A continuación se presenta cómo la geometría de las funciones primitivas permite evidenciar los comportamientos periódicos y establecer relaciones de tipo genealógico entre períodos relacionados por el Teorema de Sharkovskii, resultado fundamental en sistemas dinámicos discretos y, de manera particular, en la dinámica minimal

Acosta, Primitivo

Martínez, Eduardo

Funes

Martínez, E. y Acosta-Humánez, P. (2011). Un enfoque geométrico del Teorema de Sharkovskii. En P. Perry (Ed.), Memorias del 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones (pp. 77-84). Bogotá, Colombia: Univer-sidad Pedagógica Nacional. UN ENFOQUE GEOMÉTRICO DEL TEOREMA DE SHARKOVSKII Eduardo Martínez y Primitivo Acosta-Humánez Universidad Sergio Arboleda Oscare.martinez@correo.usa.edu.co, primi@ima.usergioarboleda.edu.co A continuación se presenta cómo la geometría de las funciones primitivas per-mite evidenciar los comportamientos periódicos y establecer relaciones de tipo genealógico entre períodos relacionados por el Teorema de Sharkovskii, resul-tado fundamental en sistemas dinámicos discretos y, de manera particular, en la dinámica minimal. 1. PRELIMINARES La dinámica combinatoria encuentra su génesis en el artículo “Co-existencia de ciclos de transformaciones continuas en un intervalo” de Oleksandr Mi-kailovich Sharkovskii. Esta rama de los sistemas dinámicos estudia las rela-ciones algebraicas y combinatorias de funciones de ¡ en ¡ con dinámica min-imal. En este contexto, las permutaciones pueden ser utilizadas para describir órbitas minimales (primarias). Por tal razón para el estudio de la dinámica combinatoria se requieren algunas definiciones del álgebra y de los sistemas dinámicos. 1.1 Sobre sistemas dinámicos Para comprender la dinámica minimal es necesario establecer previamente las definiciones de órbita, punto fijo, punto periódico y, a manera de noción, el caos (ver Devaney, 2003; Alseda, Llibre y Misiurewicz, 2005). Definición 1.1.1. (Órbita): La órbita de x  es el conjunto de puntos , ( ),x f x  2( ),f x … y se denota como )(xO+ . Si f  es un homeomorfismo, definimos la órbita de ),(, xOx  como el conjunto de puntos )(xnf  para În ¢, y la órbita ha-cia atrás de ),(, xOx -  como el conjunto de puntos ),(2),(1, xfxfx -- …. Definición 1.1.2. (Punto fijo y periódico): El punto x  se dice fijo para f  si xxf =)( , es periódico de período n  si xxnf =)( . El menor entero positivo n  que cumpla esta igualdad se denomina período primo  de x . El conjunto de puntos 78  periódicos de período n  se denomina )(Per fn . El conjunto de todas las itera-ciones de un punto periódico forman una órbita periódica.   Por ejemplo, en la función 3)( xxf = , los puntos -1, 0 y 1 son puntos fijos. De manera similar, la función 12)( -= xxg  tiene puntos fijos en -1 y 1 los puntos 0 y -1 forman una órbita periódica de período 2. Si bien es cierto que el comportamiento caótico de una función se establece a través de transitividad topológica, dependencia sensible y densidad de sus puntos periódicos, los períodos de una función permiten entender también el comportamiento caótico de una función (este resultado se deriva del Teorema de Sharkovskii o del resultado encontrado por Li y Yorke sobre el período 3) (ver Block y Coppel, 1986). 