En un espacio euclídeo dos vectores de diferente origen son comparados por traslación paralela de uno o de ambos vectores a un mismo origen, por lo tanto podemos tratar encontrar cual es la tasa de cambio de un campo vectorial Y sobre alguna variedad M a lo largo de una curva p(t)

Huérfano, Stella

Meneses, Francisco

Funes

TRANSPORTE PARALELO, GEODE´SICASY DERIVADA COVARIANTEFrancisco Meneses Perdomo Stella Hue´rfanoEstudiante Universidad Nacional de Colombia Profesora Universidad Nacional de ColombiaBogota´ D.C, Colombia Bogota´ D.C, Colombiapacho6686@yahoo.com.mx rshuerfanob@unal.edu.coResumenEn un espacio eucl´ıdeo dos vectores de diferente origen son comparadospor traslacio´n paralela de uno o de ambos vectores a un mismo origen, porlo tanto podemos tratar encontrar cual es la taza de cambio de un campovectorial Y sobre alguna variedad M a lo largo de una curva p(t).11. Conceptos previosUna variedad topolo´gicaM de dimensio´n n es un espacio topolo´gico Hausdorﬀen el que todo punto tiene una vecindad abierta homeomorfa a una bola abiertaen Rn. Esto signiﬁca que M es localmente como Rn.Una carta (U, ϕ) de una variedad M es un conjunto abierto U de M , llamadoel dominio de la carta junto con un homeomorﬁsmo ϕ : U → V de U sobre unconjunto abierto V de Rn. Un atlas de clase C∞ sobre una variedad M es unconjunto {(Uα, ϕα)} de cartas tal que los dominios {Uα} cubren todo M y loshomeomorﬁsmos satisfacen la siguiente condicio´n de compatibilidad:ϕβ ◦ ϕ−1α : ϕα (Uα ∩ Uβ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ) ,donde las funciones ϕβ ◦ ϕ−1α , son funciones de conjuntos abiertos de Rn en Rnde clase C∞.1Este escrito hace parte del proyecto 1101-05-11-445 para colciencias del grupo de Teor´ıa deRepresentaciones del Departamento de Matema´ticas de la Universidad Nacional de ColombiaMemorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaϕβ ◦ ϕ−1αϕα ϕβUβUαRn RnGra´fica 1Una variedad topolo´gica M junto con un atlas de clase C∞ es una C∞ estructura,se dice que M es una variedad diferenciable de clase C∞.Dado un punto p en M deﬁnimos C∞(p), como el algebra de todas las funcionesC∞, cuyo dominio contiene alguna vecindad de p.El espacio tangente Tp(M) a M en p es el conjunto de todas las funcionesXp : C∞(p) → R, tal que para todo α, β ∈ R y f, g ∈ C∞(p) se satisface(i) Xp(αf + βg) = α(Xpf) + β(Xpg) (linealidad)(ii) Xp(fg) = (Xpf)g(p) + f(p)(Xpg) (regla de leibniz)Con las operaciones en Tp(M) deﬁnidas por(Xp + Yp)f = Xpf + Ypf ,(αXp)f = α(Xpf).Un vector tangente a M en p es cualquier Xp ∈ Tp(M). Ver(Gra´ﬁca 2).Un operador que satisface las propiedades (i) y (ii) se denomina una derivacio´n.Un campo vectorial es una funcio´n la cual asigna a cada punto p ∈ M un vectortangente Xp ∈ Tp(M).124Introduccio´n a la Homolog´ıapTp(M)MXpGra´fica 22. Diferenciacio´n de campos vectoriales a lolargo de curvas en Rn.Consideremos una situacio´n especial en la variedad de Riemann orientada, Rn.Se hara´ uso total del paralelismo natural in Rn, esto es, se hara´ uso de la identi-ﬁcacio´n natural del espacio tangente de Rn en puntos p distintos.Sea C una curva en Rn dada por x(t) = (x1(t), ..., xn(t)) con a < t < b. Supon-gamos que Z(t) = Zx(t) es un campo vectorial deﬁnido a lo largo de C ; as´ı a cadat ∈ (a, b) se le asigna un vector:Z(t) =∑ai(t)(∂/∂xi) ∈ Tx(t)(Rn). (1)Supongamos que Z es por lo menos de clase C1, esto signiﬁca que las compo-nentes ai(t) son funciones, en t, continuamente diferenciables sobre el intervalo(a, b). El vector velocidad de la curva (parametrizada) es un ejemplo de este tipode campo vectorial sobre la curva x(t), en