En éste escrito se relaciona una parte de los sistemas dinámicos, particularmente la dinámica simbólica con la teoría de códigos y se hace una representación mediante grafos dirigidos. Mediante algunos ejemplos se muestra tales relaciones

Luna, Joaquín

Álvarez, Yolima

Funes

DINA´MICA SIMBO´LICA, CO´DIGOS YGRAFOSJoaqu´ın Luna TorresUniversidad Sergio Arboleda.Yolima A´lvarez PoloUniversidad Distrital.Resumen.En e´ste escrito se relaciona una parte de los sistemas dina´micos, parti-cularmente la dinamica simbo´lica con la teoria de co´digos y se hace unarepresentacio´n mediante grafos dirigidos. Mediante algunos ejemplosse muestra tales relaciones.1 Espacios completos de desplazamiento.Para nuestros propo´sitos, un alfabeto es un conjunto finito de s´ımbolos A.Con este alfabeto se forman sucesiones bi-infinitas de s´ımbolos,x = . . . x−1x0x1 . . . , xi ∈ A, i ∈ Zque se suelen escribir como x = (xi)i∈Z, el ı´ndice i indica la i-e´sima coordena-da de x. Para algunos casos se espec´ıfica cual es la coordenada 0, poniendoun punto decimal, que sirve para expresar el tiempo 0, por ejemplo.A la coleccio´n de todas las sucesiones bi-infinitas de s´ımbolos sobre A se leconoce como espacio completo de desplazamientos, que se define como sigueAZ = {x = (xi)i∈Z | xi ∈ A, ∀i ∈ Z}Cada sucesio´n es un punto para el espacio completo de desplazamientos.Para indicar que A = {0, 1, 2, . . . , r − 1}, se escribe espacio completo der-desplazamientos.1.1 Bloques.Un bloque (o palabra) sobre A es una sucesio´n finita de s´ımbolos de A. Seadmite un bloque vac´ıo (o palabra vac´ıa) que se denota por e.Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaSe define la longitud de un bloque u como el nu´mero de s´ımbolos que hay enu y se escribe | u | .As´ı, | e |= 0.Para indicar que | u |= k, cuando u = e, se suele decir que u es un k-bolque.Un subbloque (o subplabra) de un k-bloque u = a1a2 . . . ak es un boque de laformaaiai+1 . . . aj−1aj donde 1 ≤ i ≤ j ≤ k.Note que e es subbloque de todo bloque.Si x ∈ AZ, i ≤ j, el bloque cerrado de coordenadas en x desde la posicio´n ia la posicio´n j se escribe x[i,j] = xixi+1 . . . xj−1xjSi x ∈ AZ y w es un bloque de elementos de A, se dice que w ocurre en x siexisten i, j tales que w = x[i,j]. As´ı, el bloque vac´ıo ocurre en todo x, puese = x[1,0].Si i > j, se define x[i,j] = e, bloque vac´ıo.El bloque semiabierto, x[i,j) = xixi+1 . . . xj−1x[i,∞) = xixi+1xi+2 . . . denota la sucesio´n infinita a la derecha.x(−∞,i] = . . . xi−2xi−1xi denota la sucesio´n infinita a la izquierda.x[−k,k] = x−kx−k+1 . . . xk se denomina el bloque central de x de longitud2k + 1.En ocasiones, es necesario condicionar los bloques que no pueden aparecer yse considera un conjunto F de bloques no permitidos, conocido como BloquesOlvidados.Dados dos bloques u y v, la concatenacio´n uv es un nuevo bloque construidoescribiendo u y a continuacio´n v.As´ı,|uv| = |u|+ |v|Es claro que la concatenacio´n de bloques no es una operacio´n conmutativa yque e es el elemento neutro para esta operacio´n.Cuando se opera u consigo mismo n veces, el bloque que se obtiene se denotapor un. Cuando n = 0, u0 := e.Para m,n ≤ 0 se cumple la ley de los exponentes:umun = um+n430Dina´mica Simbo´lica, Co´digos y Gra´fosLa expresio´n u∞ representa a . . . uuu.uuu . . . .2 La funcio´n desplazamiento.Una manera de relacionar los espacios de desplazamientos es mediante unafuncio´n lineal, conocida como funcio´n desplazamiento,σ : AZ −→ AZx → σ(x) = y (1)donde la i-e´sima coordenada de y corresponde a la (i+1)-e´sima coordenadade x, es decir,Six = . . . x−2x−1.x0x1x2 . . .entoncesσ(x) = . . . x−2x−1x0.x1x2 . . .Esta funcio´n es biyectiva y cada vez que se aplica desplaza el punto decimalun lugar a la derecha, lo que se puede interpretar como el transcurrir deltiempo en una unidad. Su inversa indica el feno´meno opuesto.Un subconjunto de AZ que se conserva invariante bajo σ se llama un despla-zamiento invariante.La expresio´n σn representa la composicio´n de σ consigo misma n veces.Un punto x es perio´dico para σ si σn(x) = x, para algu´n n ≥ 1. Cuandon = 1 se