lineal se visualiza también bidireccional. Se presentarán algunos resultados de la búsqueda de articuladores. Pregunta 3: Sea la función !(!) = !! , en el punto (1,1), la tabla muestra los valores resultantes del cociente ! ! !!(!)!!!  que son las pendientes de las rectas secantes cuando x se aproxima a ! = 1.  Esta pregunta, intencionada a situar al estudiante en el modo GGC, pretende que muestre rectas secantes aproximándose a la tangente en términos geométricos e identifique a la recta tangente, con la idea que muestre el tránsito hacia el modo analítico operacional (AO). Desde una perspectiva teórica, el análisis de la reproducción del estudiante muestra que está situado en el modo GGC, sin poder transitar hacia el modo AO.  Figura 3. Informante  E2, Se visualiza el concepto de límite en un punto.  Figura 4. Informante  E7, este estudiante va directamente al modo AO.           ! - 129 - CAPITULO 1 / ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR!  CONCLUSIONES Se muestra en la Figura 5 los elementos matemáticos que coordinan los modos de pensamiento para la derivada, que están siendo analizados como elementos articuladores.  Figura 5.  Esquema de los articuladores matemáticos en proceso de validación.  El análisis de las respuestas del grupo de estudio muestra que los estudiantes confunden !´ !! !!!!!´(!), esto posiblemente se debe a que la derivada como función se propone como un articulador, por lo que habría que complementar la aplicación de un nuevo instrumento con una entrevista en profundidad. Tanto la noción de límite como el de función derivada son elementos articuladores, que emergen del análisis Histórico-epistemológico, (Steward, 2007) y se presentan bidireccionales, las evidencias empíricas muestran que los estudiantes que no se familiarizan con estos elementos tienen dificultad para la comprensión del concepto de derivada. El elemento articulador entre el modo GGC y AE no emerge de la epistemología y como se observa en la Figura 5 es unidireccional, lo que indica que se debe indagar en la búsqueda de algún candidato a articulador en la otra dirección.  !  REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Pinto, I. y Parraguez, M. (2015). El concepto de derivada desde la teoría de los modos de pensamiento, sustentada en la epistemología de Cauchy. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 28, 337-344. México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Sierpinska, A. (2000). On some Aspects of Student´s thinking in Linear Algebra. The Teaching of Linear Algebra in Question (pp. 209-246). Netherlands: Kluwer Academic Publishers.  Sierpinska, A., Nnadozie, A. y Oktac, A. (2002) A Study of relationships between theorical thinking and high achievement in linear algebra. Concordia University: Montreal. Stake, R. (2010). Investigación con estudio de casos. Madrid: Morata. Steward, I. (2007). Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. España: Drakontos. 

Elementos articuladores para los modos de comprender el concepto de derivada

http://funes.uniandes.edu.co/11075/1/Pinto2016Elementos.pdf

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