Algunas notaciones. Sea X un conjunto no vacío y A un subconjunto de X. Se denota por |A| el cardinal del conjunto A, (A) a la colección de todos los subconjuntos de A y por H(A) la colección de hiperconjuntos de A

Pulido, Carmen

Sarmiento, Edilberto

Funes

COLECCIONES CERRADAS PARAINTERVALOSEdilberto SarmientoUniversidad Distrital.Carmen PulidoUniversidad Distrital.1 Nociones Preliminares.Algunas notaciones.Sea X un conjunto no vac´ıo y A un subconjunto de X.Se denota por |A| el cardinal del conjunto A, (A) a la coleccio´n de todos lossubconjuntos de A y por H(A) la coleccio´n de hiperconjuntos de A:(A) = {B ⊆ X : B ⊆ A}H(A) = {B ⊆ X : A ⊆ B}Si A y D son subconjuntos de X, con A ⊆ D, la coleccio´n de todos losconjuntos que esta´n entre A y D es:[A,D] = {B ⊆ X : A ⊆ B ⊆ D}Si A es una coleccio´n de subconjuntos de X,cA = (X)−A, Ac = {B ⊆ X : (X − B) ∈ A}cAc = {B ⊆ X : (X − B) /∈ A} = (X)−AcResultado|(A)| = 2|A|, |H(A)| = 2|X|−|A| |cA| = |A|.Para cada entero positivo m ≤ |X|, m(X) es la coleccio´n de subconjuntosde X que tienen m elementos:Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticam(X) = {B ⊆ C : |B| = m}., |m(X)| =(|X|k), si X es finito.(A)∗ = (A)− {∅},(A)∗ = (A)− {A},(A) = (A)− {∅, A}.(A)∗∗ = ((A)− {∅})− {{x} : x ∈ A},(A)∗∗ = ((A)− {A})− {A− {x} : x ∈ A}.(A)∗∗∗ = ((A)− {∅, A})− {{x} : x ∈ A}.(A)∗∗∗ = ((A)− {∅, A})− {A− {x} : x ∈ A}.H(A)∗ = H(A)− {A}, H(A)∗ = H(A)− {X} H(A)∗∗ = H(A)− {A,X}.1.1 Definicio´n y Ejemplos.Definicio´n.Sea X un conjunto. Una coleccio´n A es cerrada para intervalos siA,B ∈ A y A ⊆ C ⊆ B, entonces C ∈ A.El conjunto formado por todas las colecciones cerradas para intervalos sobreX se denota por CI(X).Ejemplos sobre conjuntos finitos.Si X = ∅ entonces CI(X) = {∅, {∅}}.Si X = {1}, entonces CI(X) = {∅, {∅}, {∅, X}, {X}}.Sea X = {1, 2},(X) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}},2(X) = {∅, {∅}, {{1}},{{2}}, {{1, 2}}, {∅, {1}}, {∅, {2}},{∅, {1, 2}}, {{1}, {2}}, {{1}, {1, 2}}, {{2},{1, 2}}, {∅, {1}, {2}}, {∅, {1}, {1, 2}},{∅, {2}, {1, 2}}, {{1}, {2}, {1, 2}}, (X)}.Hay un total de 13 colecciones cerradas para intervalos.Las siguientes colecciones no son cerradas para intervalos:{∅, {1, 2}}, {∅, {1}, {1, 2}}, {∅, {2}, {1, 2}}.Ejemplos sobre un conjunto arbitrario X.1. ∅, (X) ∈ CI(X).484Colecciones Cerradas para Intervalos2. Si A ∈ (X), A = {A} ∈ CI(X). Las colecciones unitarias son cerradaspara intervalos.3. Si