Se presenta una propuesta de enseñanza-aprendizaje alrededor de la geometría fractal, por medio de actividades que permiten el estudio de los fractales a partir de un proceso iterativo. El documento muestra en el primer apartado la noción de fractal, seguido de la construcción de fractales clásicos y por ´ultimo algunas conclusiones

Orjuela, Claudia Patricia

Páez, Jorge Edgar

Rojas, Clara Emilse

Funes

CONTEO Y FRACTALESClaudia Patricia Orjuela Osorio Clara Emilse Rojas MoralesProfesora Universidad Pedago´gica Nacional Profesora Universidad Pedago´gica NacionalBogota´ D.C, Colombia Bogota´ D.C, Colombiacporjuela@pedagogica.edu.co. crojas@pedagogica.edu.co.Jorge Edgar Pa´ez Ortego´nProfesor Universidad Pedago´gica NacionalBogota´ D.C, Colombiajopaez@pedagogica.edu.co.ResumenSe presenta una propuesta de ensen˜anza - aprendizaje alrededor de la geometr´ıafractal1, por medio de actividades que permiten el estudio de los fractales a partirde un proceso iterativo. El documento muestra en el primer apartado la nocio´nde fractal, seguido de la construccio´n de fractales cla´sicos y por u´ltimo algunasconclusiones.Con la introduccio´n de los fractales como objeto de estudio, en particular en el aula per-miten la exploracio´n e investigacio´n con reglas y estructuras matema´ticas muy sencillaspero con resultados de complejidad y belleza extraordinarias. De manera similar se de-sarrollan procesos de induccio´n, generalizacio´n, elaboracio´n y verificacio´n de conjeturas,entre otros.En primera instancia se intentara´ dar solucio´n a la pregunta que aunque obvia pero nofa´cil de responder, que´ es un fractal, retomando un poco de su recorrido histo´rico, suscaracter´ısticas fundamentales y su posible trabajo en el aula de clase.¿Que´ es un fractal?La idea de fractal, concebida por Mandelbrot (1977), es el punto de partida para eldesarrollo de la geometr´ıa fractal en el u´ltimo cuarto de siglo XX, y representa un conceptoque ha permitido hablar de una geometr´ıa de la naturaleza, para hacer ma´s explicita laafirmacio´n anterior nos permitimos tomar como referencia las primeras palabras del libroFractals Everywhere de Michael F. Barnsley: “la geometr´ıa fractal cambiara´ a fondo suvisio´n de las cosas, seguir leyendo es peligroso, se arriesga a perder definitivamente laimagen inofensiva que se tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas,montan˜as, tapices, y de muchas otras cosas. Jama´s volvera´ a recuperar las interpretacionesde todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares”.1Geometr´ıa fractal, llamada tambie´n “geometr´ıa de la naturaleza”, es un conjunto de estructuras irreg-ulares y complejas descritas a trave´s de algoritmos matema´ticos y computaciones, los cuales reemplazan alos puntos, rectas, circunferencias y dema´s figuras provenientes de la matema´tica tradicional..Mandelbrot(1977).Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaSe entiende la Geometr´ıa Fractal, como un a´rea de investigacio´n reciente en matema´ticascuyo desarrollo se ha visto acelerado gracias a sus inmensas aplicaciones en diferentescampos de la ciencia y la tecnolog´ıa. Es un nuevo lenguaje, ya que los puntos, rectas,esferas, elipses y dema´s objetos de la geometr´ıa tradicional son reemplazados por algo-ritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, cao´ticos ydina´micos.Para representar algunos fractales gra´ficamente, basta encontrar la ley de recursividadentre las formas que se repiten, es decir, mostrando el objeto inicial y la ley de formacio´n,estableciendo el algoritmo que lo genera. La curva que se obtiene cuando se repite esteproceso indefinidamente se llama fractal. De esta manera vale la pena aclarar, que losfractales son objetos matema´ticos, por tanto lo que usualmente se conoce como fractal essolamente un paso finito de su iteracio´n.Es sorprendente que actualmente hay en uso diferentes definiciones de fractal, donde cadauna de e´stas tiene como base las siguientes dos nociones: autosemejanza y dimensio´n noentera. En este trabajo se asumira´ e´stas dos caracter´ısticas para definir un objeto fractal.Ser autosemejante significa que si teniendo un objeto, sus partes guardan una semejanzacon el todo, prologa´ndose la