Edward W. Piotrowski

Polish

Research Papers in Economics

    
 
 
 
Problemy z paradoksem Astumiana 
       (RePEc:sla:eakjkl:121PL RePEc:sla:eakjkl:121PL RePEc:sla:eakjkl:121PL RePEc:sla:eakjkl:121PL 30 30 30 30- - - -VIII VIII VIII VIII- - - -2004 2004 2004 2004) 
Edward W. Piotrowski
1 
          
 
 
Streszczenie 
Czy wybierając losowo spośród gier niesprzyjających możemy oczekiwać sukcesu? 
Poznajemy przykłady gier, w których odpowiedź na to pytanie jest twierdząca. Warto je 
rozumieć i studiować, modyfikując naszą wiedzę w wielu dyscyplinach. Nieoswojeni z 
tym paradoksem skazujemy się na straty przez zaniechanie świadomego jego wykorzy-
stania. 
 
 
Przegrać, aby zwyciężyć, czyli o dobrych stronach naszych upadków.
2 
No one rises so high as he who knows not whither he goes.
3 
 
1. Gry Parrondo 
W formującej się u końca minionego stulecia ekonofizyce – nowej 
dyscyplinie, zajmującej się rozszerzeniem zakresu metod badawczych 
fizyki na obszar zjawisk społecznych
4 – pojawił się intrygujący przykład 
losowego składania dwóch procesów, z osobna wykazujących niepożąda-
ną tendencję, które jednak łącznie przynoszą statystycznie korzystny 
efekt. Ten, sprzeczny z przysłowiowym zdrowym rozsądkiem model gry, 
wyposażony w mechanizm zapadkowy, zaproponował Juan M. R. Par-
                                                       
1 Instytut Matematyki, Uniwersytet w Białymstoku; http://alpha.uwb.edu.pl/ep/sj. 
2 temat rekolekcji adwentowych, głoszonych przez o. M. Mogielskiego OP w 2003 roku w Parafii 
św. Dominika, Archidiecezja Warszawska. 
3 znana opinia Olivera Cromwella. 
4 ujednolicenie metody badań naukowych [Pio04] przybliża nas do identyfikacji jednocześnie 
uniwersalnych i fundamentalnych praw rządzących naszym bytem (zob. np. [Żur03]).  
2 
rondo z Universidad Complutense de Madrid, a spopularyzował swoimi 
referatami i artykułami australijski fizyk Derek Abbott, zob. np. [HA99]. 
Wieść o zaskakującej własności gier Parrondo wzbudziła duże zaintere-
sowanie [Bal99,Cie00]. Warto tu wspomnieć ciekawe rozważania w The 
New York Times [Bla00], przeplatane opiniami Abbotta. Sugerują one 
m.in., że za przyczyną efektu Parrondo prezydent Clinton w trakcie afery 
z Moniką S. Lewinsky (gra A) dzięki przyznaniu się do kłamstwa (gra B) 
zyskał na popularności. Wydaje się, że taki schemat budowania porządku 
z chaosu może leżeć u podstaw wielu fascynujących zjawisk, począwszy 
od molekularnych silników i pomp, identyfikowanych przez biofizyków 
we wszystkich żywych komórkach [Astu01], po skuteczne zarządzanie 
funduszami kapitałowymi
5. Bez wątpienia występujący w grach Parrondo 
mechanizm zapadkowy, charakterystyczny dla niektórych złożonych 
losowo ruchów Browna, staje się fascynującym przedmiotem badań, które 
inspirują nowe technologie i podpowiadają sposoby zachowań o niespo-
dziewanej skuteczności.  
Prześledźmy szczegółowo, na czym polega paradoks gry Parrondo. 
Jeżeli przyjąć, że w każdej z gier porażka oznacza utratę przez gracza 
kwoty  1€ i symbolem  n ;,  2 , 1 , 0 = n , oznaczyć wartość sumarycznej 
wygranej gracza modulo 3, to oryginalną wersję gry Parrondo opisują 
następujące reguły: 
•  gra A: z prawdopodobieństwem  ε − 2
1   gracz otrzymuje 1€. 
•  gra B: gdy kapitał gracza jest  0 ;  to z prawdopodobieństwem 
ε − 10
1   gracz otrzymuje 1€, w przeciwnym razie z prawdopodo-
bieństwem  ε − 4
3  wygrywa 1€. 
                                                       