A  B ∧ B  A, {A,B} ∈ CI(X)4. Si A ⊆ B, A = cAc = H(A) ∩ (B) = [A,B] ∈ CI(X)5. B = {A : |A| = n ∨ |A| = n+ 1} = n(X) ∪ n+1(X) ∈ CI(X)6. Si 0 ≤ m ≤ n ≤ |X|,A = n∪k=mk(X) ∈ CI(X)7. Si una coleccio´n esta formada por conjuntos no comparables entonceses cerrada para intervalos.8. Si una coleccio´n es cerrada para subconjuntos es cerrada para interva-los.9. Si una coleccio´n es cerrada para hiperconjuntos es cerrada para inter-valos.10. Si A es cerrada para hiperconjuntos y B es cerrada para subconjuntosla interseccio´n de las dos es cerrada para intervalos.Observacio´n.Si ∅, X ∈ A y A ∈ CI(X) entonces A = (X).1.2 El Conjunto Ordenado CI(X).Debido a que el conjunto de colecciones cerradas para intervalos esta conte-nido en el conjunto de partes de partes de X, (2(X)), y este u´ltimo estaordenada por la inclusio´n, entonces CI(X) hereda el mismo orden. En elsiguiente apartado se enumeran algunas de las propiedades de este conjuntoordenado.Proposicio´n.1. El mı´nimo y ma´ximo de CI(X) son ∅ y (X) respectivamente.2. Sea { Ai }i∈I ⊆ CI(X), entonces ∩i∈IAi ∈ CI(X).485Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaDemostracio´n.2. {Ai}i∈I es una familia de colecciones de CI(X)A,B ∈ ∩i∈IAi ∧ A ⊆ C ⊆ B ⇐⇒ (∀i ∈ I)(A,B ∈ Ai) ∧ A ⊆ C ⊆ B⇐⇒ (∀i ∈ I)(A,B ∈ Ai ∧ A ⊆ C ⊆ B)=⇒ (∀i ∈ I)(C ∈ Ai), pues Ai ∈ CI(X)=⇒ C ∈ ∩i∈IAiLuego ∩i∈IAi ∈ CI(X).Observacio´n.La familia CI(X) no siempre es cerrada para uniones de paresX = {1, 2, 3, 4}Las colecciones A = {{1}, {1, 2}},B = {{1, 2, 3}} son cerradas para interva-los pero A ∪B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}} no es cerrada para intervalos.Proposicio´n.1. Si {Ai}i∈I es una cadena en (CI(X),⊆), entonces ∪i∈IAi ∈ CI(X).2. (CI(X),⊆) posee elementos maximales.Proposicio´n. A ∈ CI(X) =⇒ Ac ∈ CI(X).Demostracio´n.Sean D,F ∈ Ac,D ⊆ G ⊆ F=⇒ cD, cF ∈ Ac, F ⊆ cG ⊆ cD=⇒ cG ∈ A=⇒ G ∈ Ac.486Colecciones Cerradas para Intervalos1.3 Colecciones no cerradas para intevalos.En este apartado se estudian las colecciones que no son cerradas para inter-valos, ya que su estudio es equivalente al de las colecciones cerradas paraintervalos y porque hemos encontrado mas resultados para este tipo de co-lecciones.Definicio´n.Sea X un conjunto y A una coleccio´n sobre X. A no es cerrada para inter-valos si existen A,B ∈ A y C ∈ (X), con A ⊆ C ⊆ B y C /∈ A.El conjunto de todas las colecciones no cerradas para intervalos sobre elconjunto X se