el cual ai(t) = x˙i(t).El propo´sito es deﬁnir una derivada o taza de cambio de Z(t) con respecto a t;esta sera´ denotada Z˙(t) o dZ/dt y sera´ tambie´n un campo vectorial a lo largo de lacurva. Por supuesto, en general ni Z(t), ni su derivada necesitan ser tangentes a la125Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticacurva. Ahora como en Rn tenemos un paralelismo natural (o isomorﬁsmo natural)de Tp(Rn) y Tq(Rn) para cualquier par de puntos distintos p, q ∈ Rn, es posibledar signiﬁcado a Z(t0 + Δt) − Z(t0), la diferencia de un vector en Tx(t0+Δt)(Rn)y un vector en Tx(t0)(Rn). Para deﬁnir la diferencia anterior, se supondra´Z(t0 + Δt) movido o identiﬁcado con el correspondiente vector en Tx(t0)(Rn) yque la substraccio´n es realizada all´ı en Tx(t0)(Rn). Esto nos permite realizar elcociente diferencial1Δt[Z(t0 + Δt)− Z(t0)] =n∑i=1[ai(t0 + Δt)− ai(t0)Δt](∂∂xi)x(t0)x(t0)x(t0 + Δt)Z(t0)Z(t0 + Δt) ∈ Tx(t0)(Rn)Z(t0 + Δt) ∈ Tx(t0+Δt)(Rn)Z(t0 + Δt) − Z(t0)Gra´fica 3La igualdad se deduce del hecho de que si escribimos vectores en te´rminos de lasbases ∂∂x1, ..., ∂∂xn, el cual es un sistema de referencia de ejes paralelos en Tp(Rn),entonces los vectores en puntos distintos, digamos Z(t0 + Δt) ∈ Tx(t0+Δt)(Rn) yZ(t0) ∈ Tx(t0)(Rn), son paralelos s´ı y solo s´ı tienen las mismas componentes.Si Δt → 0 tenemosZ˙(t0) =∑a˙i(t0)(∂∂xi)∈ Tx(t)(Rn). (2)Como un ejemplo simple consideremos la curva x(t) = (cos t, sen t), esta curva esun circulo unitario en Rn. Supongamos Z(t) = − sen t(∂/∂x)+cos t(∂/∂y); el vec-tor velocidad de un punto en el circulo. EntoncesdZ/dt = − cos t(∂/∂x)− sen t(∂/∂y) es el vector en la curva x(t) = (cos t, sen t)que tiene longitud 1 y direccio´n hacia el origen.(Ver Graﬁca 4)126Introduccio´n a la Homolog´ıax(t) = (cos t sen t)Z(t)dZ(t)/dt(1,0)xyGra´fica 4Un campo vectorial Z(t) es constante o paralelo a lo largo de la curva x(t) siy solo si dZ/dt = 0 para todo t.Suponga que Z1(t) y Z2(t) son campos vectoriales deﬁnidos a lo largo de la mismacurva C y que f(t) es una funcio´n diferenciable de t, con a < t < b. Entoncesf(t)Z(t) y Z1(t) + Z2(t) son campos vectoriales a lo largo de C y tenemos lassiguientes consecuencias de (2).ddt(Z1(t) + Z2(t)) =dZ1dt+dZ2dt, (3)ddt(f(t)Z(t)) =dfdtZ(t) + f(t)dZ(t)dt, (4)ddt((Z1(t), (Z2(t)) =(dZ1dt, Z2(t))+(Z1(t),dZ2dt), (5)donde (Z1, Z2) es el producto interno esta´ndar en Rn.127Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaLa formula dada para dZ/dt esta en te´rminos de las componentes de Z(t) rela-tivas al sistema de referencia natural (∂/∂x1)p, . . . , (∂/∂xn)p en Tp(Rn), que esconstante a lo largo de p = x(t). Sin embargo a veces es conveniente usar otro sis-tema de referencia, digamos F1(t), . . . , Fn(t), deﬁnido sobre x(t), y por lo menosde clase C1 a lo largo de x(t). Entonces Z(t) tiene una expresio´n u´nica comocombinacio´n lineal de estos vectores en cada x(t):Z(t) = b1(t)F1(t) + . . . + bn(t)Fn(t).Diferenciando esta expresio´n obtenemos, con ayuda de (3) y (4)dZdt=n∑i=1(dbjdtFj(t) + bj(t)dFjdt).Sin embargo, como los dFj/dt son vectores a lo largo de x(t), ellos tambie´n soncombinacio´n lineal de Fk(t),dFjdt=n∑k=1akj (t)Fk(t).Lo que nos lleva a la formuladZdt=∑k(dbkdt+∑jbj(t)akj (t))Fk(t).Esta expresio´n incluye (2) como caso especial con akj (t) ≡ 0.Aunque hemos utilizado un sistema particular de coordenadas, dZ/dt es un objetoque solo depende de la geometr´ıa del espacio; es independiente de las coordenadas,y tambie´n esta bien deﬁnida para curvas parametrizadas en cualquier espacio eu-cl´ıdeo.Como ilustracio´n de estas ideas, podemos construir un sistema de coordenadas