dice que x es un punto fijo.Note que un punto de per´ıodo n tiene la forma u∞ para algu´n bloque u y unpunto fijo es de la forma a∞ para algu´n s´ımbolo a.3 Espacios de desplazamiento.Sea F la coleccio´n de bloques olvidados sobre A, esta coleccio´n puede serfinita o infinita.Para algu´n F , se define X = XF como el subconjunto de sucesiones en AZque no contienen un bloque en F que se denomina espacio de desplazamiento.431Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaNote que X representa la operacio´n de formar el espacio de desplazamientoy X denota el espacio resultante.Ejemplo 3.1. Desplazamiento en proporcio´n a´urea.Considere A = {0, 1}, F = {11} y X = XF corresponde a sucesionesbinarias donde no pueden haber dos unos consecutivos.Es claro que si se cambia la coleccio´n F , el espacio de desplazamiento esdistinto.En algunos casos, es preciso describir un espacio de desplazamiento por losbloques permitidos ma´s que por los bloques olvidados.Ejemplo 3.2. Desplazamiento parConsidere A = {0, 1}, F = {102n+11} | n ≥ 0 y X = XF corresponde asucesiones binarias donde no puede haber un nu´mero impar de ceros entredos unos.4 Lenguajes.Sea X ⊆ AZ un espacio de desplazamiento y Bn(X) el conjunto de todos losn-bloques que ocurren en puntos de X. El lenguaje de X es la coleccio´n debloques permitidos en X, esto es,L = B(X) =∞⋃n=0Bn(X)que cumple:Si w ∈ L entonces1. Todo subbloque de w esta´ tambie´n en L2. Existen bloques no vac´ıos u y v tales que uwv ∈ LPara el desplazamiento en proporcio´n a´urea,B(X) = {e, 0, 1, 00, 01, 10, 000, 001, 010, 100 . . .}Un espacio de desplazamiento X se dice irreducible si para todo par de bloquesu, v ∈ B(X) existe w ∈ B(X) tal que uwv ∈ B(X).432Dina´mica Simbo´lica, Co´digos y Gra´fosSea X un espacio de desplazamiento sobre A y BN(X) = A[N ]X la coleccio´n detodos losN -bloques en X.Si se considera A[N ]X como un nuevo alfabeto se forma el espacio completo(A[N ]X )Z de bloques superiores.5 Co´digos.Los co´digos aparecen de manera natural a trave´s de una funcio´n particular.El N-Co´digo de bloques superiores esta´ definido por la imagen de la funcio´nβN : X −→ (A[N ]X )Zx[i] → x[i,i+N−1]La funcio´n βN reemplaza la i-e´sima coordenada de x por el bloque de coor-denadas de x, de longitud N , que empieza en la posicio´n i.Ejemplo 5.1. Si N = 4, la imagen de x = (xi)i∈Z bajo β4 tiene la formaβ4(x) = . . .x1x0x−1x−2x2x1x0x−1 .x3x2x1x0x4x3x2x1 . . .y es un elemento de (A[4]X )Z.Note que hay traslapamiento de bloques.Si X es el desplazamiento en proporcio´n a´urea entoncesA[2]X = {00, 01, 10} = {a, b, c}.X[2] se describe mediante la restriccio´nF = {ac, ba, bb, cc}.El N-Co´digo potencia superior esta´ definido por la imagen de la funcio´n433Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaγN : X −→ (A[N ]X )Zx[i] → x[iN,iN+N−1]Obse´rvese que γN corta la sucesio´n x formando N -bloques consecutivos.Ejemplo 5.2. Si N = 4 y x = (xi)i∈Z,γ4(x) = . . .x−5x−6x−7x−8x−1x−2x−3x−4 .x3x2x1x0x7x6x5x4 . . .y esta´ en (A[4]X )Z.F´ıjese que aqu´ı no hay traslapamiento de bloques.Para nuestro ejemplo, el espacio de segundas potencias superiores X2 quedadesrito porF = {bc}, donde las palabras que contienenbc = 0110 son las u´nicas que se olvidan, siguiendo la restriccio´n 11 del espaciode desplazamientos original.Ahora, se consideran dos alfabetos A y U .Seanx = . . . x−1x0x1 . . . ∈ X sobre A yy = . . . y−1y0y1 . . . ∈ X sobre Um y n ∈ Z tales que −m ≤ nSe defineφ : X −→ UZx → y = φ(x)donde la i-e´sima coordenada de y queda determinada por la funcio´n de bloquefijo tambie´n llamada funcio´n de (m+n+1)-bloques, que transforma m+n+1-bloques permitidos en X en s´ımbolos de UΦ : Bm+n+1(X) −→ Ux[i−m,i+n] → Φ(x[i−m,i+n]) = yi434Dina´mica Simbo´lica, Co´digos y Gra´fosNote que φ se define a partir de Φ y por tanto, φ := Φ[−m,n]∞A la imagen bajo φ se le conoce como Co´digo de bloques deslizantes con me-moria m y anticipacio´n nSi Y ⊆ UZ y φ(X) ⊆ Y , el co´digo de bloques deslizantes se describe porφ : X −→ YEjemplo 5.3. A = U = {0, 1}, X el espacio de desplazamientos en pro-porcio´n a´urea y Y el espacio de desplazamientos