1.2. Sobre álgebra y combinatoria Definición 1.2.1. (Permutaciones): Si X  es un conjunto no vacío, una per-mutación de X  es una biyección XX ®:a . Llamamos al conjunto de todas las permutaciones de X  como XS . Si { }nX ,...,2,1=  se acostumbra denotar al conjunto de permutaciones de X como nS . Definición 1.2.2. (Partición): Se define la partición de un  intervalo como el conjunto  { }1,...,1,1:1,P -="+<Î+= niixixixixn ¡ . Definición 1.2.2. Partición de un intervalo Estas definiciones son necesarias para establecer el conjunto de Permutaciones asociado a una función y el forzamiento entre conjuntos de permutaciones, concepto necesario para dar una interpretación algebraica al Teorema de Shar-kovskii. Definición 1.2.3. (Conjunto de permutaciones): El conjunto de permutaciones de una funció́n f , denotado por )(Perm f , está́ definido de la siguiente manera: Una permutació́n )(Perm fÎq  si y sólo si existe una partición nP  tal que )()( ixixf q= , donde nPixix Î)(, q . Es decir,  79   { }nixixixixff P)(,,)()(:)(Perm Î== qqq . Definición 1.2.3. Conjunto de permutaciones de f Definición (Forzamiento): Sean SnÎhq , , qP y  qP definidos como { qq :P f=  ( )}fPermÎ , ( ){ }gg Perm:P Î= hh . q  fuerza a (h q )h<  si y sólo si qh PP Ì . 2. DINÁMICA COMBINATORIA Un apartado importante de los sistemas dinámicos es aquel que corresponde al estudio del comportamiento caótico. Previamente establecimos la posibilidad de acercarnos a dicho comportamiento a través de órbitas periódicas. Veremos como el Teorema de Sharkovskii relaciona (fuerza) la existencia de órbitas periódicas y cómo estas pueden ser estudiadas a través de grafos de Markov y funciones primitivas. 2.1. Teorema de Sharkovskii En marzo de 1962 se publicó el artículo “Coexistence of cycles of a continu-ous map of the line into itself”. En este artículo Sharkovskii define una rela-ción de orden para los números enteros positivos ( )p  en la que 21 hh p  si la existencia de un ciclo de orden h1 implica la existencia de uno de orden 2h  (ver Sharkovskii, 1964; Stefan, 1977; Misiurewicz, 1995). Teorema 2.1.1. (Orden de Sharkovskii): La relación definida previamente ( )p   transforma el conjunto de los enteros positivos en un conjunto ordenado de la siguiente manera: 1222...2523...2523...119753 2322 ppppppppppppppp ´´´´ . Teorema 2.1.1. Orden de Sharkovskii Esto quiere decir que al encontrar un ciclo de orden n en una función, existen en ella ciclos de orden m , con mn p .  Los grafos de Markov son utilizados para estudiar la estructura de las órbitas periódicas. Estos describen a la órbita periódica a través de las relaciones exis-tentes entre las particiones que la definen y sus imagines (ver Bernhardt, 1984; Acosta-Humánez, 2008). 80  Definición 2.1.2. (Grafo de Markov). Sean Î+1, ixix ¡, 1...,,2,1 -= ni  tales que 1+< ixix , y )(Perm fÎq . El Grafo de Markov (también conocido como grafo dirigido) de f  y q  tiene 1-n  vértices 1, , ...,1 2 nJ J J - . Existirá una flecha de kJ a iJ si y sólo si [ ] [ ]( )1,1, +Í+ kxkxflxlx .  Si bien es cierto que el teorema de Sharkovskii establece la existencia de órbi-tas periódicas y garantiza la existencia de nuevos períodos a partir de períodos conocidos, no es tarea fácil encontrar funciones continuas de ¡ en ¡ con di-chos comportamientos (el lector puede tratar de encontrar una función conti-nua con un punto de período 10, por ejemplo). Las funciones primitivas per-miten encontrar ejemplos de funciones con comportamientos periódicos a par-tir de una órbita establecida. Su construcción está inspirada en las funciones que Sharkovskii utilizó para la demostración de su teorema. Definición 2.1.3. (Función Primitiva): Dada una permutación nSÎq  la función primitiva f  asociada está definida de la siguiente manera: ( ) ( ) ( );1 kkf q=   ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ;11112 +-+=+-+ ktktkttkf qq  ( ) ( ) ( ) ;1si,13 <= xxf q  ( ) ( ) ( ) .10y,...,1donde;si,4 ££=>= tnknxnxf q  Definición 2.1.3. Función primitiva f  asociada a f  2.2. Aplicación al análisis de órbitas A continuación aplicaremos los grafos de Markov y las funciones primitivas para interpretar el Teorema de Sharkovskii. Dada una permutación q , estable-ceremos su función primitiva y a través de ella su grafo de Markov (ver Acos-ta-Humánez y Martínez, sometido a consideración), para así poder evidenciar en ella el Teorema de Sharkovskii.  