denota por NCI(X). NCI(X) = 2(X)− CI(X)Ejemplos de colecciones no cerradas para intervaos.Las siguientes colecciones de conjuntos no son cerradas para intervalos:1. {∅, A} tal que |A| > 12. m(X) ∪ n(X) con |m− n| > 23. m(X) ∪ {∅} con m ≥ 2Aproximacio´n al nu´mero de colecciones cerradas parqa intervalos.Notacio´n.Se denota por M(X) al conjunto formado por las colecciones distintas de(X) que contienen a ∅ y X :M(X) = {A ∈ 2(X)∗∗ : {∅, X} ⊆ A}Proposicio´n.M(X) ⊆ NCI(X).Demostracio´n.A ∈ M(X) ⇐⇒ A ∈ 2(X) ∧A = (X) ∧ {∅, X} ⊆ A=⇒ (∃B ∈ (X))(B = ∅ ∧B = X)(B /∈ A)=⇒ ∅ ⊆ B ⊆ X ∧B /∈ A, {∅, X} ⊆ A=⇒ A ∈ NCI(X)487Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaTeorema.ϕ : ((X))∗∗∗ → M(X)A → A ∪ {∅, X}es biyectivaDemostracio`n.1. Inyectividad.Si A, B ∈ ((X)∗∗)∗ y A = B entonces, existe A ∈ A, A /∈ {∅, X} yA /∈ B, luego A ∪ {∅, X} = B ∪ {∅, X} y ϕ(A) = ϕ(B).2. Sobreyectividad.Sea B ∈ M(X), entonces {∅, X} ⊆ B ∧ B = (X) asi´ que existeB − {∅, X} ∈ ((X)∗∗)∗ es tal que ϕ(B − {∅, X}) = (B − {∅, X}) ∪{∅, X}} = B.Corolario. 1. 22|X|−2 − 1 ≤ |NCI(X)|.2. |CI(X)| ≤ 22|X| − (22|X|−2 − 1).Demostracio`n. 1. (X)| = |((X)∗∗)∗| = |((X)∗∗)| − 1 = 2|(X)−{∅,X}|−1 = 22|X|−2 − 12. Se tiene a partir de 1 usando complemento.A continuacio´n vamos a mostrar otra forma de aproximar el nu´mero de co-lecciones cerradas para intervalos.Proposicio´n. Sea A ∈ (X) la funcio´n:ϕA : (A) → NCI(X) R → (A)− {R}1. ϕA esta bien definida.2. ϕA es inyectiva.3. Im(ϕA) ⊆ NCI(X).488Colecciones Cerradas para Intervalos4. |Im(ϕA)| = 2|A| − 2 ≤ |NCI(X)|.5. Si A,B ∈ (X)∗∗∗ con A = B, entonces Im(ϕA) ∩ Im(ϕB) = ∅.Demostracio´n.2. SeanB1, B2 ∈ (A) , B1 = B2 ∈ (A) , luego ((A)− {B1}) = ((A)− {B2})as´ı que ϕA(B1) = ϕA(B2).4. |(A)∗∗| = |Im(ϕA)| ≤ |NCI(X)|, luego 2|A| − 2 ≤ |NCI(X)|.5. Si B ∈ Im(ϕA), existe R ∈ (A) tal que B = (A)−{R}. Sea S ∈ (B)∗∗,• Si A ⊆ B,B ∈ ((B)− {S}) y B /∈ ((A)− {R}).• Si B ⊆ A,A ∈ ((A)− {R}) y A /∈ ((B)− {S}).• Si A  B y B  A,B ∈ ((B)− {S}) y B /∈ ((A)− {R}).En cualquiera de los 3 casos anteriores(A)− {R} = (B)− {S}, luego B /∈ Im(ϕB) y m(ϕA) ∩ Im(ϕB) = ∅.Teorema. Si |X| = n, 3(3n−1 − 2n + 1) ≤ |NCI(X)|.Demostracio´n.|+⋃A∈(X)∗∗∗Im(ϕA)| ≤ |NCI(X)| ⇐⇒∣∣∣∣∣∑A∈(X)∗∗∗Im(ϕA)∣∣∣∣∣ ≤ |NCI(X)|⇐⇒ ∑A∈(X)∗∗∗(2|A| − 2) ≤ |NCI(X)|.