5 Sergei Maslov z Brookhaven National Laboratory wykazał,  że gry Parrondo mogą dotyczyć 
rynków finansowych [MZ98].  
3 
•  gra A+B: z równym prawdopodobieństwem
6 gracz uczestniczy w 
grze A, bądź w grze B. 
gdzie  ] , 0 ( 10
1 ∈ ε . Sekwencja takich rozgrywek jest skończonym  łańcu-
chem Markowa bez stanów pochłaniających [Ios88]. Możemy ją postrze-
gać jako błądzenie po grafie zorientowanym, w którym wagi krawędzi są 
prawdopodobieństwami przejść pomiędzy odpowiednimi wierzchołkami. 
 
 
 
Macierze przejść dla gier A, B i A+B są następujące: 
,
0
0
0
: ,
0
0
0
:
4
3
10
9
4
1
10
1
4
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1










− +
+ −
− +
=










− +
+ −
− +
=
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
B A M M  
.
0
0
0
) (
2
1
:
8
5
10
7
8
3
10
3
8
5
8
3










− +
+ −
− +
= + =
+
ε ε
ε ε
ε ε
B A B A M M M  
Łatwo jest obliczyć punkty stałe odpowiednich odwzorowań liniowych, 
które wynoszą kolejno: 
                                                       
6 ta losowość wyboru pomiędzy A i B jest nieodzowna w grach Parrondo. Np. koszykówka jako 
gra złożona z rozgrywek z rzutami za 2 punkty (gra A) i za 3 punkty (gra B) grą Parrondo nie jest 
(przy zbliżonych umiejętnościach koszykarzy gry  A i  B są niekorzystne), gdyż decyzje zawodni-
ków dotyczące rodzaju oddanego rzutu są nieprzypadkowe.  
4 
), 1 , 1 , 1 ( : 3
1 =
A fix  
), 80 12 78 , 80 12 26 , 80 40 65 ( :
2 2 2
240 16 169
1
2 ε ε ε ε ε ε
ε ε + + + + + − =
+ −
B fix  
). 320 24 284 , 320 24 180 , 320 80 245 ( :
2 2 2
960 32 709
1
2 ε ε ε ε ε ε
ε ε + + + + + − =
+ −
+ B A fix  
Powyższe wektory pozwalają nam wyznaczyć prawdopodobieństwa 
wygrania 1€ po dostatecznie dużej liczbie rozgrywek, gdy zanika zależ-
ność wygranej od warunków początkowych. Prawdopodobieństwa te, 
zadane formułą  ∑ = + =
2
0 ; ; , 1 ; ) (
k k k k win fix M p , są równe odpowiednio:  
ε − = 2
1 A
win p ,  2
3 2
240 16 169
240 24 147
2
1
ε ε
ε ε ε
+ −
+ − − =
B
win p ,  2
3 2
960 32 709
960 48 687 9
2
1
ε ε
ε ε ε
+ −
− + − + + =
B A
win p . 
Tak więc choć gry A i B są niekorzystne ( 2
1 , < ∀
B
win
A
win p p ε ), to gra A+B 
dla  ) ( 0131 , 0 ) 2197 11220483 60 2 ( 0 3 2197 11220483 60
3431 3
120
1 , ≈ − − + ∈
− ε  
jest korzystna ( 2
1 >
+ B A
win p ) i to jest paradoksalne. 
Odwracając w powyższym modelu kierunek cyrkulacji kapitału 
otrzymamy przykład efektu anty-Parrondo. Mieszanie gier może równie 
dobrze przynosić pozytywne, jak i negatywne skutki. 
 
