En este documento se hace una introducción a los z-conjuntos como un tema de estudio en la topología infinito-dimensional. Se presentan inicialmente, conceptos de Topología General, luego se da el concepto de Z-conjunto y se describen algunas características de este

Soler, Nubia

Funes

INTRODUCCIO´N A LOS Z-CONJUNTOSNubia SolerProfesora Universidad Pedago´gica NacionalBogota´ D.C, Colombiansoler@uni.pedagogica.edu.coResumenEn este documento se hace una introduccio´n a los Z-conjuntos como un tema deestudio en la topolog´ıa infinito-dimensional. Se presentan inicialmente, conceptosde Topolog´ıa General, luego se da el concepto de Z-conjunto y se describen algunascaracteristicas de este.Para iniciar el estudio de los Z-conjuntos revisamos conceptos y resultados de Topolog´ıaGeneral como espacio topolo´gico, espacio me´trico, cubrimiento abierto, adherencia, espa-cio separable, funcio´n continua,PreliminaresEspacios Me´tricosDefinicio´n 1 (Espacio Topolo´gico). Una estructura topolo´gica para un conjunto X esuna familia β de subconjuntos de X que cumple las siguientes condiciones:1. ∅ y X esta´n en β2. La unio´n de cualquier coleccio´n de elementos de β esta´ en β.3. La interseccio´n de cualquier coleccio´n finita de elementos de β esta´ en β.Cada elemento B de β se denomina conjunto abierto y al complemento de B se le llamaconjunto cerrado.Como ejemplos de espacios topolo´logicos podemos considerar los siguientes:1. R considerando como abiertos los conjuntos que son unio´n de intervalos abiertos.2. Un conjunto X tomando como abiertos los subconjuntos de X. Esta topolog´ıa sedenomina usualmente topolog´ıa discreta.3. Un conjunto X tomando como abiertos u´nicamente los conjuntos ∅ y X. Estatopolog´ıa se conoce como topolog´ıa grosera.4. Dado un conjunto X definimos la topolog´ıa de cofinitos (coenumerables) toman-do como abiertos aquellos subconjuntos de X cuyo complemento en X es finito(enumerable), tambie´n incluimos al conjunto vac´ıo.Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaDefinicio´n 2 (Espacio me´trico). Sea X un conjunto no vac´ıo, una me´trica en X esuna funcio´nd : X ×X → Rtal que para todo x, y, z ∈ X se satisfacen las siguientes propiedades:1. d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) = 0 si y so´lo si x = y,2. d(x, y) = d(y, x)3. d(x, y)  d(x, z) + d(z, y).El par (X, d) se llama espacio me´trico.En un espacio me´trico (X, d) una bola abierta de radio ε alrededor de un punto x es elconjuntoBε(x) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}Todo espacio me´trico (X, d) genera una topolog´ıa. Los conjuntos abiertos son todos aque-llos subconjuntos de X para los cuales se puede construir una bola abierta alrededor decada uno de sus puntos.Como ejemplos de espacios me´tricos podemos considerar los siguientes:1. Rn con la me´trica euclidiana definida de la siguiente manera:d((x1, x2, x3, ..., xn), (y1, y2, y3, ..., yn)) =( n∑i=1(xi − yi)2) 122. Rn con la me´trica del taxista definida de la siguiente manera:d((x1, x2, x3, ..., xn), (y1, y2, y3, ..., yn)) =n∑i=1|xi − yi|3. Rn con la me´trica cu´bica definida de la siguiente manera:d((x1, x2, x3, ..., xn), (y1, y2, y3, ..., yn)) = maxi:1,...,n{|xi − yi|}4. El conjunto de todas las sucesiones en R para las cuales la serie del cuadrado de suste´rminos converge con la me´trica definida de la siguiente mantera:d((x1, x2, x3, ...), (y1, y2, y3, ...)) =( ∞∑i=1(xi − yi)2) 