En este artículo se pretende mostrar un resultado de la teoría del cálculo de diferencias finitas para hallar términos n-ésimos de sucesiones y sumas de series numéricas

Angarita, Rafael Mauricio

Funes

TE´RMINOS N-E´SIMOS DE SUCESIONESY SUMAS FINITAS POR MEDIO DEDIFERENCIAS FINITASRafael Mauricio Angarita CervantesEstudiante Univeridad Pedago´gica NacionalBogota´ D.C, Colombiaangaritacervantes@gmail.comResumenEn este art´ıculo se pretende mostrar un resultado de la teor´ıa del Ca´lculo de Diferen-cias Finitas para hallar te´rminos n-e´simos de sucesiones y sumas de series nume´ricas.1. Introduccio´nHallar el te´rmino general de una sucesio´n o la suma de una serie nume´rica no es tarea fa´cil;Se conocen algunos resultados concernientes a las sucesiones de los nu´meros ﬁgurados, ysucesiones de algunas potencias positivas de nu´meros naturales. Con respecto a las seriesnume´ricas, se pueden mencionar resultados concernientes a las llamadas series telesco´picas,series P , utilizadas en la determinacio´n de la convergencia de una serie inﬁnita, etc. Secuenta con varios criterios para determinar si una serie es convergente, pero no hay muchoacerca del valor hacia el cual converge. En este escrito se pretende contribuir a estas dosbuenas causas.Asumiremos aqu´ı que una Sucesio´n es un conjunto de te´rminos formados segu´n una leyo regla, y una Serie como la suma indicada de los te´rminos de una sucesio´n. Cuando elnu´mero de te´rminos es limitado, se dice que la sucesio´n o serie es ﬁnita. Cuando el nu´merode te´rminos es ilimitado, la sucesio´n o serie se dice que es inﬁnita. El te´rmino general ote´rmino ene´simo es una expresio´n que indica la ley de formacio´n de los te´rminos. Porejemplo,1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .es una sucesio´n cuyo te´rmino ene´simo es {n}. La serie que se forma con los te´rminos es1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . .Para hallar la suma de esta serie, hasta el te´rmino k, realizamos el ya tradicional pro-cedimiento: Colocamos la suma indicada hasta el te´rmino k-e´simo de la serie, en ordendescendente, y le sumamos esos mismos te´rminos, pero colocados en orden ascendente;as´ı:k+ (k − 1)+ (k − 2)+ (k − 3) + . . .+ 11+ 2+ 3+ 4 + . . .+ k= (k + 1)+ (k + 1)+ (k + 1)+ (k + 1) + . . .+ (k + 1)Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaEn donde el resultado consta de k te´rminos; por lo tanto, tenemos que:k∑i=1i =k(k + 1)2Sin embargo, este procedimiento no es aplicable a todas las series ﬁnitas; es as´ı que hallarte´rminos ene´simos de sucesiones y sumas ﬁnitas de series no es tarea fa´cil. Se mostrara´ queestos dos problemas pueden resolverse desde el Ca´lculo de Diferencias Finitas.2. Diferencias finitas e integracio´n finitaEl ca´lculo de Diferencias Finitas hace referencia al estudio de las relaciones que hay entrelos valores asumidos por la funcio´n cuando la variable independiente toma valores en seriearitme´tica; podemos decir tambie´n que lo que se busca es estudiar el comportamiento dela variable dependiente cuando se presenta un cambio en la variable independiente.En lo que sigue notaremos las funciones con las letras U, V , etc. Si para la funcio´n Use tiene que la variable independiente es x, escribiremos Ux. Los cambios en la variableindependiente los notaremos con Δx. Por ejemplo, si Ux = x2 entoncesUx+Δx = (x+ Δx)2 = x2 + 2xΔx+ Δ2xyUx+Δx − Ux = 2xΔx+ Δ2xEste Δx puede ser remplazado por cualquier nu´mero real, sin embargo, en este caso nosinteresa estudiar el caso en que Δx es igual a 1.3. Diferencia finitaDefinicio´n 1 (Diferencia Finita) Al te´rmino Ux+1 − Ux lo llamaremos la primera di-ferencia de Ux y lo notaremos como ΔUx.Si se habla de la primera diferencia, podemos entonces hablar de la segunda diferencia,deﬁniendo esta como la primera diferencia de la primera diferencia, es decir:Δ2Ux = Δ(ΔUx) =Δ(Ux+1 − Ux)=(Ux+2 − Ux+1) − (Ux+1 − Ux)=Ux+2 + UxSiguiendo con esta idea, podemos hablar de la tercera diferencia, que queda como:Δ3Ux = Ux+3 − Ux+2 + Ux+1 − Ux.En general, para hallar la diferencia ene´sima de Ux, usamos la relacio´nΔnUx = Δ(Δn−1Ux).528Te´rminos n-e´simos de sucesiones y sumas finitas por medio de . . .Proposicio´n 1 Δ(Ux + Vx − Zx) = ΔUx + ΔVx − ΔZxDemostracio´n:Δ(Ux + Vx − Zx) =(Ux+1 + Vx+1 − Zx+1) − (Ux + Vx − Zx)=(Ux+1 − Ux) + (Vx+1 − Vx) − (Zx+1 − Zx)=ΔUx + ΔVx − ΔZx.Proposicio´n 2 Δ(UxVx) = Ux+1ΔVx + VxΔUxDemostracio´n:Δ(UxVx) =Ux+1Vx+1 − UxVx=Ux+1Vx+1 − Ux+1Vx + Ux+1Vx − UxVx=Ux+1(Vx+1 − Vx) + Vx(Ux+1 − Ux)=Ux+1ΔVx + VxΔUx.Ejemplos:Δc = c− c = 0Δx = (x+ 1) − (x) = 1ΔcUx = cUx+1 − cUx = cΔUxΔx3 = (x+ 1)3 − x3 = 3x2 + 3x + 1Δ log x = log(x+ 1) − log(x) = log(x+1x)Δ2x = 2x+1 − 2x = 2x4. Formas factorialesAl producto UxUx−1Ux−2 . . . Ux−n+1 los llamaremos forma factorial. Deﬁnimos tambie´n lassiguientes formas factoriales:(a + bx)(n) = (a+ bx)(a+ b(x− 1))(a + b(x− 2)) . . . (a + b(x− n+ 1)) (1)Con (a + bx)(0) = 1.Ejemplo(a + bx)(3) = (a + bx)(a+ b(x− 1))(a + b(x− 2))(a + bx)(5) = (a + bx)(a+ b(x− 1))(a + b(x− 2))(a + b(x− 3))(a + b(x− 4))Para los casos especiales a = 0 y b = 1, tenemosx(n) = (x)(x− 1)(x− 2) . . . (x− n+ 1) (2)Teorema 1Δ(a + bx)(n) = bn(a+ bx)(n−1) (3)529Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaDemostracio´n:Δ(a + bx)(n) = [(a+ b(x+ 1))(a + bx)(a+ b(x− 1)) . . . (a + b(x− n+ 2))]−[(a+ bx)(a+ b(x− 1))(a + b(x− 2)) . . . (a + b(x− n+ 1))] =(a+bx)(a+b(x−1))(a+b(x−2)) . . . (a+b(x−n+2))[(a+b(x+1))− (a+(x−n+1))] =bn(a+ bx)(n−1).Corolario 1Δx(n) = nx(n−1) (4)Corolario 2Δnx(n) = n! (5)Corolario 3Δn+1x(n) = 0 (6)Teorema de NewtonSi Ux es un polinomio de grado n en x, entonces Ux puede ser escrito comoUx = U0 + x(1)ΔUx +x(2)2!Δ2Ux + . . .+x(n)n!ΔnUx (7)Demostracio´n: Sea Ux un polinomio de grado n en x; Ux puede ser expresado comoUx = a0 + a1x(1) + a2x(2) + . . .+ anx(n)1 (8)Lo que haremos ahora es hallar las primeras diferencias de Ux:ΔUx =a1 + 2a2x+ 3a3x(2) + . . . + nanx(n−1)Δ2Ux =2a2 + 3 · 2a3x+ . . . + n · (n− 1)anx(n−2)...ΔnUx =n!anDespejando x por 0 en cada una de las igualdades anteriores, despejando las ai y rem-plazando en (7), obtenemos (6).Este resultado nos permite hallar el te´rmino ene´simo de una sucesio´n; por ejemplo, halle-mos el te´rmino ene´simo de la sucesio´n {1,4,10,20,35,56,...}. Bauticemos cada te´rmino,usando la notacio´n que hemos adoptado, como U0 = 1, U1 = 4, U2 = 10, U3 = 20,U4 = 35, U5 = 56. Lo primero que debemos hacer es la tabla de las primeras diferencias1Esta no es una proposicio´n descabellada, pues el te´rmino x(n) = (x)(x − 1)(x− 2) . . . (x − n+ 1) esun polinomio de grado n en x. Lo que hemos hecho es rescribir Ux de manera conveniente.530Te´rminos n-e´simos de sucesiones y sumas finitas por medio de . . .x Ux ΔUx Δ2Ux Δ3Ux Δ4Ux0 1 3 3 1 01 4 6 4 1 02 10 10 5 13 20 15 64 35 215 56De los resultados de la tabla y el corolario (4.3) se deduce que el te´rmino ene´simo es unpolinomio de grado (3), es decir, es de la formaUx = U0 + x(1)ΔUx +x(2)2!Δ2Ux +x(3)3!Δ3UxRemplazando los valores de la tabla, obtenemosUx = 1 + 3x(1) + 3x(2)2!