El objetivo de esta conferencia es presentar tres resultados clásicos de la teoría aditiva de números, dos de ellos demostrados por el gran Leonard Euler y el tercero por Lagrange. Junto con algunas consecuencias elementales

Ávila, Oscary

Funes

EL DESCENSO INFINITO Y LAREPRESENTACIO´N DE ENTEROS COMOSUMA DE CUADRADOS: UNA VISIO´NELEMENTAL1Oscary A´vila Herna´ndezUniversidad Industrial de SantanderBucaramanga, Colombiaoavilahe@matematicas.uis.edu.coResumenEl objetivo de esta conferencia es presentar tres resultados cla´sicos de la teor´ıaaditiva de nu´meros, dos de ellos demostrados por el gran Leonard Euler y eltercero por Lagrangre. Junto con algunas consecuencias elementales.1. Introduccio´nEn un art´ıculo de The Mathematical Intelligencer (1998) el matema´tico ingle´s David Wellspropuso la idea de escoger el ma´s bello teorema entre 24, el resultado aparecio´ 2 an˜os ma´starde. En la decisio´n de los matema´ticos pudo inﬂuir el hecho de que algunos enunciadosson ma´s mencionados que otros. Algunos ejemplos:El conjunto de los nu´meros primos es inﬁnito.eiπ + 1 = 0No existe un nu´mero racional cuyo cuadrado es igual a 2.Hay 5 poliedros regulares.π es trascendente.Fo´rmula de Euler para poliedros: V − A + C = 2Dentro del grupo de los 24 teoremas se encuentra un resultado enunciado por Fermat ydemostrado por Leonard Euler alrededor del an˜o 1746.“ Todo primo de la forma 4n + 1 es la suma de 2 cuadrados de forma u´nica”El teorema de pita´goras aﬁrma que si a,b, c son las longitudes de los lados de un tria´ngulorecta´ngulo, siendo c la longitud de la hipotenusa entonces:a2 + b2 = c2. (1)1A mi maestra y consejera, Mar´ıa Antonia CardozoMemorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaSi quisie´ramos caracterizar todas los tria´ngulos recta´ngulos de lados enteros, el problemaconsistira´ en hallar todas las triplas (a, b, c) de la ecuacio´n (1).Este teorema es uno de los primeros resultados que conciernen a la representacio´n deenteros como suma de cuadrados; es fa´cil ver que (3k, 4k, 5k) con k ∈ N es solucio´nde (1). La siguiente pregunta a resolver ser´ıa como hallar todas las triplas pitago´ricas yse puede demostrar que:a = m2 − n2, b = 2mn, c = m2 + n2 con (m,n) = 1determinan todas las ternas pitago´ricas, por ahora lamentablemente este resultado no esuno de los objetivos de la charla.2. Suma de cuadradosComo primeras veriﬁcaciones notemos que:2 = 12 + 123 = 12 + 12 + 124 = 225 = 22 + 126 = 22 + 12 + 127 = 22 + 12 + 12 + 12...Y 7 no es suma de menos de cuatro cuadrados. Uno de los objetivos de esta seccio´n esmostrar que Cada entero positivo se puede representar como la suma de cuatro cuadradosperfectos( Lagrangre )2.1. El descenso infinito de fermatEl me´todo del descenso inﬁnito nos permite aﬁrmar que ecuaciones diofa´nticas no poseensoluciones enteras positivas o bajo ciertas condiciones nos permite hallar todas las solu-ciones de ciertas ecuaciones. Dada una ecuacio´n con coeﬁcientes enterosf(x1, x2, . . . , xn) = 0, si el conjunto de soluciones de f es distinto de vac´ıo, entoncesesta ecuacio´n en cierto sentido tendra´ una solucio´n “minima” (a1, a2, . . . , an) ∈ A siendoA el conjunto solucio´n