En este documento se presentan algunas sucesiones convergentes, obtenidas mediante la iteración de una función superpuesta sobre sí misma. “Es necesario saber la matemática elemental desde un punto de vista superior y enseñar la matemática superior desde un punto de vista elemental

Montoya, Octavio

Funes

FUNCIONES SUPERPUESTASOctavio MontoyaProfesor Universidad del TolimaIbague´, Colombiaoctaviomontoya1963@yahoo.esResumenEn este documento se presentan algunas sucesiones convergentes, obtenidas me-diante la iteracio´n de un funcio´n superpuesta sobre si misma.“Es necesario saber la matema´tica elemental desde un punto de vista superiory ensen˜ar la matema´tica superior desde un punto de vista elemental”1. Introduccio´nLa actividad mas frecuente en las clases de matema´ticas es la de resolver problemas queesta´n bien formulados y que de ante mano se conocen una o varias alternativas(caminos)para llegar a la solucio´n, que con antelacio´n se conoce. ¿Sera´ que es posible construirun problema y crear alternativas de solucio´n en el aula de clase?. Por supuesto que si.Posiblemente no seamos capaces de crear grandes problemas en matema´ticas, pero sipodemos divertirnos un poco, creando problemas sencillos utilizando la calculadora oalgunos conceptos en matema´tica. Por ejemplo, el lector puede verificar utilizando lacalculadora o utilizando argumentos matema´ticos las siguientes identidades:3√33√33√33√33√3...= 3√2√2√2√2√2...= 2√√√√1 +√1 +√1 +√1 +√1 + . . . =1 +√52√√√√2 +√2 +√2 +√2 +√2 + . . . = 2log 14(log 14(log 14(log 14(. . . log 1412))). . .)=12Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´tica∀a > 0 : log 1a2(log 1a2(log 1a2(log 1a2(. . . log 1a21a))). . .)=12. . . tan tan tan tan tan 2 = 0. . . sen sen sen sen senx = 0∀x ∈ R : . . . cos cos cos cos cosx = 0,999847741 . . .Como se puede observar, la idea es tomar una funcio´n f(x) y tratar de encontrar unnumero real x0 tal que f(x0) = x0. Esto permite entonces construir la identidad(sucesio´n). . . fffffff(x0) = x0.En te´rminos generales el problema se reduce al siguiente interrogante: ¿Dada una funcio´nreal f , la sucesio´n . . . fffffff(x) converge para algu´n numero real x0?Lo anterior no constituye un simple juego, si no tambie´n el descubrimiento de grandesresultados histo´ricos de la matema´tica. Por ejemplo la identidad√√√√2 +√2 +√2 +√2 +√2 + . . . = 2fue clave en la construccio´n hecha por Francoise Vie´te del numero irracional π en 1593.En este documento haremos un ana´lisis detallado de algunas de las identidades anteriores,su posible generalizacio´n y por supuesto estudiaremos las identidades de π en te´rminosde radicales superpuestos.Proposicio´n. La expresio´n:√2√2√2√2√2...= 2es convergente?Daremos respuesta a este interrogante pausadamente as´ı:PASO 1. Formula de recurrencia para la expresio´n anterior. La siguiente es la sucesio´nque genera la expresio´nx1 =√2, xn =√2xn−1PASO 2. La sucesio´n es creciente.Es evidente que xn es positiva. Verifiquemos por induccio´n matema´tica que xn es creciente.Es evidente que x1 < x2Supongamos que xn < xn+1. Verifiquemos que xn+1 < xn+2.Es evidente que x < y → √2x < √2y (ya que la funcio´n y = ax, con a > 1 es creciente).248Funciones superpuestasLuego xn+1 =√2xn<√2xn+1= xn+2.Por tanto xn+1 < xn+1.PASO 3. xn es una sucesio´n acotada por 2. Verifiquemos por induccio´n matema´tica.x1 < 2. Supongamos que xn < 2. Verifiquemos que xn+1 < 2.xn+1 =√2xn<√22= 2Es decir xn+1 < 2. Por tanto la sucesio´n xn esta acotada por 2.PASO 4. xn es convergente a 2.Como xn es una sucesio´n creciente y acotada entonces es convergente.Mostremos que l´ımn→∞ xn = 2.l´ımn→∞xn = l´ımn→∞√2xn−1=√2l´ımn→∞ xn−1Es evidente que l´ımn→∞ xn = l´ımn→∞ xn−1. Supongamos quel´ımn→∞xn = l´ımn→∞xn−1 = xTenemos entonces que: x =√2x. Ahorax =√2n → lnx = x ln√2→ lnx1/x = ln 21/2 → x1/x = 21/2Lo anterior muestra evidentemente que x = 2.Conclusio´n:√2√2√2√2√2...