La Ley de reciprocidad cuadrática es uno de los resultados más útiles y prolíficos en Teoría de Números. Desde que fue enunciada por Euler en 1754, ha sido materia de interesantes desarrollos. Este escrito pretende hacer una breve reconstrucción histórica de los pasos que condujeron a la formulación y posterior demostración de la Ley de reciprocidad cuadrática. Además de exponer una demostración, hacemos un recuento de algunos desarrollos posteriores y generalizaciones a que ha dado lugar este resultado

León, Edwin

Funes

LA LEY DE RECIPROCIDADCUADRA´TICA. UNA BREVE REVISIO´NHISTO´RICAEdwin Leo´n CardenalEstudiante Universidad Nacional de ColombiaBogota´ D.C, Colombiaeleonc@unal.edu.coResumenLa Ley de Reciprocidad Cuadra´tica es uno de los resultados ma´s u´tiles y prol´ıficosen Teor´ıa de Nu´meros. Desde que fue enunciada por Euler en 1754, ha sido materiade interesantes desarrollos.Este escrito pretende hacer una breve reconstruccio´n histo´rica de los pasos quecondujeron a la formulacio´n y posterior demostracio´n de la Ley de ReciprocidadCuadra´tica. Adema´s de exponer una demostracio´n, hacemos un recuento de algunosdesarrollos posteriores y generalizaciones a que ha dado lugar este resultado.1. Introduccio´nLa Ley de Reciprocidad Cuadra´tica fue enunciada por primera vez por Euler en 1754-55,esencialmente en los siguientes te´rminos:”Si existe un x tal que x2 − p es divisible por q, entonces p se dice un residuo o restocuadra´tico de q. Si no existe tal x , p se dice un no resto cuadra´tico de q”.La Ley de Reciprocidad Cuadra´tica tiene dos partes:a) Si alguno de los dos, p o q, es de la forma 4k+1, entonces p es un residuo cuadra´tricode q si y solo si q es un resto cuadra´tico de p.b) Si ambos, p y q son de la forma 4k + 3, entonces p es un residuo cuadra´tico de q si ysolo si q es un no resto cuadra´tico de p.”2. El trabajo de EulerInspirado en el trabajo de Fermat sobre los primos de la forma p = x2+Ny2 con x,y ∈ Zpara N = 1,±2, 3, Euler trabajando en formas cuadra´ticas encuentra los dos problemassiguientes:i) Dado n ∈ Z, describa los primos p = 2 para los cuales p = x2 + Ny2 es soluble conx,y ∈ Z.El segundo de los problemas es una forma mas de´bil del primeroii) Dado N ∈ Z,describa los primos p = 2 para los cuales p | m, donde m es un enterode la forma m = x2 + Ny2, con x,y ∈ Z.Memorias XV encuentro de geometr´ıa y III de aritme´ticaUsando el s´ımbolo de Legendre, el problema II queda en estos te´rminos:Dado N ∈ Z y p un primo tal que (N, p) = 1. ¿ Cua´les son los primos p = 2, para los que(−Np)= 1?Definicio´n 1. PN := {primosp = 2 :(−Np)= 1}En estos te´rminos el problema II ser´ıa:Dado N ∈ Z describa PNLas observaciones de Euler y Fermat, muestran que los primos p ∈ PN pueden serdescritos mediante condiciones de congruencia mo´dulo 4|N |. Los primeros descubrimientosfueron hechos por Fermat para N = 1, 2, 3. Sin embargo,Fermat no dio ninguna pruebade estos hechos.El caso N = 1 fue probado por Euler en 1758 junto con una prueba del rec´ıproco. ParaN = 2 y N = 3 Euler tambie´n dio pruebas satisfactorias y establecio´ que el rec´ıprocotambie´n era cierto, pero estos hechos fueron ambos demostrados por Lagrange en 1775.Entre 1741 y 1742 en Theoremata circa divisores numerorum in hac pormapa2 ± qb2 contentorum , Euler establece la Primera o Forma Impl´ıcita de la Ley deReciprocidad Cuadra´tica :Teorema 1. Dado N ∈ Z y p un primo con (p, 2N) = 1. Entonces se tienen las