2. Gra Astumiana  
W opublikowanym w Świecie Nauki przeglądowym artykule o współ-
czesnych badaniach stosowanych dotyczących mechanizmu stochastycz-
nej zapadki [Astu01] R. Dean Astumian zaproponował prosty, charakte-
ryzujący się stanami pochłaniającymi, wariant gry Parrondo. Zakłada on 
konkretną postać stanu początkowego, a jego stany pochłaniające zadają 
naturalne warunki zakończenia gry. W przykładzie Astumiana (patrz 
poniższy rysunek) błądzenie rozpoczyna się od węzła nr 3 grafu pięcio-
wierzchołkowego, a kończy w węźle nr 1 (przegrana), bądź w węźle nr 5 
(wygrana).  
5 
 
Probabilistyczne własności tej gry wyznaczają cztery parametry stano-
wiące odpowiednie elementy macierzy przejść:  
3
1
3 , 2 2 , 1 ) ( ) ( = = =
B A M M a ,  7
5
3 , 2 2 , 1 ) ( ) ( = = =
A B M M b , 
3
2
3 , 4 4 , 5 ) ( ) ( = = =
B A M M c ,  7
2
3 , 4 4 , 5 ) ( ) ( = = =
A B M M d . 
 
3. Problemy  
Analiza powyższego przykładu Astumiana pozwala zauważyć, że nie 
pojawia się tu (wbrew intencji pomysłodawcy) paradoks Parrondo, gdyż 
we wszystkich trzech grach (A, B i A+B) prawdopodobieństwo porażki 
przewyższa prawdopodobieństwo wygranej
7.  Łatwo dojść do takiej 
konkluzji posiłkując się pojęciem martyngału
8. Podejście martyngałowe 
pozwala w naturalny sposób wywnioskować, że stosunek prawdopodo-
bieństwa sukcesu do prawdopodobieństwa porażki w błądzeniu po tego 
typu grafach jest równy stosunkowi iloczynu prawdopodobieństw przejść 
na prawo od węzła startowego (do wierzchołków grafu położonych po 
jego prawej stronie) do iloczynu prawdopodobieństw przejść na lewo od 
węzła startowego (do wierzchołków grafu położonych po jego lewej 
stronie) [Fel78,PS04b]. Tak więc w przykładzie Astumiana  3
2
7
2
7
5
3
1 ⋅ > ⋅  
                                                       
7 b łędne spostrzeżenie Astumiana prawdopodobnie było konsekwencją niereprezentatywnych 
symulacji numerycznych przebiegu gry.  
8 czyli ustaleniem stawek gry dla wszystkich wierzchołków w grze sprawiedliwej.  
6 
(gry A i B), lecz także 
2
3
2
7
2
2
1 2
7
5
3
1
2
1 )) ( ( )) ( ( + > +  (gra A+B). Zobaczmy, że 
inne wartości prawdopodobieństw przejść dla gry Astumiana też nie 
prowadzą do paradoksu Parrondo. Paradoksalność gry sprowadza się 
bowiem do spełnienia dwóch nierówności: 
                                d c b a ⋅ > ⋅   (niekorzystne gry A i B) oraz                (1) 
                              
2
2
2
2 ) ( ) ( d c b a + + <  (korzystna gra A+B).                         (2) 
Ponieważ jednak z wierzchołka startowego każdego z wyżej przedstawio-
nych trzech grafów wychodzą tylko dwie drogi (krawędzie), czyli 
                                               1 = + = + d b c a ,                                        (3) 
więc zapisując nierówność (2) w postaci 
                                                  d c b a + < +                                           (2’) 
i dodając do stron (2’) wyrażenie  c b +  otrzymamy nierówność 
                                      c b < ,                                                 (4) 
zaś dodając do stron (2’)  d a +  mamy 
                                                 d a < .                                                 (5) 
Mnożąc stronami (4) i (5) otrzymamy nierówność przeciwną do (1), czyli 
łącznie warunki (1), (2) i (3) są sprzeczne, co zamierzaliśmy wykazać. 
Wykonane przez autora symulacje numeryczne sugerują, że liczba nieza-
leżnych parametrów macierzy przejść większa niż cztery także nie pozwa-
la osiągnąć efektu Parrondo. Jednak w innych grach ze stanami pochłania-
jącymi efekt ten może wystąpić. Posłużmy się tu przykładem zaczerpnię-
tym z pracy [PS04b], który przedstawiają trzy poniższe grafy.   
7 
 