semejanza con las partes de las partes y as´ı sucesivamentehasta el infinito, es decir, los fractales son objetos que son invariantes en su forma indepen-diente de la escala que se este manejando. Para ser ma´s explicita la afirmacio´n anterior, sedara´ un ejemplo, si se observa dos fotograf´ıas de un objeto fractal con escalas diferentes(una en cent´ımetros y otra en mil´ımetros) sin nada que sirva de referencia para ver cuales el taman˜o, no se podr´ıa decir cual de las ampliaciones es mayor o si son distintas; loselementos que aparecen vuelven a tener la misma forma independientemente de cual seael nu´mero de veces de ampliacio´n o reduccio´n que se utiliza.Veamos algunos ejemplos (Figura 1), en los cuales se vea reflejada la autosemejanza.Figura 1.En cualquiera de las ima´genes anteriores cuando se comienza a “sumergirse”dentro deesos objetos siempre va a encontrar exactamente la misma estructura geome´trica, sindistorsiones, es decir, objetos en los cuales los detalles ma´s pequen˜os que lo componentienen alguna relacio´n con sus propiedades globales, repitie´ndose tales detalles de una420Conteo y fractalesmanera infinita. Sin embargo, no toda figura autosemejante es un fractal, es necesario quesu dimensio´n sea no entera.Antes de que surgiera la geometr´ıa fractal se pensaba que todos los objetos existentes enla naturaleza ten´ıan una, dos o tres dimensiones, es decir, se pod´ıan representar dentrode una l´ınea, en el plano o en el espacio. De hecho las magnitudes existentes refuerzanesto, longitud para figuras unidimensionales, el a´rea para figuras bidimensionales, o elvolumen para figuras tridimensionales. A partir del surgimiento de la geometr´ıa fractalse ha reconocido la existencia de figuras con dimensiones distintas de 1, 2 o 3, a lo quese llamo´ dimensio´n no entera, es decir, objetos geome´tricos que pod´ıan habitar entre lal´ınea y el plano; o entre el plano y el espacio.Las actividades que se presentan a continuacio´n, se disen˜aron como un primer acercamien-to a los fractales con el fin que el alumno conozca acerca de algunos fractales cla´sicos: con-junto de Cantor y Curva de Koch. La manera de construirlos sera´ a partir de actividadesen las cuales los estudiantes establezcan la ley de formacio´n, los patrones geome´tricos ynume´ricos determinados a partir de la observacio´n y elaboracio´n de sus propias conjeturas,que posteriormente son validadas.Fractales cla´sicosObjetivo:Fomentar un aprendizaje participativo, es decir, que los estudiantes indaguen,representen gra´ficamente el fractal en cada paso, realicen el conteo en la figuragenerada consigna´ndolo en tablas, encuentren una expresio´n que generalice apartir del seguimiento de algoritmos y por u´ltimo que intuyan y conjeturen loque sucede al iterar infinitamente el proceso y puedan sacar conclusiones encada fractal. En esta sesio´n tambie´n se estudiara´ el algoritmo para construirotros fractales cla´sicos como tria´ngulo de Sierpinski, Curva de Koch, entreotros.Fractales geome´tricos cla´sicosDurante los siglos XIX y XX fueron creados todos los fractales cla´sicos y fueron tachadosde monstruos geome´tricos por algunos famosos matema´ticos de la e´poca como Poincare´.A la larga, alentaron la bu´squeda rigurosa de conceptos como infinito, curva continua odimensio´n.El Conjunto de CantorEs uno de los fractales ma´s antiguos, toma su nombre de Georg Cantor que en 1883 loutilizo´ como herramienta de investigacio´n para una de sus principales preocupaciones: elcontinuo matema´tico.Se parte del intervalo [0, 1], se divide en tres partes congruentes, y se quita el tercio central.Quedando dos intervalos cerrados de longitud 1/3. Ahora, con estos dos intervalos se repiteel proceso: cada uno de ellos se divide en tres partes congruentes y se quitan los segmentoscentrales (Figura 2 ).421Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaFigura 2.Completa la tabla: ¿Cua´nto suman las longitudes de los segmentos generados en las nLongitud# de iteracio´n # de segmentos Fraccio´n Total de segmentos0 1 1 11 2132× 132 4194× 193456............nn→∞Tabla 1. Conteo en Conjunto de Cantorprimeras etapas? Despue´s de infinitos pasos obtendremos el subconjunto de los nu´merosreales que denominamos