siguientespropiedades:1) p ∈ PN si y solo si p ∈ 4|N |Z + r =: C(r) para ciertos residuos r ∈ N mo´dulo 4|N |con 0 < r < 4|N | y (r, 4N) = 1.Mas precisamente, si:RN := {C(r) ∩ PN = ∅, 0 < r < 4|N |} y EN := (Z/4|N |Z)× es el grupo de unidadesmo´dulo 4|N |.Entonces:2) RN es un subgrupo de EN de ı´ndice [EN : RN=2].3) Si p¯ = r¯2 para algu´n r¯ ∈ EN , entonces p¯ ∈ RN4) −1 ∈ RN si y solo si N < 05) Si N = 4n − 1, entonces PN esta´ caracterizado por las condiciones de congruenciamo´dulo |N |. Si N = 4n − 1, entonces PN esta´ caracterizado por las condiciones decongruencia mo´dulo 4|N |, pero no |N |6) Excepto para 4|N | y |N | (si N = 4n− 1) no existe otro mo´dulo m ∈ N que caracterizea PN .476La ley de reciprocidad cuadra´tica. Una breve revisio´n histo´ricaAunque esta Primera Forma brinda una completa descripcio´n de la estructura de RN , noofrece una descripcio´n explicita, ni de RN ni de PN . Por ejemplo, para N = 2:EN = {1¯, 3¯, 5¯, 7¯}y para RN , tenemos tres posibilidades :RN = {1¯, 3¯} o´ {1¯, 5¯} o´ {1¯, 7¯},por 4) podemos excluir {1¯, 7¯}, pero no es posible decidir entre RN = {1¯, 3¯} y RN = {1¯, 5¯}.Experimentalmente, Euler y Fermat determinaron que R2 = {1¯, 3¯} y R−2 = {1¯, 7¯}.Los casos N = 1 y N = −2, que fueron probados por Euler, son respectivamente laprimera y la segunda ley complementarias de la Ley de Reciprocidad Cuadra´tica, veamos:Teorema 2. (1) R1 = {1¯}, es decir p | x2 + y2 ⇔ p = 4n + 1(2) R−2 = {1¯, 7¯}, es decir p | x2 − 2y2 ⇔ p = 8n+ 1 o p = 8n − 1Ma´s tarde, en 1772, Euler enuncia la Segunda o Forma expl´ıcita de la Ley de ReciprocidadCuadra´tica, publicada en Opuscula Analytica (1783)Teorema 3. Sean p y q dos primos impares y distintos:(1) Si p = 4n + 1 entonces p | x2 − qy2 ⇔ q | x2 − py2(2) Si p = 4n + 3 entonces p | x2 − qy2 ⇔ q | x2 + py2En te´rminos del s´ımbolo de Legendre :(1*) Si p = 4n + 1 entonces(qp)=(pq)(2*) Si p = 4n + 3 entonces(qp)=(−pq)3. Un intento fallidoAdrien Marie Legendre (1752-1833) fue otro de los pioneros en el estudio de la Ley deReciprocidad Cuadra´tica, de hecho fue el primero en dar una demostracio´n (parcial).Basado en el trabajo de Euler y usando el siguiente lema, Legendre distingue 8 casos quedependen de la congruencia p, q ≡ ±1 (mo´d 4) y de(pq)= ±1.Lema 1. Sean a,b,c ∈ Z no todos del mismo signo y tales que abc es un cuadrado libre.Entonces ax2 + by2 + cz2 = 0 tiene una solucio´n entera no trivial x,y,z ∈ Z si y solo silas siguientes tres condiciones se satisfacen simulta´neamente:a) −bc es un residuo cuadra´tico mo´dulo |a|,b) −ca es un residuo cuadra´tico mo´dulo |b|,477Memorias XV encuentro de geometr´ıa y III de aritme´ticac) −ab es un residuo cuadra´tico mo´dulo |c|.La prueba de Legendre, publicada en Essai sur la The´orie des Nombres (1798), hace usode ecuaciones como x2 + py2 − qz2 = 0 (una para cada caso). A continuacio´n consideralas soluciones enteras mo´dulo 4 y as´ı dos de las tres condiciones establecidas en el lemaanterior se satisfacen, mientras que la tercera no, lo que da´ lugar a la Ley de Reciprocidad.En te´rminos del s´ımbolo de Legendre, introducido por el mismo en 1798, tenemos:Teorema 4. Sean p y q primos impares distintos y q = 4m + 31) Si p = 4n + 1 y(pq)= −1 entonces(qp)= −12) Si p = 4n + 3 y(pq)= 1 entonces(qp)= −1Se dice que esta´ demostracio´n es parcial pues en ella se hace uso de un teorema quefue´ probado hasta 1837 por Dirichlet, que afirma que dada una progresio´n aritme´tica demo´dulo m