Nie ma tu już sprzeczności, gdyż wprowadzenie „trzeciej drogi" pozosta-
wania w wierzchołku startowym czyni fałszywym założenie (3). 
Gdy w Scientific American ukazał się tekst Astumiana redakcja mie-
sięcznika została powiadomiona listownie przez Jana Sładkowskiego i 
autora o mankamencie przedstawionej tam gry. Jednak nie opublikowano 
sprostowania
9, zaś po z górą dwóch latach sam Abbott zwrócił uwagę na 
tamten list
10, temat odżył i w konsekwencji pojawił się artykuł [PS04b].  
 
4. Perspektywy  
Zaprezentowana w §2 analiza punktów stałych (stanów równowagi) 
wyjaśnia mechanizm powstawania efektu Parrondo: równowaga w 
układzie (grze A+B) nie oznacza równowagi wewnątrz jego podukładów 
(A i B). Dzięki osiągnięciu stabilnej równowagi w układzie i jednako-
wemu traktowaniu podukładów, wewnątrz każdego z nich panuje 
nierównowaga, co w konsekwencji umożliwia czerpanie zysku. Jest tak, 
gdyż suma A+B nie jest zbudowaną odpowiednio ze składników A i B 
zwykłą grą zrandomizowaną (portfelem), w której m.in. byłyby dopusz-
czalne takie konfiguracje, jak np. stan (2A,4B). Sformułowana w 
                                                       
9 czyżby takie zachowanie się wydawcy było przykładem gry anty-Parrondo? 
10 uznając poprawność zawartej w nim argumentacji, zob. także [MB04]..  
8 
[Pio03,PS01] metoda portfeli
11 kanonicznych pozwala wyjść poza sferę 
spekulacji i precyzyjnie studiować takie zjawiska, jednak zasygnalizowa-
ne tu badania wykraczają poza ramy naszego tematu rozważań. Osiągnię-
te z nich wnioski mogą rzucić nowe światło na wiele aspektów gier 
złożonych, tak dotyczących konstrukcji technicznych, jak i zachowań 
społecznych. 
Ostatnio w teorii kwantów pojawiły się odkrycia prawidłowości, które 
jeszcze kilka lat temu powszechnie uważano za charakterystyczne jedynie 
dla przyrody żywej, zob. np. [Żur03,PS04a]. Świat fascynuje się mocą 
obliczeń kwantowych [NC00]. Rozwijana obecnie teoria gier kwanto-
wych
12 [PS04a] już doczekała się pierwszych opracowań prezentujących 
w tym formalizmie paradoks Parrondo [FNA02,LJ02]. Zjawisko interfe-
rencji kwantowej zwiększa możliwości uzyskiwania efektów sprzecznych 
z klasyczną intuicją. Z perspektywy wzrostu złożoności spowodowanego 
kwantowaniem modeli prostota gier Astumiana zachęca do badania ich 
kwantowych odpowiedników. Pojawił się nowy schemat wyłaniania się 
porządku z zachowań chaotycznych. Kończąc prezentację rysujących się 
perspektyw autor chciałby pozostawić czytelnika zaintrygowanym tą 
niezawiłą, acz frapującą konstrukcją [LJ02]. Gry kwantowe (taktyki 
kwantowe) są unitarnymi operacjami na przestrzeni Hilberta kwantowych 
strategii gracza [PS04a]. Przyjmijmy, że gracz dysponuje dwoma inwolu-
tywnymi taktykami kwantowymi  A i B , czyli kolejne dwukrotne wyko-
nanie każdej z nich nie zmienia jego strategii ( I B B A A = ⋅ = ⋅ ). Niech 
                                                       