= 2Observacio´n. Se puede verificar fa´cilmente y en forma ana´loga que:3√33√33√33√33√3...= 3Proposicio´n. Sea a > 1.a√aa√a a√aa√a a√a...es convergente.?PASO 1. Formula de recurrencia.La sucesio´n generadora de la expresio´n anterior es:x1 =a√a xn =a√axn−1PASO 2. La sucesio´n xn es creciente si a > 1.Verifiquemos por induccio´n matema´tica.249Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticax1 < x2. Supongamos que xn < xn+1. Mostremos que xn+1 < xn+2.xn+1 =a√axn< a√axn+1 = xn+2Puesto que a > 1→ a√a > 1 y la funcio´n y = ax es creciente.PASO 3. La sucesio´n xn es acotada por a cuando a > 1.Es evidente que x1 < a. Supongamos que xn < a. Mostremos que xn+1 < a.En efecto, xn+1 = a√axn < a√aa= a. Por tanto xn es acotada por a cuando a > 1.PASO 4. xn converge a a.Es evidente que xn es convergente.Si l´ımn→∞ xn+1 = l´ımn→ xn+1 = l entonces l = a√al. Luego l1/l = a1/a. Por tanto l = a.Conclusio´n.a√aa√aa√a a√aa√a...= asi a > 1.Observacio´n. Si 0 < a ≤ 1 la identidad anterior tambie´n se cumple.(Ejercicio para ellector) De otro lado, si a < 0 la sucesio´na√aa√a a√aa√a a√a...es divergente.2. Hacia la formula de Vie´teEl objetivo de los siguientes propblemas es el de construir la formula de Vie´te1 para elcalculo de numero irracional π.Proposicio´n. √√√√1 +√1 +√1 +√1 +√1 + . . .es convergente?1Francoise Vie´te (Fontenay-le Comte, Paises de Loira 1540 - Par´ıs 1603) Matema´tico y pol´ıtico france´s.Fijo´ las normas de la trigonometr´ıa y establecio´ las bases del a´lgebra moderna. Adopto´ el me´todo gen-eral de Arqu´ımedes de pol´ıgonos inscritos en una circunferencia, pero comenzando con un cuadrado yutilizando el a´rea en lugar del per´ımetro. A partir de la relacio´n entre el a´rea de un pol´ıgono de n ladosy el de 2n lados, obtuvo el llamado “propducto de Vie´te”o “Fo´rmula de Vie´te”publicado en 1593:2π=√12√12+12√12√√√√12+12√12+12√12. . .250Funciones superpuestasPASO 1. Formula de recurrencia.rn =√1 + rn−1, r1 =√1PASO 2. rn es una sucesio´n creciente.Es evidente que r2 > r1. Supongamos que rn > rn−1. Mostremos que rn+1 > rn.En efecto,rn+1 =√1 + rn >√1 + rn−1 = rnLuego rn+1 > rnEsto indica que rn es una sucesio´n creciente.PASO 3. La sucesio´n rn esta acotada por 2.Es evidente que r1 < 2. Supongamos que rn < 2. Mostremos que rn+1 < 2.En efecto,rn+1 =√1 + rn <√1 + 2 =√2 < 2Por tanto, la sucesio´n rn esta acotada por 2.PASO 4. La sucesio´n rn converge a1 +√52.Por los pasos anteriores tenemos que rn es convergente.Supongamos que l´ımn→∞ rn = l´ımn→∞ rn+1 = r.Como rn =√1 + rn−1 entonces r =√1 + r. Luego r =1 +√52(Aqu´ı la solucio´n1−√52no tiene sentido).Conclusio´n √√√√1 +√1 +√1 +√1 +√1 + . . . =1 +√52Curiosidad:1 +√52es el llamado numero a´ureo o cantidad de oro.Observacio´n. En forma ana´loga, el lector puede mostrar fa´cilmente que:√√√√2 +√2 +√2 +√2 +√2 + . . . = 2Proposicio´n. Sea a > 0. √√√√a +√a +√a +√a +√a+ . . .es convergente?251Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaPASO 1. Formula de recurrencia:t1 =√a, tn =√a + tn−1 ∀n ∈ NPASO 2. tn es una sucesio´n creciente.Es evidente que t2 > t1. Supongamos que tn > tn−1. Veamos que tn+1 > tn.En efecto,tn+1 =√a + tn >√a + tn−1 = tnLuego tn+1 > tn. Por tanto tn es creciente.PASO 3. tn es acotada por a + 1. Verificacio´n por induccio´n matema´tica.Mostremos que t1 =√a < a+ 1.En efecto,a−√a + 1 =(a−√a + 14)+34=(a− 12)2+34> 0Luego a−√a + 1 > 0. De donde √a < a+ 1.Por tanto t1 =√a < a+ 1.Supongamos que tn < a+ 1. Mostremos que tn+1 < a+ 1. Sabemos que:a2 + 1 > 1→ a2 + 2a + 1 > 1 + 2a→ (a + 1)2 > 1 + 2a → a + 1 > √1 + 2a, ∀a > 0Ahoratn+1 =√a + tn <√a + a+ 1 =√1 + 2a < a+ 1Por tanto tn+1 < a + 1.PASO 4. tn converge a1 +√1 + 4a2.Por los pasos anteriores es evidente que tn es convergente. Por analog´ıa con los propblemasanteriores tenemos que x =√a + x, dondex = l´ımn→∞tn = l´ımn→∞tn−1La ecuacio´n x =√a+ x tiene como solucio´nx =1 +√1 + 4a2(la solucio´n x = 1−√1+4a2no tiene sentido).Conclusio´n. √√√√a+√a +√a+√a +√a + . . . =1 +√1 + 4a2252Funciones superpuestas2.1. Formula de Vie´teLa formula de Vie´te es:2π=√12√12+12√12√√√√12+12√12+12√12. . .donde aparecen expresiones radicales semejantes a las anteriormente estudiadas.Comentario: Hay otras formulas para el calculo de π2Proposicio´n. Transformar la expresio´n√12√12+12√12√√√√12+12√12+12√12. . .en otra de la forma √√√√2 +√2 +√2 +√2 +√2 + . . .Se puede mostrar fa´cilmente que√12y√12+12√12Por lo anterior, parece ser que la “suma parcial”de la primera es la mitad de la segunda,es decir:Teorema. Sean a1 =√2, an√2 + an−1, A1√12y An =√12+12An−1. Se cumple queAn =an2, para cualquier nu´mero natural.Induccio´n matema´tica. . Es evidente que A1 =a12. Supongamos que An =an2. Verifique-mos que An+1 =an+12.An+1 =√12+12An =√12+12an2=12√2 + an2Leibniz, Jhon Wallis y otros encontraron expresiones de π en forma relativaente sencilla, como sumasinfinitas, propductos infinitos, etc. Wallis (1616 - 1703), por ejemplo, encontro´ la expresio´n:2π=∞∏k=1(2k − 1)(2k + 1)(2k)(2k).253Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaComo an+1 =√2 + an entonces an = a2n+1 − 2. LuegoAn+1 =12√2 + a2n+1 − 2Luego An =an2. Por tanto An =an2para todo nu´mero natural n.Conclusio´n2π= A1A2A3 . . . =a12a22a3a2. . .Luego2π=a1a2a3 . . .2 · 2 · 2 · . . .De dondeπ = l´ımn→∞2n+1a1a2 . . . anProposicio´n. ¿Como llegar a la expresio´n√12√12+12√12√√√√12+12√12+12√12. . .?Sabemos que el origen histo´rico del numero π esta asociado con la geometr´ıa. En estaseccio´n presentaremos un camino geome´trico para llegar a esta identidad.Calculemos los lados y semiperimetros de un cuadrado, un octo´gono, etc. Inscritos en uncirculo de radio 1.Sea Ln y Pn el lado y el semiperimetro respectivamente, del pol´ıgono regular de n ladosinscrito en el circulo de radio 1.Es evidente que L4 =√2 y P4 = 2√2 y que L8 = 4√2−√2.Teorema.L2n =√2−√4− L2n, n = 4, 8, 16, . . . , 2k+1, . . . , k = 1, 2, 3, . . .Demostracio´n. Verifiquemos por induccio´n matema´tica. Para n = 4 ya verificamos. Supon-gamos que L2n =√2−√4− L2n. Mostremos que L4n =√2−√4− L22n.Sea la figura254Funciones superpuestas1 1L2nxFigura 1.1 1L4nx2Figura 2.Aplicando ley del coseno en el tria´ngulo de la figura 1 y la hipo´tesis tenemos que:L22n = 2− 2 cos x = 2−√4− L2nentoncescosx =4− L2n2Utilizando identidad de a´ngulo medio y el resultado anterior tenemos que:cos2x2=12+14√4− L2nAplicando ley del coseno en el tria´ngulo de la figura 2 y utilizando el resultado anteriortenemos que:L24n = 2− 2 