quecambie con el “tiempo”, notemos que la longitud de arco de una curva desde unpunto ﬁjo x0 = x(t0) es dada por s =∫ tt0(x˙(t), x˙(t))1/2, as´ı ds/dt = (x˙(t)), x˙(t))1/2.Si s es usado como para´metro , entonces ds/dt ≡ ds/ds ≡ 1 por lo tanto x˙(s) esun vector unitario tangente a la curva.128Introduccio´n a la Homolog´ıaDiferenciando la identidad (x˙(s), x˙(s))1/2 ≡ 1 y usando (5), obtenemos2(x˙(s), dx˙/ds) ≡ 0, luego dx˙/ds es cero, o es ortogonal a x˙(s) en cada punto de lacurva. Deﬁnimos la curvatura k(s) pork(s) =‖ dx˙/ds ‖, y cuando k(s) = 0, sea N(s) el u´nico vector unitario deﬁnido pordx˙/ds = k(s)N(s) y B(s) el u´nico vector unitario determinado tal quex˙(s), N(s), B(s) deﬁne un sistema ortonormal con la orientacio´n de ∂/∂x1, ∂/∂x2,∂/∂x3.x1x2x3dx˙/dsBNGra´fica 5Un teorema que resulta es, que la curvatura k(s) ≡ 0 sobre el intervalo de deﬁni-cio´n, si y solo si x(s) es una linea recta sobre ese intervalo. Ver([1], pa´g 302).3. Diferenciacio´n de campos vectoriales sobresubvariedades de RnEn la seccio´n anterior estudiamos diferenciacio´n de campos vectoriales a lo largode curvas. En esta seccio´n haremos lo mismo para campos vectoriales a lo largode otras subvariedades M ⊂ Rn, por ejemplo una superﬁcie en R3. Esto es algomas complicado y ciertamente no es la manera mas directa de aproximarse alproblema de la diferenciacio´n en variedades; pero el punto de vista geome´tricopodr´ıa ayudar. Ver(Gra´ﬁca 6).Consideremos un campo vectorial Z deﬁnido en cada punto de M pero no nece-sariamente tangente a M , es decir, a cada p ∈ M , se le asigna Zp ∈ Tp(Rn).Cuando Z es tal que Zp es tangente a M , Zp ∈ Tp(M) ⊂ Tp(Rn), entonces deci-129Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaTp(M)ZppMGra´fica 6mos que Z es un campo vectorial tangente a M .Sea Zp =∑nα=1 aα(p)(∂/∂xα)p, diremos que Z es de clase Cr si aα(p) ∈ Cr,sobre M para todo α = 1, . . . , n.Para p ∈ M , el producto interno esta´ndar de Tp(Rn) induce una me´trica deRiemann sobre su subespacio Tp(M). Esto nos permite descomponer cualquiervector Zp ∈ Tp(Rn), p ∈ M , de manera u´nica como Zp = Z ′p+Z ′′p con Z ′p ∈ Tp(M)y Z′′p ∈ T⊥p (M), donde T⊥p (M) es el complemento ortogonal de Tp(M). Seanπ′, π′′las correspondientes proyecciones: π′(Zp) = Z′p y π′′(Zp) = Z′′p ; π′, π′′son transformaciones de Tp(Rn) sobre los subespacios tangente Tp(M) y normalT⊥p (M) a M . La ﬁgura muestra esta descomposicio´n cuando M es una curva enRn.Supongamos que Z es un campo vectorial a lo largo de M de clase Cr, Entoncesπ′(Z) y π′′(Z) son tambie´n campos vectoriales que son tangente y normal a M ,esto ultimo, siempre y cuando π′(Z) y π′′(Z) resulten diferenciables. Ver([1])Retomando, Y es un campo vectorial tangente a M ⊂ Rn, si para cada p ∈ M ,Yp ∈ Tp(M), o equivalentemente π′(Y ) ≡ Y .Si p(t) es una curva sobre M de por lo menos clase C1, deﬁnida para algu´n in-tervalo de valores de t, entonces Y (t) = Yp(t) es un campo vectorial a lo largo130Introduccio´n a la Homolog´ıaZpTp(M )Z′pZ′′ppMGra´fica 7de la curva. Como tal, podemos ignorar a M y diferenciar Y (t) como un campovectorial a lo largo de una curva en Rn obteniendo dY /dt, otro campo vectorial alo largo de la curva en Rn. En general, dY /dt no es tangente a M , sin embargo, encada punto p(t) podemos proyectar dY /dt a un vector tangente π′(dY /dt) ∈ TM .La proyeccio´n π′(dY /dt) sera denotada DY /dt y sera llamada la derivada co-variante del campo vectorial tangente Y a M a lo largo de la curva p(t).Ahora, Y y DYdtson campos vectoriales tangentes, y por lo tanto ambos tieneninterpretacio´n para una variedad abstracta (M no