Ejemplo 2.2.1. Consideremos la permutación ÷÷øöççèæ=321546654321q . La función primitiva asociada f  es: 81  ( )ïïïïîïïïïíì³<£-<£+-<£+<£+-<=6si364si343si17432si221si821si6xxxxxxxxxxxf  Ejemplo 2.2.1. Función primitiva f  asociada a  ÷÷øöççèæ=321546654321q  Y su gráfica es:  Figura 1. Gráfica de función primitiva f  asociada a  ÷÷øöççèæ=321546654321q  Los intervalos para construir el Grafo de Markov de f  y q  son: [ ] 2,2,11 JJ =  [ ] [ ] [ ] [ ]6,55,5,44,4,33,3,2 ==== JJJ .Se puede ver que: ( ) ( )4,42 JfJJf =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,33,23,13,51,41,25,1 JJfJJfJJfJJfJJfJJfJ ÊÊÊÊÊ==( ) 43 JJf Ê .  Figura 2. Grafo de Markov asociado a  ÷÷øöççèæ=321546654321q   82  Gracias a estas representaciones es posible evidenciar, por ejemplo, la existen-cia de: un punto fijo en 3J , una órbita de segundo orden en 1J  y 4J  y una ór-bita de orden 4 en 2,5,1 JJJ  y 4J .  Ejemplo 2.2.2. Veremos a continuación un ejemplo en el que el grafo de Mar-kov y la función primitiva nos permitirán conocer comportamientos no con-templados en el teorema de Sharkovskii y encontrar que una función es caóti-ca. Consideremos la permutación ÷÷øöççèæ=14324321h . La función primitiva aso-ciada g  es: ( )ïïîïïíì³<£-<£+<=414331331112xsixsixxsixxsixg   Ejemplo 2.2.2. Función primitiva g asociada a   h =1 2 3 42 3 4 1æ è ç ö ø ÷  Y su gráfica es:  Figura 3. Función primitiva  g  asociada a ÷÷øöççèæ=14324321h  Los intervalos para construir el grafo de Markov de g  y h  son: [ ]2,11=J [ ] [ ] [ ]4,33,3,22,2,112, ==== JJJJ . Se puede ver que: ( ) ,1 2f J JÊ   ( )2 3f J J=  y ( ) 3213 JJJJf UU= . 83   Figura 4. Grafo de Markov asociado a ÷÷øöççèæ=14324321h  Gracias a estas representaciones es posible evidenciar la existencia de una ór-bita de orden 3 en 2,1 JJ y 3J . Si bien es cierto que el Teorema de Shar-kovskii permite afirmar a partir de h la existencia de órbitas de período 2 y 1, el grafo de Markov permitió hallar una órbita de período 3 y, por ende, la exis-tencia de órbitas de todos los períodos. REFERENCIAS Acosta-Humánez, P. (2008). Genealogía de permutaciones simples de orden una potencia de dos. Revista Colombiana de Matemáticas, 42(1), 1-13. Acosta-Humánez, P. y Martínez, E. Simple permutations with order 4n+2. (Sometido a consideración).  http://arxiv.org/abs/1012.2076 Alseda, Ll., Llibre, J. y Misiurewicz, M. (2005). Combinatorial dynamics and entropy in dimension one. Singapur: World Scientific Publishing. Bernhardt, C. (1984). Simple permutations with order a power of two. Ergodic Theory and Dynamic Systems, 2, 179-186. Block, L. y Coppel, W. (1986). Dynamic in one dimension. Nueva York, USA: Springer Verlag. Devaney, R. (2003). An introduction to chaotic dynamical systems. Colorado, USA: Westview Press. Misiurewicz, M. (1995). Thirty years after Sharkovskii’s theorem. En Ll. Alseda, J. Llibre, F. Balibrea y M. Misiurewicz (Eds.), Proceedings of the Conference “Thirty years af-ter Sharkovskii’s theorem: New perspectives”.  Singapur: World Scientific. Sharkovskii, A. (1964). Coexistence of cycles of a continuous map of the line into itself, Ukrain Math. Z, 16, 61-71. 84  Stefan, P. (1977). A theorem of Sharkovskii on the existence of periodic orbits of continu-ous endomorphisms of the real line. Communications in Mathematical Physics, 54, 237-248. 

Un enfoque geométrico del teorema de Sharkovskii

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Un enfoque geométrico del teorema de Sharkovskii

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