cosx2= 2− 2√12+14√4− L2n = 2−√2 +√4− L2nComo √4− L2n = 2− L22nentoncesL4n =√2−√4− L22nReordenando los semiperimetros tenemos que:P1 = 2√2P2 = 4√2−√2P3 = 8√2−√2 +√2...255Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaPn = 2n√√√√2−√2 +√2 +√2 +√nveces = 2n√2− an−1donde a1 =√2, an =√2 + an−1Comentario: Lc longitud de la circunferencia = 2π(radio 1). Luego π =Lc2(semiper´ıme-tro). Esto indica que:π = l´ımn→∞Pn = l´ımn→∞2n√√√√2−√2 +√2 +√2 +√nveces¿La sucesio´n de Vie´te2n+1a1a2 . . . andonde a=√2, an =√2 + an−1, sera´ igual a la sucesio´nPn = 2n√√√√2−√2 +√2 +√2 +√n veces?Teorema. Sea a=√2, an =√2 + an−1 y P1 = 2√2, Pn = 2n√2− an−1. Se cumple que:Pn =2n+1a1a2 . . . anDemostracio´n. Verificacio´n por induccio´n matema´tica. Para n = 1 se cumple.Supongamos que Pn = 2n√2− an−1 =2n+1a1a2 . . . an.Mostremos que: Pn+1 = 2n+1√2− an =2n+2a1a2 . . . anan+1.En efecto,2n+1√2− an =2n+1√2− an(√2 + anan+1)ya que an+1 =√2 + an=2n+1√4− a2nan+1=2n+1√4− (2 + an−1)an+1ya que a2n = 2 + an−1=2n+12− an−1an+1=2 · 2n+1a1a2...anan+1=2n+2a1a2 . . . anan+1256Funciones superpuestasConclusio´n:π = l´ımn→∞2n√√√√2−√2 +√2 +√2 +√n veces= l´ımn→∞2n+1√2√2 +√2√2 +√2 +√2 . . . n vecesProposicio´n. an√a−√a+√a +√a+√n veces ∀a > 0 es convergente?.Formula de recurrencia xn = an√a− yn donde y1 = √a y yn = √a+ yn−1.Por un propblema anterior sabemos que yn converge a1 +√1 + 4a2Luegol´ımn→∞√a− yn =√a− 1 +√1 + 4a2¿√a− 1 +√1 + 4a2es un numero real?Es necesario que √a− 1 +√1 + 4a2≤ 0Sea x =√1 + 4a. Es evidente que x > 0 ya que a > 0.Luego a =x2 − 14. De dondex2 − 14− 1 + x2≤ 0Luego(x− 3)(x + 1) ≤ 0Como x + 1 > 0 entonces x ≥ 3. Es decir √1 + 4a ≥ 3. Por tanto a ≥ 2.Esto nos indica que√a− yn converge a√a− 1 +√1 + 4a2, cuando a ≥ 2.Analicemos ahora la expresio´n xn = an√a− yn.Si a ≥ 2 entonces an diverge cuando n →∞. Si√a− 1 +√1 + 4a2	= 0257Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaentonces xn diverge cuando n →∞.Luego para que xn sea convergente es necesario que√a− 1 +√1 + 4a2= 0Es decir que a = 2. En efecto, xn converge a π.Proposicio´n.3√6 +3√6 + 3√6 + . . . es convergente?PASO 1 Formula de recurrencia.a1 =3√6, an =3√6 + an−1PASO 2 an es creciente en (0, 2].En efecto, an−1 − 2 < 0 en (0, 2] y a2n−1 + an−1 + 3 > 0. Luego(an−1 − 2)(a2n−1 + 2an−1 + 3) < 0si an−1 ∈ (0, 2]. Entoncesa3n−1 − an−1 − 6 < 0si an−1 ∈ (0, 2]. Luego3√6 + an−1 > an−1Es decir an > an−1.Por tanto la sucesio´n an es creciente en (0, 2].PASO 3. an es acotada superiormente por 2.Prueba (Induccio´n matema´tica) Tenemos que a1 =3√6 < 2. Supongamos que an < 2.Mostremos que an+1 < 2.an+1 =3√6 + an <3√6 + 2 = 2Por tanto an+1 < 2PASO 4. an es convergente a 2.Es evidente que an es convergente.Seax = l´ımn→∞an = l´ımn→∞an−1Luego x = 3√6 + x, de dondex3 − x− 3 = 0Es decir x = 2. (Las dema´s soluciones son complejas)Conclusio´n:3√6 +3√6 +3√6 . . . = 2258Funciones superpuestasProposicio´n.3√a+ 3√a+ 3√a . . . es convergente?Ejercicio para el lector.Con los modelos presentados en este documento, el lector puede construir identidadesana´logas.Bibliograf´ıa[1] PERALTA, F., Una incursio´n en los nu´meros irracionales y algunas ideas para obtenerapropximaciones de los mismos. Universidad Auto´noma de Madrid, 1996.[2] POLYA, G., Co´mo plantear y resolver propblemas. Trillas, Me´xico, 1986.[3] Revista Suma No. 45. Revista sobre la ensen˜anza y el aprendizaje de las matema´ticas.Madrid, febrero del 2004.259

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