∑A∈(X)∗∗∗(2|A| − 2) n−1∑k=2(nk) (2k − 2) =n∑k=0(nk) (2k − 2)+ 1− 2n + 2 =n∑k=0(nk)2k1n−k −n2∑k=0(nk)1k1k − 2n + 3 =3n − 22n − 2n + 3 = 3(3n−1 − 2n + 1).489Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaLuego 3(3n−1 − 2n + 1) ≤ |NCI(X)|.Ahora trabajaremos con los hiperconjuntos de H(A)Sea A ∈ (X) definimos la siguiente funcio´n:φA : H(A)∗∗ → NCI(X)R → H(A)− {R}1. φA es inyectiva.Sean B1, B2 ∈ H(A), B1 = B2, entonces φA(B1) = φA(B2), as´iH(A)− {B1} = H(A)− {B2}luego existe B2 ∈ H(A)− {B1} ∧B2 /∈ H(A)− {B2}.2. Im(φA) ⊆ NCI(X), luego |ImφA| = |H(A)∗∗| = 2|X|−|A| − 23.+⋃A∈(X)∗∗∗Im(φA) ⊆ NCI(X)Si A = B entoncesIm(φA) ∩ Im(φB) = ∅para todo R1 ∈ A y para todo R2 ∈ B tenemos H(A) − {R1} =H(B)− {R2}Teorema. 1. Si |X| = n, 6(3n−1 − 2n + 1) ≤ |NCI(X)|.2. Si |X| = n, |CI(X)| ≤ 22n − 6(3n−1 − 2n + 1)Demostracio´n.490Colecciones Cerradas para Intervalos1.|+⋃A∈(X)∗∗∗Im(φA)| ≤ |NCI(X)|⇐⇒∣∣∣∣∣∑A∈(X)∗∗∗Im(φA)∣∣∣∣∣ ≤ |NCI(X)|⇐⇒ ∑A∈(X)∗∗∗(2n−|A| − 2) ≤ |NCI(X)|.∑A∈(X)∗∗∗(2n−|A| − 2)=∑A∈(X)∗∗∗2n−|A| − ∑A∈(X)∗∗∗2=n−2∑k=1(nk)2n−k − 2 |(X)∗∗∗ |=n∑k=0(nk)2n−k − 2n − 2n− 1− 2(2n − 2− n)= 3n − 32n + 3 = 3(3n−1 − 2n + 1).Como+⋃A∈(X)∗∗∗Im(φA)+∪+⋃A∈(X)∗∗∗Im(ϕA) , entonces 6(3n−1− 2n + 1) ≤|NCI(X)| y por complemento se cumple la parte 2.El siguiente resultado permite encontrar una cota inferior para el car-dinal de CI(X).Proposicio´n.n∑k=0(2(nk) − 1)≤ |CI(X)|Demostracio´n.(k(X))∗ ⊆ CI(X), 0 ≤ k ≤ nn⋃k=0(k(X))∗ ⊆ CI(X) y la unio´n es disyuntaen te´rminos de cardinal tenemos:n∑k=0|(k(X))∗| =n∑k=0(2|(k(X))| − 1) = n∑k=0(2(nk) − 1)≤ |CI(X)| .491Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´tica1.4 Menor Coleccio´n cerrada para intervalos que con-tiene a una coleccio´n.Debido a que no todas las colecciones sobre un conjunto X son cerradas paraintervalos se estudiara´ el siguiente problema:Dada una coleccio´n de conjuntos encontrar la menor coleccio´n cerrada paraintervalos que contenga a dicha coleccio´n.Proposicio´n.Sea A ∈ 2(X)La coleccio´n ∩{B ∈ CI(x) : A ⊆ B} es cerrada para intervalos,Es decir:∩{B ∈ CI(X) : A ⊆ B} es la menor coleccio´n de CI(X) que contiene a A.Definicio´n.Sea A ∈ 2(X). Se define , la coleccio´n generada por A como:< A >= ∩{B ∈ CI(X) : A ⊆ B}Ejemplos.1. El generado de una coleccio´n cerrada para intervalos es ella misma.< A >= A si A ∈ CI(X).2. Sea X = {1, 2, 3, 4}3. A = {{1, 2}, {2}, {1, 2, 3, 4}}4. < A >= {{2}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 3, 4}}.Proposicio´n.Si (A,⊆) tiene ma´ximo y mı´nimo entonces < A >= [A,B] , donde A =max(A), B = min(A)Demostracio´n.