La reflexión llevada a cabo en “una empresa docente” en torno a las representaciones de las funciones, a la caracterización de las funciones a través de éstas y al margen de las mismas, y a la variación conjunta de las variables, nos ha permitido explorar rasgos característicos de las funciones polinómicas que permiten caracterizarlas por la manera cuantitativa —numérica y no numérica— como varían sus variables

Guacaneme, Edgar Alberto

Funes

CURSILLOS23MEMORIAS CUARTO ENCUENTRO COLOMBIANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVAplicidad de significados para los conceptos multi-plicativos, y con altos niveles de integración no solodesde las matemáticas mismas, sino con otras dis-ciplinas de la educación básica.BibliografíaLEHS, Richard; POST, Thomas; BEHR, Merlyn. ProportionalReasonig. In Number concepts and operations in the middlegrades. James Hierbert and Merlyn Behr (eds.). National Councilof Teacher of Mathematics. Virginia (USA): Lawrence Erlbaumassociates. 1988. Pgs. 93-117.VERGNAUD, Gerard. El Niño, las Matemáticas y la Realidad.Editorial Trillas. Mexico. P 275, 1991.VERGNAUD, Gerard. Le Moniteur de Mathematique: Fichierpedagogique. Editons Nathan.Paris 1993a.VERGNAUD, Gerard. Multiplicative Structures. In Numberconcepts and operations in the middle grades. James Hierbertand Merlyn Behr (eds.). National Council of Teacher ofMathematics. Virginia (USA): Lawrence Erlbaum associates.1988. Pgs. 141-146.VERGNAUD, Gerard. La teoría de los campos conceptuales. EnLecturas de didáctica de las matemáticas, escuela francesa. Compi-lación de Ernesto Sánchez y Gonzalo Zubieta. 1993b. Traducidode: La theorie des Champs Conceptuales. Recherches en didactiquesdes mathematiques. Vol 10. Nros 2 y 3. 1990. Pgs. 133-170.En la escuela la identificación de una funciónpolinómica usualmente se logra a través de su re-presentación algebraica, particularmente a travésde polinomios de una variable; así, a menudo seasocia un polinomio de grado uno con la función afín1, uno de grado dos con la cuadrática, uno degrado tres con la cúbica, etc. El trabajo escolar —particularmente en los cursos de Precálculo— quese hace con estas funciones así definidas, contem-pla asuntos y procedimientos tales como construirsus gráficas cartesianas, calcular los ceros de lafunción, examinar el crecimiento relativo de lasvariables, determinar características de la funcióntales como su paridad o su carácter biyectivo, etc.En la mayor parte de este trabajo, la idea de co-rrespondencia prima sobre la de variación conjun-ta. Por ejemplo, para construir la gráfica casi siem-pre se elabora  previamente una tabla de valorespor medio del cálculo de las imágenes a partir devalores estándares de las preimágenes, lo cual im-plica evaluar el polinomio para cada valor de laspreimágenes. Eventualmente, como en la descrip-ción del carácter monótono de la función, la varia-ción conjunta de las variables relacionadas se con-vierte en objeto y medio de estudio de la función;sin embargo, casi siempre el estudio de este as-Estudio de la variaciónconjunta en laidentificación de funcionesEDGAR A. GUACANEME S.UNIVERSIDAD DE LOS ANDES“UNA EMPRESA DOCENTE”pecto se limita a señalar —a partir de la visualiza-ción de la gráfica— si la función es o no monótona,o si es creciente —o decreciente— en un intervaloespecífico.La reflexión llevada a cabo en “una empresadocente” en torno a las representaciones de lasfunciones, a la caracterización de las funciones através de éstas y al margen de las mismas, y a lavariación conjunta de las variables, nos ha permiti-do explorar rasgos característicos de las funcionespolinómicas que permiten caracterizarlas por lamanera cuantitativa —numérica y no numérica—como varían sus variables.Examinemos, en primer lugar, el caso de una fun-ción afín cualquiera, a través de su gráficacartesiana sin ejes graduados. A través de seg-mentos verticales equidistantes dos a dos se puedehacer una partición constante del dominio de lavariable independiente, cada uno de estos segmen-tos determina un punto de corte con la curva quecomo se sabe corresponde a una pareja de la fun-ción; a partir de estos puntos se pueden construirhacia la derecha2 segmentos horizontales que re-presentan las diferencias de dos valores consecu-tivos3 de la variable independiente, y a partir delextremo derecho de cada segmento, trazar sendos1  Desde nuestra perspectiva la denominación correcta para estas funciones es afín y nolineal como se presenta en muchos libros de texto y clases de matemáticas. Consideramosque las funciones lineales deben satisfacer las condiciones de linealidad (homogeneidady aditividad) y que las funciones descritas por polinomios de grado uno (v.g., f(x)=ax+b)sólo cumplen esta condición cuando b es cero.2  También podría seleccionarse como norma de construcción el trazo hacia la izquierda,pero en tal caso el dibujo obtenido sería un poco diferente.3  Llamamos valores consecutivos a las abcisas de los puntos adyacentes de corte de lossegmentos con el eje denotado con la letra x.CURSILLOS24MEMORIAS CUARTO ENCUENTRO COLOMBIANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVAGráfica 2segmentos verticales hasta la curva, segmentos querepresentan las diferencias de los valores corres-pondientes a aquellos de la variable independiente(ver Gráfica 1).un proceso similar al reseñado antes para el casode la función afín, se obtienen figuras que aseme-jan triángulos rectángulos, algunas de las cualesestán colgadas a la curva y otras se posan sobreésta (ver Gráfica 3).Gráfica 1Como resultado de tal construcción obtenemosun dibujo que deja ver una secuencia de triángulosrectángulos colgados de la curva que representala función o posados sobre ésta; el primer caso seda