conjunto de Cantor o polvo de Cantor. Calculemos cua´l es lalongitud final de los segmentos eliminados sucesivamente:13+29+427+ · · · =Al llevar el proceso al infinito se tiene un conjunto no numerable de puntos. La dimensio´ndel conjunto de Cantor es aproximadamente 0,63.El tria´ngulo de Sierpinski:El matema´tico polaco Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Se parte de un tria´nguloequila´tero. Se divide en cuatro tria´ngulos congruentes, uniendo los puntos medios de loslados. De estos cuatro tria´ngulos, se elimina el tria´ngulo central (Figura 3), resultandotres tria´ngulos a escala 1/2 del original. Se continu´a el mismo proceso con los tria´ngulosque quedan.422Conteo y fractalesFigura 3.# de # de Longitud A´rea de A´rea de A´reaiteracio´n elementos del lado Per´ımetro cada elemento la figura eliminada0 1 1 3√34√3401 31292√383√38√382 9142743 2718818.....................n (3)n(12)n3(3)n(12)nn→∞Tabla 2. Conteo en SierpinskiCompleta la tablaAl repetir el proceso indefinidamente se obtiene una figura con per´ımetro infinito y sua´rea tiende a cero.La dimensio´n es mayor que 1, es decir, es algo ma´s que un conjunto de segmentos que nollegan a ser un plano.La alfombra de SierpinskiSu creador al igual que el caso anterior fue Sierpinski. Se parte de un cuadrado unidady se divide en nueve cuadrados ide´nticos eliminando el central (Figura 4). Repitiendo elproceso en cada iteracio´n.Figura 4.423Memorias XVI encuentro de geometr´ıa y IV de aritme´ticaCompleta la tabla:# de # de Longitud A´rea de A´rea de A´reaiteracio´n elementos del lado Per´ımetro cada elemento la figura eliminada0 1 1 4 1 1 01 8 1/323.....................nn→∞Tabla 3. Conteo en alfombra de SierpinskiLa alfombra de Sierpinski es tan porosa que su superficie es nula, esto no parece sorpren-dente, al menos hasta que se calcula su per´ımetro, que resulta ser infinitoFigura 5.Su creador Von Koch matema´tico sueco, en 1904. Se partede un tria´ngulo equila´tero de lado unidad. Cada lado se di-vide en tres partes congruentes de longitud 1/3. Se sustituyeel segmento central por dos segmentos de taman˜o ide´nti-co formando un pico (Figura 5). La iteracio´n indefinida nosproporciona la isla de Koch o copo de nieve.Completa la tabla:# de iteracio´n # de lados Longitud del lado Per´ımetro A´rea de la figura0123...............nn→∞Tabla 4. Conteo en Isla de KochLa isla de Von Koch ocupa una regio´n limitada del espacio, un a´rea finita y su per´ımetroes infinito.Si se toma un trozo cualquiera de dicha figura, se observa que e´sta figura no es estricta-mente autosemejante a la figura total, pues si tomamos un trozo de la isla no tenemos laisla entera.424Conteo y fractalesPara pasar el tiempo1. La curva de Kock es una curva continua en todos sus puntos pero no derivable enninguno.a) Describe el algoritmo de construccio´nb) Determina el per´ımetro y a´rea de e´ste fractal.Figura 6.ConclusionesEl trabajo con los fractales, permite reconocer que las propiedades ba´sicas de los fractalesy utilizarlos para el trabajo pra´ctico en el aula, en la cual el papel mediador del docentees primordial, pues es, quien decide el grado de profundizacio´n que considere oportuno,tanto en el conocimiento de los fractales como en el nivel de estudio de los elementosconceptuales vistos en clase.Algunos to´picos que se pueden dar para la exploracio´n y discusio´n en la clase son ellenguaje asociado con los fractales y su construccio´n, al describir la regla de formacio´no ley de recursividad, e indagar sobre la relacio´n entre las partes que se obtienen y elnu´mero de iteraciones.As´ı mismo, los fractales solo existen en su estado infinito, pero en la pra´ctica nos con-formamos con visualizarlos en alguna etapa finita de su construccio´n. A partir de lasrepresentaciones obtenidas en el taller, se desarrollan conceptos matema´ticos y geome´tri-cos propios del curr´ıculo de matema´ticas.Bibliograf´ıa[1] OTTO, H.; JURGENS, H., Fractals for the classroom, strategic activities. Vol. 1.New York: Springer Verlag, 1991.[2] VERA, S., “Geometr´ıa Fractal y Geometr´ıa Euclidiana”. En: Educacio´n y pedagog´ıa.No.35. Vol.XV. (enero-abril), 2003. pp.85-91.425

Conteo y fractales

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