12322Introduccio´n a los Z-Conjuntos5. El cubo de Hilbert Q. Constituido por todas las sucesiones en [0, 1] con la siguienteme´trica:d((x1, x2, x3, ...), (y1, y2, y3, ...)) =∞∑i=1|xi − yi|2i6. El conjunto de las funciones f : Y → R acotadas denotado por B(Y,R), con lame´trica del sup definida de la siguiente manera:d(f, g) = sup{|f(y)− g(y)| : y ∈ Y }Espacios SeparablesUn punto x de un espacio topolo´gico X es adherente a un subconjunto A de X si lainterseccio´n entre A y cualquier abierto que contiene a x es no vac´ıa. La coleccio´n de todoslos puntos adherentes al conjunto A se denomina adherencia o clausura del conjunto y sedenota por cl(A).Una caracter´ıstica importante de la adherencia de un conjunto A es que e´sta correspondeal menor cerrado que contiene al conjunto. Entre otras cosas, podemos concluir que laadherencia de un conjunto cerrado corresponde al mismo conjunto.Si un subconjunto A de un espacio X es tal que cl(A) = ∅ se dice que es denso en ningunaparte (nowhere dense).En un espacio X, Un conjunto A ⊂ X es denso en X si cl(A) = X. El espacio X esseparable si contiene un subconjunto denso enumerable.Como ejemplos de espacios separables podemos encontrar los siguientes:1. Rn con la me´trica euclideana. Esto porque Qn es enumerable y denso en Rn.2. R con la topolog´ıa de complementos finitos pues cl(N) = R3. El Cubo de Hilbert porque el producto enumerable de espacios separables es sepa-rable.ContinuidadLos espacios que vamos a mencionar en este documento se considerara´n, a no ser que seindique lo contrario, como me´tricos y separables.Dado un espacio espacio X, decimos que un cubrimiento de X es una coleccio´n U desubconjuntos de X tales queX ⊂⋃U∈UUUn cubrimiento U es abierto cuando todos sus elementos son conjuntos abiertos.323Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaUna funcio´n f : X −→ Y con X e Y espacios me´tricos es continua si para todo ε > 0existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces d(f(x), f(y)) < ε para todo x, y ∈ X.RetractosDefinicio´n 3. Sea A un subespacio de X un espacio topolo´gico. A es retracto de X siexiste una funcio´n r : X −→ A continua tal que su restriccio´n a A es la funcio´n identidad.Lema 1. Si A es retracto de X entonces A es cerrado en X.Demostracio´n. Sea A un retracto X, entonces existe una funcio´nh : X → A tal que h|A = IdA. Dado a ∈ cl(A), existe (xn)n sucesio´n en A conver-gente a a. Por la continuidad de h, (h(xn))n converge a h(a) que pertenece a A y comoh(a) = a concluimos que cl(A) = ADefinicio´n 4. Un espacio X es Retracto Absoluto (AR) si es retracto para cualquierespacio Y que lo contiene como subconjunto cerrado.Un espacio X es un Extensor Absoluto (AE) si para cualquier espacio Y y cualquiercerrado A de Y , toda funcio´n continua f : A → X puede extenderse a Y . En [4], pa´gina25, se prueba que un espacio es Retracto Absoluto si y so´lo si es Extensor Absoluto, semuestra tambie´n que el producto enumerable de espacios AR, es AR, ver pa´gina 26.Tomando esta relacio´n y aplicando el teorema de extensio´n de Tietze, podemos mencionarcomo ejemplos de espacios AE a los intervalos cerrados de R, R, Rn, In y Q = Iω.Definicio´n 5. Sea Y un espacio, X ⊂ Y .X se dice vecindad retracta de Y si existe unabierto A en Y tal que X es retracto de A.Definicio´n 6. Un espacio X es Retracto Absoluto por Vecindades (ANR) si es unavecindad retracta de cualquier espacio Y que lo contiene como