necesariamente en Rn). Sinembargo, el proceso por el cual DYdtes obtenido desde Y y p(t) hace uso de in-mersiones de M en Rn.Supongamos que tenemos campos vectoriales Y1(t) y Y2(t) a lo largo de p(t)sobre M y que Y1(t) y Y2(t) son tangente a M , entonces tenemos las propiedadescorrespondientes a (3) (4) y (5), es decir, tambie´n se cumple queDdt(Y1 + Y2) =DY1dt+DY2dt, (6)Ddt(f(t)Y (t)) =dfdtY (t) + f(t)DYdt, (7)ddt(Y1, Y2) =(DY1dt, Y2)+(Y1,DY2dt). (8)131Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaLa u´ltima ecuacio´n tiene sentido, si se considera la me´trica de Riemann induci-da, es decir, el producto interno sobre Tp(M), en cada p ∈ M , inducido por elproducto interno in Tp(Rn).Dada M ⊂ Rn, sea Yp(t) un campo vectorial deﬁnido en cada punto de una curvap(t) en M , el cual, en cada punto es tangente a M , es decir Yp(t) ∈ Tp(t)(M), Yp(t)es un campo vectorial constante o paralelo si DYdt≡ 0. Mas generalmente si Yes un campo vectorial tangente sobre toda la variedad M , es constante o paraleloa M si tiene esta propiedad a lo largo de toda curva p(t) en M .Es importante notar que DY /dt puede ser ide´nticamente cero aunque dY /dt nolo sea, as´ı el campo vectorial Y puede ser considerado constante como campovectorial sobre una subvariedad M de Rn y no ser contante considerado comocampo vectorial a lo largo de la misma curva en Rn. Por ejemplo, sea M = S1,el circulo en R2, entonces t → (cos t, sen t) es la representacio´n parame´trica deM y M puede ser considerado como una curva en si misma. Sea Y (t) el vectorunitario tangente a esta curva, entonces tenemos que dY /dt es ortogonal a Y (t),es decir, es normal M ; por lo tanto DY /dt ≡ 0, aunque dY /dt nunca es cero enTR2 como campo vectorial. En el caso en el cual M es todo Rn, entoncesDdt(dpdt)=ddt(dpdt).4. Curvas Geode´sicasLa curva parametrizada p(t) se dice que es una geode´sica si su vector velocidades constante, esto es, si se satisface la condicio´n (D/dt)(dp/dt) = 0. Como vimosantes (pa´g 6, pa´rrafo 1), cuando M = Rn con la me´trica usual, esto implica quela curva es una linea recta.El para´metro de una geode´sica no es arbitrario; El hecho que una curva seauna geode´sica depende de su forma y de su parametrizacio´n, como vemos enel siguiente ejemplo de una linea recta en R2 descrita por la parametrizacio´np(t) = (t3, t3); en este casodpdt= 3t2∂∂x1+ 3t2∂∂x2.132Introduccio´n a la Homolog´ıaComo D/dt = d/dt en R2, tenemosDdt(dpdt)= 6t∂∂x1+ 6t∂∂x2= 0.Esta curva p(t) no es una geode´sica aunque es una recta. Ver([1])Otro ejemplo de geode´sica es el siguiente: Como cualquier circulo ma´ximo sobrela esfera S2 ⊂ R3 es congruente al circulo ma´ximo t → p(t) = (cos t, sen t, 0),vemos que el vector unitario tangente a cualquier circulo ma´ximo, parametrizadopor longitud de arco, tiene la misma propiedad:DYdt=Ddt(dpdt)≡ 0.As´ı las geode´sicas son aquellas curvas para las cuales en algu´n sentido se generalizael concepto de linea recta, aunque ellas pueden no ser l´ıneas rectas.Bibliograf´ıa[1] William M. Boothby, An introduction To Diﬀerentiable Manifolds and Rie-mannian Geometry, Academic Press, 1986.[2] Bernard Schutz Geometrical Methods of Mathematical Physics, CambridgeUniversity Press, 1999.[3] N. Prakash, Diﬀerential Geometry, McGraw-Hill, 1993.[4] Y. Choquet-Bruhat, C. Dewitt-Morette, M. Dillard-Bleick, Analysis, Mani-folds and Physics, Elseiver Science Publisher B.V, 1989.[5] M. Nakahara, Geomety, Topology, and Physics, Institude of Physics Publish-ing, 1990.133

Transporte paralelo, geodésicas y derivada covariante

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