⊆) Para cada S ∈ A, A ⊆ S ⊆ B, luego S ∈ [A,B], entonces A ⊆ [A,B] yaplicando el operador generado en cada miembro de la contenencia anteriorse obtiene < A >⊆< [A,B] >= [A,B].492Colecciones Cerradas para Intervalos⊇ La coleccio´n < A > es cerrada para intervalos y contiene a A , luego siA,B ∈ A, entonces A,B ∈< A >, Para cada P ∈ [A,B], se tiene A ⊆ P ⊆ Bas´i P ∈< A > y [A,B] ⊆< A >.Proposicio´n.La funcio´n<>: 2(X) → CI(X)A → ∩{B ∈ CI(X) : A ⊆ B}satisface las siguientes propiedades:1. < ∅ >= ∅Demostracio´n.∅ ∈ {B ∈ CI(X) : ∅ ⊆ B} =⇒ ∩{B ∈ CI(X) : ∅ ⊆ B} ⊆ ∅. < ∅ >⊆∅.2. < (X) >= (X)Demostracio´n.< (X) >= ∩{B ∈ CI(X) : (X) ⊆ B} = ∩{(X)} = (X)3. A ⊆< A >Demostracio´n.Para CadaB ∈ {D ∈ CI(X) : A ⊆ D},A ⊆ B as´i que ∩{B ∈ CI(X) :A ⊆ B}4. La funcio´n <> es un morfismo de conjuntos ordenados.Es decir, A ⊆ B =⇒< A >⊆Como: A ⊆ B,{D ∈ CI(X) : A ⊆ D} ⊇ {D ∈ CI(X)|B⊆ D}∩{D ∈ CI(X) : A ⊆ D} ⊇ ∩{D ∈ CI(X)|B⊆ D}< A >⊆5. < A > ∪ ⊆< A∪B>493Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaDemostracio´n.A ⊆ A∪B=⇒< A >⊆< A∪B>B⊆ A∪B=⇒⊆< A∪B>< A > ∪ ⊆< A ∪B >6. << A >>=< A >Demostracio´n.A ⊆< A >=⇒< A >⊆<< A >>⊇) por propiedad No. 3< A >⊆<< A >>⊆ como < A >∈ {B ∈ CI(X) :< A >⊆ B}∩{B∈ CI(X) :< A >⊆B} ⊆< A >=⇒<< A >>⊆< A >7. < A ∩B >⊆< A > ∩ A ∩B ⊆ A =⇒ < A ∩B >⊆< A >,A∩B ⊆ B =⇒ < A ∩B >⊆=⇒ < A ∩B >⊆< A > ∩ 8. Los puntos fijos de <> son las colecciones cerradas para intervalos.< A >= A ⇐⇒ A ∈ CI(X)< A >= A =⇒ A ∈ CI(X)A ∈ CI(X) =⇒ A ∈ {calB ∈ CI(X)/A ⊆ B}=⇒ ∩{B ∈ CI(X) : A ⊆ calB} ⊆ A=⇒ < A >⊆ A=⇒ < A >= A9.⋃i∈I〈Ai〉 ⊂.〈⋃i∈IAi〉Ai ⊆⋃i∈IAi =⇒ 〈Ai〉 ⊆〈⋃i∈IAi〉⊆ Ai para todo i=⇒ ⋃i∈I〈Ai〉 ⊂.〈⋃i∈IAi〉.494Colecciones Cerradas para IntervalosProposicio´n.< A >= {[A,B] : A,B ∈ A}Demostracio´n.⊆) Como [D,D] = {D}, Claramente A ⊆ {[A,B] : A,B ∈ A}.Sea D ∈< A >Si D ∈ A, D ∈ {[A,B] : A,B ∈ A}Si D ∈< A > −A, existen A,B ∈ A tal que A ⊆ D ⊆ B, luegoD ∈ ∪{[A,B] : A,B ∈ A}.⊇)D ∈ {[A,B] : A,B ∈ A}, existen A,B ∈ A tal que D ∈ [A,B], luegoA,B ∈< A > y A ⊆ D ⊆ B, como < A > es cerrada para intervalosD ∈< A > .Nota.Si X es un conjunto finito y A es una coleccio´n , entonces:para todo A ∈ A existen D ∈ Max(A) y B ∈ min(A) tal que B ⊆ A ⊆ D.Teorema. Sea X un conjunto finito y A ∈ 2(X), entonces:< A >= {[A,B] : A ∈ min(A) y B ∈ max(A)}Demostracio´n.⊇) Como min(A) ∪ma´x(A) ⊆ A,{[A,B] : A ∈ min(A) ∧ B ∈ ma´x(A)} ⊆ {[A,B] : A,B ∈ A}, luego∪{[A,B] : A ∈ min(A), B ∈ ma´x(A)} ⊆ ∪{[A,B] : A,B ∈ A} =< A >.