11 z perspektywy efektu Parrondo przypadkowe lawirowanie inwestora pomiędzy różnymi 
portfelami nie musi być jedynie sposobem na obniżenie ryzyka, gdyż może służyć zwiększaniu 
zysku [MZ98].  
12 drugorzędnym jest rozstrzyganie kwestii: czy procesy biologiczne i społeczne wykazują 
specyficzne cechy kwantowe. Zawsze możemy już oswojone efekty kwantowe adaptować do 
naszych potrzeb. Dzięki podobnym staraniom dziś nawet nieuk potrafi np. wyznaczać wartość 
17 , czy wznieść się na wysokość 10 km.  
9 
strategia wyjściowa gracza ψ  b ędzie punktem stałym taktyki  A 
( ψ ψ = A ). Korzystając z tych algebraicznych własności
13 przekonujemy 
się, że całkowicie przypadkowa seria taktyk  A i B  skutkuje tym samym, 
co ich uporządkowana sekwencja  B A B A B A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ! . Sztandarowy
14 dla 
obliczeń kwantowych algorytm Grovera
15 jest przykładem takiej gry.  
 
Bibliografia 
[Astu01] R. D. Astumian, Silniki molekularne, Świat Nauki, 9 (2001) 35-43. 
[Bal99] P. Ball, Good news for losers, Nature Science Update, 23 XII 1999. 
[Bla00] S. Blakeslee, Paradox in game theory: losing strategy that wins, The New York Times, 25 
I 2000. 
[Cie00] P. Cieśliński, Skazany na sukces?, Gazeta Wyborcza, 29 XII 2000. 
[Fel78] W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t.2, PWN, Warszawa 1978. 
[FNA02] A. P. Flitney, J. Ng, D. Abbott, Quantum Parrondo’s games, Physica A, 314 (2002) 35-
42. 
[HA99] G. P. Harmer, D. Abbott, Game theory: Losing strategies can win by Parrondo's         
paradox, Nature, 402 (1999) 864. 
[Ios88] M. Iosifescu, Skończone procesy Markowa i ich zastosowania, PWN, Warszawa 1988. 
[LJ02] C. F. Lee, N. F. Johnson, Parrondo games and quantum algorithms; quant-ph/ 0203043. 
[MB04] H. Martin, H. C. von Baeyer, Simple games to illustrate Parrondo’s paradox, Am. J. 
Phys., 72 (2004) 710-714. 
[MZ98] S. Maslov, Y.-C. Zhang. Optimal investment strategy for risky assets. International 
Journal of Theoretical and Applied Finance, 1/3 (1998) 377-387. 
[NC00] M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum computation and quantum information, Univ. 
Press, Cambridge 2000. 
[Pio03] E. W. Piotrowski, Cisi i gracze. Kanoniczne zespoły portfeli, Zeszyty Naukowo-
Teoretyczne PWSBiA Wiek XXI, 3 (2003) 27-49. 
[Pio04] E. W. Piotrowski, Kwantowy umysł – szkic, w Nasz Czas t.1 – Czym jest umysł? (red. 
G.Trela), Augustana & Filozofia.pl, Bielsko-Biała 2004. 
[PS01] E. W. Piotrowski, J. Sładkowski, The Thermodynamics of Portfolios, Acta Phys. Pol. B, 32 
(2001) 597-604. 
[PS04a] E. W. Piotrowski, J. Sładkowski, The Next Stage: Quantum Game Theory, w Mathemati-
cal Physics Research at the Cutting Edge (red. C. V. Benton), Nova Science Publishers, 
New York 2004. 
[PS04b] E. W. Piotrowski, J. Sładkowski, The Astumian’s paradox, arXiv:physics/ 0408122. 
[Żur03] W. H. Żurek, Quantum Darwinism and Envariance, w Science and Ultimate Reality: 
From Quantum to Cosmos (red.: J. D. Barrow, P. C. W. Davies, C. H. Harper), Univer-
sity Press, Cambridge 2003. 
 
 
                                                       
13 które wypisane są w poprzednich dwóch zdaniach, w nawiasach. 
14 z uwagi na wielość zastosowań. 
15 algorytm Grovera stanowi najszybszy (i niedościgniony metodami klasycznymi) sposób 
przeszukiwania baz danych [NC00]. 

Problems with the Astumian's Paradox (in Polish)

http://alpha.uwb.edu.pl/ep/RePEc/sla/eakjkl/121PL.pdf

Problems with the Astumian's Paradox (in Polish)

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Research Papers in Economics