par. Sea Φ la funcio´n de2-bloques definida porΦ(00) = 1, Φ(01) = 0, Φ(10) = 0Sean X y Y espacios de desplazamientos.Si φ : X −→ Y es un co´digo de bloques deslizantes, σX y σY son las funcionesdesplazamiento, respectivas, entoncesφ ◦ σX = σY ◦ φObse´rvese que φ conmuta con σ.6 Espacios de desplazamientos de tipo finito.Cuando F es un conjunto finito, X = XF se denomina un espacio de despla-zamientos de tipo finito (DTF ).Observe que el espacio de desplazamientos en proporcio´n a´urea es de tipofinito, ya que F = {11}, mientras que el espacio de desplazamientos paresno lo es.La memoria m de un espacio DTF se indica por una coleccio´n de bloquesolvidados de longitud m+ 1.435Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´tica7 Espacios conjugados.Ahora queremos relacionar espacios de desplazamiento mediante co´digos es-peciales, que nos permitan detectar invariantes en las estructuras que esta-mos trabajando. Para tal fin consideramos, un co´digo de bloques deslizantesφ : X −→ Y que es una conjugacio´n de X en Y si es uno a uno y sobre.Si X y Y son conjugados, se escribe X  YEl nu´mero de puntos perio´dicos es un invariante por conjugacio´n.Si un espacio de desplazamientos D es conjugado con un espacio de despla-zamiento de tipo finito entonces D es un espacio de desplazamiento de tipofinito, por ejemplo.8 Grafos Dirigidos.Un grafo G esta´ formado porun conjunto V = V (G) de ve´rtices V = V (G) y un conjunto A = A(G) dearistas orientadas.Cada arista a tiene un ve´rtice inicial i(a) y un ve´rtice terminal t(a).Cuando i(a) = t(a) se dice que a es un lazo.Aqui, se trabaja con V un conjunto finito, esto es, V = V (G) = {I1, I2, . . . , Ik}Para algu´n ve´rtice I, AI = AI(G) denota el conjunto de aristas que salen deI yAI = AI(G) denota el conjunto de aristas que entran a I.El cardinal de AI se llama grado de salida de I y el de AI grado de entradade I.SeanG yH grafos. Buscamos maneras de relacionar los grafos, aqui medianteun homomorfismo de grafos que consiste en un par de funciones(ϕ, ψ) : G −→ Hde manera queϕ : V (G) −→ V (H) y ψ : A(G) −→ A(H).Decimos que dos grafos son isomorfos si ϕ y ψ son biyectivas, esto es, si436Dina´mica Simbo´lica, Co´digos y Gra´fos10Figura 1uno se puede obtener del otro por renombramiento (cambio de nombre) deve´rtices y aristas.La Matriz de adyacencia de un grafo G es una matriz cuadrada A que tienetantas filas y columnas como ve´rtices tiene el grafo. El elemento aij indica elnu´mero de aristas que unen el ve´rtice Ii con el ve´rtice Ij, asi, los elementosde la diagonal indican los lazos que aparecen en el grafo. Las potencias de Adenotan los caminos posibles sobre el grafo en cuestion.Ejemplo 8.1. A =[1 11 0]es la matriz de adyacencia del grafo de la figura1.Si el alfabeto A es el conjunto de aristas de un grafo dirigido, se define elespacio de desplazamientos sobre aristas comoG = {z = (zi)i ∈ Z ∈ AZ | t(zi) = i(zi+1), ∀i ∈ Z}y se tiene un resultado muy importanteSi X es un espacio de desplazamiento de tipo finito de memoria m entoncesexiste un grafo G tal que X[m+1] = G.437Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaEs claro que el espacio de desplazamientos en proporcio´n a´urea no es unespacio de desplazamiento sobre aristas. Sin embargo, es un espacio de me-moria 1. Por tanto, para el espacio de desplazamientos en proporcio´n a´urea,X[2] = G, como se muestra en la figura 2.10000110Figura 2Aqui se muestra la importancia de la reperesentacio´n de espacios de despla-zamientos de tipo finito mediante grafos, los cuales permiten ver e interpretarla informacio´n impl´ıcita en los espacios en cuestio´n.Referencias Bibliogra´ficas.[1] GROSS, Jonathan L. and TUCKER Thomas Topological Graph Theory,Wiley-Interscience.[2] ITCHENS, B.P. Symbolic Dynamics,Springer-Verlag, 1998.[3] IND, Douglas and MARCUS, BrianAn introduction to Symbolic Dynamics and Coding,Cambridge University Press, 1995.438

Dinámica simbólica, códigos y grafos

http://funes.uniandes.edu.co/9111/1/Dinamica2002Luna.pdf

Dinámica simbólica, códigos y grafos

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