⊆ Sea D ∈< A >, existeA,B ∈ A tal que D ∈ [A,B] y A ⊆ D ⊆ Bpara B ∈ A, existe M ∈ Ma´x(A) tal que B ⊆ M y para A ∈ A, existem ∈ m ⊆ n(A) talque m ⊆ A, luego m⊆ A ⊆ D ⊆ B ⊆ M as´i m ⊆ D ⊆ My D ∈ [m,M ] por lo tanto D ∈ {[A,B] : A ∈ min(A) ∧B ∈ ma´x(A)}.1.4.1 Fibras de funcio´n generado.En este apartado se caracterizan para un conjunto finito, todas las preima-gines de una coleccio´n cerrada para intervalos, bajo la funcio´n generado.Proposicio´n.ma´x(B) ∪min(B) = m1. B es el ma´ximo de la fibra495Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaDemostracio´n.Si A ∈ F<>(B) entonces B =< A >⊇ A, as´ı que A ⊆ B.2. < max(B) ∪min(B) >= B.Demostracio´n.⊆)max(B) ∪min(B) ⊆ Bluego < max(B) ∪min(B) >⊆< B ≥ B⊇) Si B ∈ B, como X es finito, B tiene suficientes maximales y mi-nimales. Luego existen P ∈ min (B), Q ∈ max(B) tal que P ⊆ B ⊆Qas ⊆ B ∈ [P,Q] y B ∈ ∪{[P,Q]|P ∈ min(B), Q ∈ max(B)} y como< max(B)∪min(B) >= ∪{[P,Q]|P,Q ∈ (max(B)∪min(B))}, enton-ces B ∈< max(B) ∪min(B) >.3. min(B) ∪max(B) es el mi´nimo de la fibra.Demostracio´n.Sea A un elemento de la fibra de B por la funcio´n generado. Luego:{[P,Q]|P ∈ minA ∧Q ∈ max(A)} =BSupongamos quemin(B)∪mx(B)  A, esto es existeM ∈ max(B) ⊆By M /∈ A,M ∈< A > por lo tanto existe P ∈ min(A) y Q ∈ max(A)tal que:P ⊆ M ⊆ Q,Q /∈B porque M ∈ max(B), de esta forma Q /∈< A >entonces Q /∈ A, esto contradice que Q ∈ max(A) ⊆ A.4. La fibra de una coleccio´n B cerrada para intervalos por la funcio´ngenerado es la familia de colecciones que esta´n entre min(B) ∪ max(B)y B. En s´imbolos:F <> (B) = [(minB ∪maxB),B].= {C|minB ∪maxB ⊆ C ⊆ B}496Colecciones Cerradas para IntervalosBB2(X) CI(X)max(B) ∪min(B)F<>(B)Bibliograf´ıa[1] DAVEY Y PRIESTLEY. Introduction to Latices and order. CambridgeUniversity Press. 1994[2] EISENBERG MURRAY. Axiomatic Theory of sets and classes. Holt,Rinehar and Winston. INC.1971[3] FERNA´NDEZ P. Y SARMIENTO E. Colecciones cerradas para subcon-juntos. Cursillo Coloquio Distrital de Matema´ticas. Diciembre de 2000U.P.N.[4] GRAVER, J & WATKINS, M. Combinatories with emphasis on theTheory of Graphs. Springer Verlag. 1977[5] MUN˜OZ J. Introduccio´n a la Teor´ia de Conjuntos. U. N. 1993[6] PINZON, A. Conjuntos y Estructuras. Harla. 1973[7] RUIZ C.J. Teor´ia de la Adjuncio´n. Trabajo de an˜o Saba´tico. U.N. 1989[8] SARMIENTO EDILBERTO. Colecciones cerradas para complemento.Memorias encuentro de Geometr´ia Junio de 2000 U.P.N497

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