subespacio cerrado.El conjunto A = {0, 1} es ANR, para un ε > 0 suficientemente pequen˜o, el conjunto Aes retracto de los abiertos (− ε3, ε3) y (2ε3, 4ε3), pero A no es AR ya que no existe retraccio´nr : I → A pues (Toda funcio´n continua preserva la propiedad de conexidad).1. Z-conjuntosEn lo que sigue, presentaremos la definicio´n de Z-conjuntos.Definicio´n 7. Dados X e Y espacios topolo´gicos, dos aplicaciones continuas f, g : X → Yy U ={Ui}i∈I un cubrimiento abierto de Y . Se dice que f y g son U-cercanas si para todox ∈ X se tiene que {f(x), g(x)} ⊂ Ui para algu´n Ui del cubrimiento.Denotaremos por IdX la funcio´n identidad sobre el conjunto X.Definicio´n 8. Sea X un espacio y A un subconjunto cerrado en X, si para todo U ={Ui}i∈Icubrimiento abierto de X, existe h : X −→ X tal que h e IdX son U-cercanas yh(X) ∩ A = ∅ entonces A se denomina Z-conjunto. Si adicionalmente cl(h(X)) ∩ A = ∅entonces A es un fuerte Z-conjunto.324Introduccio´n a los Z-ConjuntosDefinicio´n 9. Consideremos un espacio topolo´gico X. A ⊂ X es σ − Z-conjunto en Xsi puede escribirse como unio´n enumerable de Z-conjuntos de X.Definicio´n 10. A es σ − Z-espacio en un espacio topolo´gico X si es unio´n enumerablede fuertes Z-conjuntos de X. Si adema´s A = X, entonces, A es σ − Z-espacio.Lema 2. Cualquier Z-conjunto en un espacio localmente compacto es un fuerte Z-conjunto.Demostracio´n. La demostracio´n puede consultarse en [1], pa´gina 27.1.1. Ejemplos de Z-conjuntosEjemplo 1. Sea X = [0, 1] y A = {0}. Dado 1 > ε > 0 definimoshε(x) ={x+ε2si 0 ≤ x ≤ ε,x si ε < x ≤ 1.Cuando 0 ≤ x ≤ ε tenemos que d(x, hε(x)) = |x − ε2 − x| = ε2 < ε. Esto muestra queA es un Z-conjunto. Debido a que [0, 1] es localmente compacto, se tiene que A es fuerteZ-conjunto. De forma similar se puede mostrar que {1} y {0, 1} son fuertes Z-conjuntosen [0, 1].Ejemplo 2. Consideremos el cubo de Hilbert Q con la me´trica d definida como d(x, y) =∞∑i=1|xi−yi|2icuando x = (xi) e y = (yi) ∈ Q. Sean a, b ∈ (0, 1) tales que a < b y A = [a, b]ωy veamos que A es un Z-conjunto en Q.Dado U = {Ui}i∈I un cubrimiento abierto de Q, podemos considerar cada Ui como unaε-bola con ε > 0. Existe n ∈ N tal que para m ≥ n, se tiene que 1n< ε. Definimos lafuncio´n h : Q −→ Q de la siguiente manera:h((x1, x2, ..., xn, ...)) = (x1, ..., xn−1, 1, xn+1, ...).h(Q) ∩A = ∅ ya que 1 /∈ [a, b] .Por otra parte, dado x ∈ Ad(x, h(x)) =∞∑i=1|xi − hi(x)|2i=|1− xn|2n<12n< ε.Esto implica que {x, f(x)} esta´ contenido en una bola de radio ε, es decir, IdX y h sonU-cercanas y A un Z-conjunto en Q.1.2. Algunas caracter´ısticas de los Z-conjuntosA continuacio´n mencionamos algunas de las caracter´ısticas topolo´gicas Z-conjuntos.Lema 3. 1. Todo Z-conjunto es denso en ninguna parte, esto es, su interior es vac´ıo.325Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´tica2. Sean X un espacio topolo´gico, B un Z-conjunto y A ⊂ B conjunto cerrado. EntoncesA es Z-conjunto.3. Si A es un Z-conjunto en un espacio X y Y es cualquier espacio entonces A×Y esun Z-conjunto en X × Y .4. Si A es un Z-conjunto en un espacio X y h es un homeomeorfismo sobre X entoncesh(A) es un Z-conjunto en XDemostracio´n. Demostraremos 1 y 2. 