de la ecuacio´n. Esto signiﬁca que podemos construir una funcio´nΔ : A → N y que esta solucio´n cumple que el mı´nimo nu´mero en el recorrido de Δes Δ(a1, a2, . . . , an). La idea consiste en construir a partir de (a1, a2, . . . , an) otra solu-cio´n entera que en cierto sentido sea menor que la anterior, lo cual es claramente unacontradiccio´n.Teorema 1 (Euler). Sea p un nu´mero primo. La ecuacio´nx2 + y2 = p,admite una solucio´n entera (x, y) si solo si P ≡ 1(mod 4)482El descenso infinito y la representacio´n de enteros. . .Demostracio´n. Como 2 = 1+1, supongamos que p > 2. Si la ecuacio´n x2+y2 = p admiteaun solucio´n entera (x, y), entonces alguno de los dos nu´meros tiene que ser par. Comocada cuadrado perfecto es congruente con 0 mo´dulo 4 o con 1mod 4 (si el numero esimpar) luego la anterior ecuacio´n implica que P ≡ 1(mod 4).Sea P ≡ 1(mod 4), primero se tendra´ que probar que existe una solucio´n (x, y) de laecuacio´n x2 + y2 ≡ 0(mod p) con p que no divide a x.Y posteriormente aplicar Me´todo del Descenso Infinito.Teorema 2 (Lagrange). Cada entero positivo se puede expresar como la suma de cuatrocuadrados perfectos.Demostracio´n. Sera´ suﬁciente probar que la ecuacio´nx21 + x22 + x23 + x24 = padmite una solucio´n entera x1, x2, x3, x4 para cada primo p > 2.Corolario 1.Sea n ∈ Z+ . La ecuacio´nx2 + y2 = nadmite una solucio´n (x, y) entera si y solo si cada nu´mero primo p ≡ 3(mod 4) que dividea n aparece a una potencia par en la factorizacio´n de n en factores primos.Teorema 3 (Unicidad de Euler). Sea un primo P = c2 + d2, si q > 1 conpq = a2 + b2, (a, b) = 1, entonces q es la suma de dos enteros cuadrados relativamenteprimos.2.2. Consecuencias elementalesProposicio´n 1. Todo primo de la forma 4m + 1 posee representacio´n u´nica como sumade cuadrados.Proposicio´n 2. Ningu´n entero de la forma 4n(8k+7) puede ser expresado como la sumade tres cuadrados.Agradecimientos.Agradezco al Doctor Florian Luca del Instituto de Matema´ticas Unam-Moreliapor la bibliograf´ıa recomendada.Y a los estudiantes Edwin Flo´rez Go´mez y CarlosAlberto Cardozo Delgado (Universidad Nacional de Colombia, Bogota´)por las valiosas TEX-sugerencias e indicaciones proporcionadas.483Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaBibliograf´ıa[1] APOSTOL, T., Introduccio´n a la teor´ıa anal´ıtica de nu´meros, Editorial Reverte1984.[2] BAKER, A., Breve introduccio´n a la Teor´ıa de Nu´meros. Alianza Editorial 1986.[3] ERDO¨S, P.; SURANYI, J., Topics in the Theory of Numbers. Undergraduate Textsin Mathematics. Springer 2003.[4] LUCA, F. Ecuaciones Diofantinas. Memorias de la Escuela de Verano dematema´ticas, Morelia-Me´xico. 27 al 31 de agosto de 2001.[5] SANTOS, J, Introduc¸a˜o a` Teoria dos Nu´meros. Publicac¸a˜o: IMPA, 2000.[6] SHANKS, D., Solved and Unsolved Problems in Number Theory. CHELSEA Pu-blishing company, 1978484

El descenso infinito y la representación de enteros como suma de cuadrados: una visión elemental

http://funes.uniandes.edu.co/9014/1/Descenso2006Avila.pdf

El descenso infinito y la representación de enteros como suma de cuadrados: una visión elemental

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Funes