para funciones crecientes en tanto que el se-gundo para funciones decrecientes. En cualquierade los casos los triángulos serían congruentes, susbases horizontales tendrían la misma longitud y, enconsecuencia, sus alturas verticales tendrían entresí la misma longitud. Esta congruencia entre las al-turas se observaría de manera diferente si los catetosde cada triángulo se desplazan verticalmente hastahacerlos coincidir con el eje de las abcisas; se ob-tendría así un dibujo que evoca tanto las representa-ciones gráficas de Nicole Oresme como la gráficade una función constante (ver Gráfica 2).Quizá el lector esté familiarizado con un trata-miento geométrico similar al esbozado antes paraeste tipo de funciones, pues es habitual hacer unaaproximación geométrica similar cuando se abor-da el estudio de la idea de pendiente. Sin embargo,consideramos que no es tan habitual aplicar estetratamiento a otras funciones polinómicas. Paraejemplificar lo que en éstas se obtiene, considere-mos a continuación el caso de una funcióncuadrática. Si en su gráfica cartesiana hacemosGráfica 3De manera similar, si desplazamos estas figurashasta hacer coincidir sus segmentos horizontalescon el eje denotado como x, obtenemos un dibujoque nos permite evocar la gráfica de una recta,pues los extremos de todas las alturas seríancolineales (ver Gráfica 4).Gráfica 3Para esta misma función cuadrática, pero traba-jando en una de sus tablas de datos (ver Tabla 1)en la que los valores de la variable x forman unaprogresión aritmética se observa que las diferen-cias de las imágenes presentan un comportamien-to similar al de una función afín (ver Tabla 1), paralo cual basta hacer las diferencias entre los valoresde las diferencias ∆ f(x).Tabla 1CURSILLOS25MEMORIAS CUARTO ENCUENTRO COLOMBIANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVAA través de estos tratamientos aplicados a lasrepresentaciones gráficas y tabulares de las fun-ciones cuadráticas se obtiene que las diferenciasde imágenes correspondientes a valores consecu-tivos de preimágenes configuran algo similar a unafunción afín. De manera análoga, al aplicar estostratamientos a las mismas representaciones de unafunción afín, se obtiene que las diferencias de lasimágenes configuran algo similar a una funciónconstante. Este par de afirmaciones constituyen unresultado que es fácilmente extrapolable a las de-más funciones polinómicas; su validez es fácilmentedemostrable a través de un manejo simbólico delas expresiones algebraicas. Este resultado ofreceuna herramienta para, de un lado, identificar si unagráfica de una función corresponde aproximada-mente a la de una función polinómica —sin necesi-dad de disponer de su representación tabular o al-gebraica— y de otro lado, reconocer si una tablaespecífica4 es la representación de una funciónpolinómica —sin recurrir a graficar sus datos.Como el lector habrá podido advertir los trata-mientos reseñados arriba si bien recurren a la fun-ción como correspondencia, implican fundamental-mente una aproximación a ésta desde la variaciónconjunta de las variables relacionadas. En suma, através del estudio de la variación conjunta se pue-den identificar las funciones polinómicas.Una vez se tiene el anterior resultado, es apenasnatural pensar en si las funciones no polinómicaspueden describirse a partir del estudio de la varia-ción conjunta de las variables relacionadas. En unintento de dar respuesta a esta inquietud hemospodido establecer que:• las diferencias de las imágenes para la funciónseno se comportan de manera similar a la fun-ción coseno;• para la función logarítmica las diferencias secomportan de manera similar a una función deproporcionalidad inversa; y,• las diferencias de las imágenes de una funciónexponencial configuran algo similar a una fun-ción exponencial.Para ilustrar parcialmente lo anterior presentamoslas gráficas que corresponden al tratamiento para lagráfica de la función seno (ver Gráficas 5 y 6)4 Los datos de la variable independiente deben formar una progresión aritmética.Gráfica 5Gráfica 6Estos resultados se pueden establecer también através del estudio de las representaciones tabularesde tales funciones. Sin embargo, la autoreferenciaimplicada en la forma de variación conjunta para lafunción exponencial y la referencia circular para elcaso de las funciones seno y coseno hacen que laidentificación de las funciones a través de sus re-presentaciones tabulares específicas deje un sinsa-bor, ausente en la referencia a la función de gradoinferior para las funciones polinómicas.A modo de reflexiónLos resultados antes descritos no pueden enten-derse como un abordaje seudoformal del Cálculo,pero sí pueden concebirse como una posible rutade acceso intuitivo a nociones de éste. Esta rutainvolucra una aproximación cuantitativa no numé-rica en el tratamiento que se hace de las gráficasde las funciones; así mismo, involucra un tratamien-to cuantitativo numérico cuando se asumen las re-presentaciones tabulares como medio de estudiode la función en cuestión. En cualquiera de los doscasos el estudio de la variación conjunta de las va-riables relacionadas juega un papel fundamental.Esta perspectiva ofrece un panorama dereelaboración del conocimiento matemático de losprofesores y una posibilidad didáctica de estrategiasy diseños curriculares que complementarían la aproxi-mación desde la correspondencia al estudio de lasfunciones y que conectaría más ampliamente el estu-dio escolar del Precálculo con el estudio del Cálculo.

Estudio de la variación conjunta en la identificación de funciones

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Estudio de la variación conjunta en la identificación de funciones

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