y razo´n fija r, siempre es posible encontrar un nu´mero primo en ella. Al parecereste hecho fue tomado por Legendre como un axioma.4. La primera pruebaEl primero en ofrecer una demostracio´n completa de la Ley de Reciprocidad Cuadra´ticafue Gauss en 1796, prueba que aparece publicada en Disquisitiones Aritmeticae (1881),esta primera prueba consideraba tambie´n 8 casos y usaba induccio´n.Gauss realizo´ 7 pruebas ma´s, dos de ellas publicadas po´stumamente. Es notable la ad-miracio´n que desperto en Gauss este resultado, pues llego´ a denominarlo el TheoremaAureum (Teorema a´ureo).Las pruebas de Gauss, usan desde induccio´n hasta el genus de las formas cuadra´ticas ysumas de Gauss, as´ı como las extensiones cicloto´micas.5. NuestrapruebaUno de los alumnos de Gauss, Gotthold Eisenstein, aporto cinco demostraciones ma´s.Con el propo´sito de exponer una de estas pruebas enunciaremos dos proposiciones (sindemostracio´n), una de ellas es el lema de Gauss, que fue publicado en 1801, la otraproposicio´n fue enunciada por Eisenstein y es el punto clave de la prueba que de elexhibiremos.Proposicio´n 1. (Lema de Gauss)Sea p un primo impar y D un entero no divisible por p. Si μ denota el nu´mero de enterosen la secuencia1 ·D, 2 ·D, . . . , 12(p− 1) ·D, (1)cuyos residuos principales mo´dulo p son mayores que 12p, entonces(Dp)= (−1)μ (2)478La ley de reciprocidad cuadra´tica. Una breve revisio´n histo´ricaProposicio´n 2. Sean a y b dos enteros impares mayores que 3. Si (a, b) = 1, tenemos:12(a−1)∑u=1[bua]+12(b−1)∑v=1[avb]= 12(a− 1)12(b− 1). (3)Teorema 5. (Ley de Reciprocidad Cuadra´tica)Si p y q son dos primos impares distintos, tenemos:(qp)(pq)= (−1)12 (a−1) 12(b−1) (4)Demostracio´n. Por el Lema de Gauss tenemos(qp)= (−1)M , dondeM ≡ μ (mo´d 2) y M =∑12 (p−1)u=1 [ qup ]. Intercambiando los papeles de p y de q, tendremos(pq)= (−1)N donde N =∑ 12 (q−1)v=1 [pvq ].Por tanto(qp)(pq)= (−1)M+N . Usando la proposicio´n 2 concluimos:M + N = 12(p− 1)12(q − 1). Con lo cual concluimos el resultado.6. Algunas generalizacionesFinalmente cabe anotar que muchos otros grandes matema´ticos han contribuido con suspropias pruebas a la larga historia de este resultado. Entre ellos Cauchy, Jacobi, Dirichlet,y Lebesgue. Actualmente existen ma´s de 150 pruebas.La Ley de Reciprocidad Cuadra´tica ha sido el fundamento para las denominadas Leyesde Reciprocidad Superiores, que comprenden entre otras, la Ley de Reciprocidad Cu´bica yla Ley de Reciprocidad Bicuadra´tica o Cua´rtica. Estas leyes tambie´n ocuparon el tiempode grandes como Euler, Gauss,Jacobi , y de nuevo, Eisenstein, entre otros.A manera de ejemplo enunciaremos la Ley de Reciprocidad Cu´bica.Teorema 6. Sean π1 y π2 primarios, es decir primos en Z(−1 +√−3/2) que son con-gruentes con 2 mo´dulo 3. Si Nπ1,Nπ2 = 3 y Nπ1 = Nπ2, entoncesχπ1(pi2) = χπ2(pi1). (5)donde χ(π) denota el caracter cu´bico de π.Como es posible notar, este enunciado ha requerido de herramientas ma´s elaboradas, lasotras generalizaciones de la Ley de Reciprocidad Cuadra´rtica requieren igualmente unandamiaje cada vez mas sofisticado. Por ello nos limitaremos a nombrarlas. Algunas deellas son : la ley de reciprocidad bicuadra´tica (cua´rtica), la ley de reciprocidad racional,propuesta por Eisenstein en 1850, y la generalizacio´n a extensiones abelianas finitas,debida a Artin.479

La ley de reciprocidad cuadrática. Una breve revisión histórica

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