+x(3)3!Expresando el polinomio anterior como un polinomio en x, nos queda el te´rmino ene´simode la sucesio´n es el polinomioUx = 1 + 3x+ 3x(x− 1)2+x(x− 1)(x− 2)6Compruebe el lector la respuesta.5. Integracio´n finitaEn el Ca´lculo de Diferencias Finitas el te´rmino integracio´n es usado para denotar elproceso de encontrar una funcio´n Vx cuya primera diferencia es una funcio´n Ux dada.Esto es, determinar una funcio´n Vx tal queΔVx = Ux.Esta operacio´n puede considerarse como la inversa de la operacio´n Δ la cual denotaremoscomo Δ−1. Se ha mostrado queΔx(3)3= x(2)Luego, tenemosΔ−1x(2) =x(3)3Decimos entonces que x(3)3es la integral ﬁnita de x(2). Se ha mostrado adema´s que alsumarle una constante a una funcio´n, e´sta desaparece cuando hallamos su primera di-ferencia; por lo tanto, en el proceso de integracio´n debemos an˜adir una constante a lafuncio´n obtenida. As´ı,Δ−1x(2) =x(3)3+ C531Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticay adema´sΔ[x(3)3+ C ] = x(2)Ahora, siΔ−1Ux = Vx + CO bienΔ[Vx + C ] = UxSe TieneΔ[Δ−1Ux] = Δ[Vx + C ] = UxEs decir, la operacio´n Δ−1 seguida de la operacio´n Δ deja la funcio´n intacta. Sin embargo,no ocurre lo mismo al aplicar Δ−1 luego de haber aplicado Δ. Teniendo en cuenta loanterior, podemos establecer la siguiente tabla:Diferencias Finitas Integracio´n Finita1.Δ(Ux + Vx − Zx) = 1.Δ−1(Ux + Vx − Zx) =ΔUx + ΔVx − ΔZx Δ−1Ux + Δ−1Vx − Δ−1Zx2.ΔcUx = cΔUx 2.Δ−1cUx = cΔ−1Ux3.Δax = (a− 1)ax 3.Δ−1ax = ax(a−1)4.Δx(n) = nx(n−1) 4.Δ−1x(n) = x(n+1)(n+1)5.Δ(a+ bx)(n) = bn(a + bx)n−1 5.Δ−1(a + bx)(n) = (a+bx)(n+1)b(n+1)6.Δ[UxVx] = UxΔVx + Vx+1ΔUx 6.Δ−1[UxVx] = UxVx − Δ−1[Vx+1Ux]Recordemos que lo que buscamos es una forma de hallar sumas de series ﬁnitas; semostrara´ a continuacio´n que este es un problema de integracio´n ﬁnita. En efecto, seaVx una funcio´n cuya primer diferencia es la funcio´n Ux, es decir, ΔVx = Ux. De la deﬁni-cio´n de diferencia ﬁnita, tenemosVx+1 − Vx = UxDe donde se obtienen las siguientes igualdadesV1 − V0 =U0V2 − V1 =U1V3 − V2 =U2...Vn+1 − Vn =UnSumando, obtenemosn∑x=0= Ux = Vn+1 − V0 = Vx|n+10 = Δ−1Ux|n+10532Te´rminos n-e´simos de sucesiones y sumas finitas por medio de . . .Es decir, que la suma de cualquier nu´mero de te´rminos de una serie de valores de Ux esigual a la diferencia entre dos valores de otra funcio´n Vx que es la integral ﬁnita de Ux.Ejemplo: hallar la suma de los primeros n te´rminos de la serie 1 + 3 + 7 + 13 + 21 + ...Solucio´n: Aplicando el teorema de Newton, llegamos a que Ux = 1 + 2x(1) + x(2). As´ı,n∑x=0Ux =n∑x=0[1 + 2x(1) + x(2)]=x(1) + x(2) +x(3)3|n+10=(n+ 1) + n(n + 1) +n(n− 1)(n + 1)3=(n+ 1)(2 + 4n3)Hallar te´rminos ene´simos de sucesiones y sumas de series nume´ricas se reduce as´ı a unproblema de diferencias ﬁnitas e integracio´n ﬁnita. Existen otros me´todos mas avanza-dos de integracio´n, como por ejemplo integracio´n por partes, integracio´n por medio decoeﬁcientes y funciones indeterminadas que, al igual que en el ca´lculo inﬁnitesimal, sonde mucha ayuda cuando se quiere hallar la integral de un producto de funciones, siendouna de ellas una funcio´n trascendente. Este me´todo de integracio´n permite que se puedaextender lo dicho hasta ahora a series en donde el te´rmino ene´simo involucra una funcio´nno elemental. En [2] se encuentra un desarrollo detallado de e´stos me´todos.Bibliograf´ıa[1] GRANVILLE, W., Ca´lculo Diferencial e Integral. Editorial Limusa, (1954).[2] RICHARDSON, C.H., An Introduction to the Calculus of Finite Diﬀerences. D. VanNostrand Company, Inc., 1954.533

Términos n-ésimos de sucesiones y sumas finitas por medio de diferencias finitas

http://funes.uniandes.edu.co/9022/1/Terminos2006Angarita.pdf

Términos n-ésimos de sucesiones y sumas finitas por medio de diferencias finitas

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