3 y 4 lo dejamos como ejercicio para el lector.Demostracio´n de 1. Sea A un Z- conjunto en X y supongamos que existe x ∈ int(A) yδ > 0 tal que B({x}, δ) ⊆ A. Consideremos un cubrimiento de X de δ2-bolas abiertas.Existe f : X −→ X \ A continua tal que f(y) /∈ A para todo y ∈ X y para algu´n xo setiene que{x, f(x)} ⊆ B({xo}, δ2).Luegod(x, f(x)) ≤ d(x, xo) + d(xo, f(x)) < δ,esto esf(x) ∈ B({x}, δ) ⊆ A,lo cual es una contradiccio´n.Demostracio´n de 2. Sea U ={Ui}i∈I un cubrimiento abierto de A entonces X \ A es unabierto en X. Luego W = U ∪X \ A es un cubrimiento abierto de B.Dado que existe h : X → X continua que es W-cercana a IdX tal que h(X) ∩ B = ∅,entonces si x ∈ A, tenemos que {h(x), x} ⊂ G, donde G ∈ W . Como x /∈ X \A, entoncesG = Uj ∈ U y adema´s tenemos que h(X) ∩A ⊂ h(X) ∩ B = ∅, por lo tanto, concluimosque A es Z-conjunto.Por u´ltimo, damos unos conceptos de topolog´ıa infinito dimensional asociados a los Z-conjuntos.RetractosDefinicio´n 11. Sea A un subespacio de X un espacio topolo´gico. A es retracto de X siexiste una funcio´n r : X −→ A continua tal que su restriccio´n a A es la funcio´n identidad.Lema 4. Si A es retracto de X entonces A es cerrado en X.Demostracio´n. Sea A un retracto X, entonces existe una funcio´nh : X → A tal que h|A = IdA. Dado a ∈ cl(A), existe (xn)n sucesio´n en A conver-gente a a. Por la continuidad de h, (h(xn))n converge a h(a) que pertenece a A y comoh(a) = a concluimos que cl(A) = ADefinicio´n 12. Un espacio X es Retracto Absoluto (AR) si es retracto para cualquierespacio Y que lo contiene como subconjunto cerrado.326Introduccio´n a los Z-ConjuntosUn espacio X es un Extensor Absoluto (AE) si para cualquier espacio Y y cualquiercerrado A de Y , toda funcio´n continua f : A → X puede extenderse a Y . En [4], pa´gina25, se prueba que un espacio es Retracto Absoluto si y so´lo si es Extensor Absoluto, semuestra tambie´n que el producto enumerable de espacios AR, es AR, ver pa´gina 26.Tomando esta relacio´n y aplicando el teorema de extensio´n de Tietze, podemos mencionarcomo ejemplos de espacios AE a los intervalos cerrados de R, R, Rn, In y Q = Iω.Definicio´n 13. Sea Y un espacio, X ⊂ Y .X se dice vecindad retracta de Y si existe unabierto A en Y tal que X es retracto de A.Definicio´n 14. Un espacio X es Retracto Absoluto por Vecindades (ANR) si es unavecindad retracta de cualquier espacio Y que lo contiene como subespacio cerrado.El conjunto A = {0, 1} es ANR, para un ε > 0 suficientemente pequen˜o, el conjunto Aes retracto de los abiertos (− ε3, ε3) y (2ε3, 4ε3), pero A no es AR ya que no existe retraccio´nr : I → A pues (Toda funcio´n continua preserva la propiedad de conexidad).Definicio´n 15. Sea A ∈ X cerrado. A es homoto´picamente denso en X si existe unahomotop´ıaH : X × I −→ Xtal queH(X × {0}) = IdXyH(X × (0, 1]) ⊂ A.Un subconjunto B ⊂ X es homoto´picamente despreciable en X si X \B es homoto´pica-mente denso.El siguiente lema da una caracterizacio´n de los Z-conjuntos en espacios que son retractosabsolutos por vecindades.Lema 5. Sea X un espacio ANR y A un cerrado en X. A es un Z-conjunto en X si yso´lo si A es homoto´picamente despreciable en X.Demostracio´n. La demostracio´n de este teorema la presenta T. Banakh en [1] pa´gina27.Bibliograf´ıa[1] BANAKH, T.; RADUL, T.; ZARICHNYI, M., Absorbing sets in infinite-dimensionalmanifolds. Monograph series, VNTL Publishers, Vol. 1, (1996).[2] BOURBAKI, N., General Topology. Part 2. Addison-Wesley, (1966).[3] MUNKRES, J., Topology, Prentice Hall, New Jersey (1975).[4] VAN MILL, J., The infinite- dimensional Topology of Function Spaces. NorthHolland, (2001).327

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