We discuss some aspects of infinity in the history of mathematics

BERNARDI, Claudio

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Archivio della ricerca- Università di Roma La Sapienza

Una tentazioneaffascinanteSull’infinito in matematicadi Claudio Bernardi Secondo Hermann Weyl, matematico tedesco della primametà del ‘900, “la matematica è la scienza dell’infinito”. Suquesta affermazione si può discutere, ma sta di fatto che, adifferenza di quanto avviene in altri contesti scientifici, inmatematica si parla con tranquillità di infinito. Fin dalle prime classi della scuola primaria si insegna che adogni numero naturale si può aggiungere 1, in modo daottenere un numero più grande di quello iniziale. Già a questopunto, il bambino capisce che ci sono infiniti numeri naturali.Quando poi si comincia la geometria, si spiega che una rettaassomiglia a un filo teso, ma va pensata infinitamente lunga.Un po’ più difficile è far capire agli studenti la densità: tra duepunti (così come fra due numeri razionali o reali) ne ècompreso almeno un altro, e quindi infiniti altri.Ma il rapporto dei matematici con l’infinito non è statosempre tranquillo. Basta ricordare che per Euclide “retta”significava “segmento prolungabile”: in altre parole Euclideaccettava un infinito “potenziale” (un segmento si puòallungare quanto si vuole, ma ogni volta abbiamo a che farecon un segmento), ma non l’infinità di una retta in sensoattuale. Le difficoltà con l’infinito nascevano dai paradossi acui l’accettazione dell’esistenza di insiemi infiniti sembravainevitabilmente condurre.Galileo rimane sconcertato dal fatto che i quadrati perfettisembrano tanti quanti i numeri naturali (ad ogni naturalecorrisponde un quadrato, e viceversa), mentre, d’altro lato, iquadrati sono solo una piccola parte dell’insieme dei naturali:anzi, via via che crescono i valori che si considerano, iquadrati diventano sempre più “radi” nell’insieme dei numerinaturali. Galileo si esprime nel modo seguente, quasisuggerendo che è meglio rinunciare a uno studio matematicodell’infinito: “Queste son di quelle difficoltà che derivano daldiscorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno agli infiniti, dandogli quegli attributi che noi diamo alle cosefinite e terminate; il che penso che sia inconveniente, perchéstimo che questi attributi di maggioranza, minorità ed ugualitànon convenghino a gl’infiniti, de i quali non si può dire, unoessere maggiore o minore o eguale all’altro”.a.Affresco di Andrea di Bonaiuto,raffigurante Euclide, nel cappellonedegli Spagnoli, l’antica salacapitolare della chiesa di SantaMaria Novella a Firenze. Euclide sitrova ai piedi della “Geometria”.L’affresco fa parte del “Trionfo diSan Tommaso d’Aquino”: nellaparte inferiore si trovano quattordicistalli decorati, nei quali siedono lepersonificazioni delle sacre scienzee delle arti liberali, ai piedi diciascuna delle quali si trova unillustre rappresentante. asimmetrie 20 / 4.16 / infinitoINFN Interno 20.qxp_Layout 1  22/03/16  12:56  Pagina 19 20 > 21Anche il grande matematico Carl Friedrich Gauss ebbe a dire:“Io devo protestare nel modo più deciso contro l’usodell’infinito come qualcosa di compiuto, cosa che non èpermessa in matematica. L’infinito non è che una façon deparler (modo di dire, ndr)”.Ma poi, verso la fine dell’800 arrivò Georg Cantor: nella teoriadegli insiemi di Cantor si riescono a studiare e confrontareinsiemi infiniti, senza cadere in paradossi. Questo permette,oggi, di trattare senza paura insiemi infiniti di numeri (comequello dei numeri reali R e quello dei numeri complessi C), dipunti, di funzioni, ecc. Sempre nella seconda metà dell’800, a opera di KarlWeierstrass e altri, si sistemano in modo rigoroso i concettialla base dell’analisi matematica: con le celebri formule deltipo “∀ ε > 0 ∃ δ > 0...” (che si legge “per ogni ε maggiore di 0esiste un δ maggiore di 0”, ndr) si danno definizioni chiare perscritture come limx→∞ f (x) = L (ovvero “limite di f (x) per x chetende a infinito è uguale a L”, ndr) e limx→∞ f (x) = ∞ (“limite dif (x) per x che tende a infinito è uguale a infinito”, ndr), e sidefinisce la “continuità” di una funzione, rinunciando adiscutibili variazioni infinitesime delle variabili.Oggi, in matematica si parla con tranquillità di infinito. Il ricorsoall’infinito rende spesso addirittura più semplice lo studio dellamatematica: in particolare, la teoria delle derivate e degliintegrali è più semplice e più potente della teoria delle differenzefinite, che si riferisce a funzioni che hanno per dominio uninsieme discreto invece che tutto l’insieme R dei numeri reali.In altri casi, accettando l’infinito si ottengono strutture piùregolari e più eleganti. Così, aggiungendo a un pianoelementare i punti all’infinito (punti “impropri”) si ottiene unpiano “proiettivo”, dove si enunciano proprietà generali senzaeccezioni e senza che sia necessario distinguere vari casi: duerette distinte hanno sempre uno e un solo punto in comune,due coniche “non degeneri” si possono sempre trasformareuna nell’altra, ecc.Vale la pena di osservare un altro legame fra matematica einfinito, in parte condiviso da altre scienze: una dimostrazionesostituisce infinite verifiche. Pensiamo per esempio al teoremasulla somma degli angoli interni di un triangolo. Per verificareche la somma è uguale a un angolo piatto in tutti i triangoli,anche se avessimo a disposizione strumenti di misura perfetti,dovremmo eseguire infiniti controlli. Invece, una singoladimostrazione ci convince che il teorema è vero in generale,rendendo superflui gli infiniti controlli.Come disse il grande matematico David Hilbert nel 1921,“L’infinito! Nessun altro problema ha mai scosso cosìprofondamente lo spirito umano; nessuna altra idea hastimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessunaltro concetto ha maggior bisogno di chiarifi cazione che quellodi infinito”.b.Un ritratto del 1937 del grandematematico David Hilbert. BiografiaClaudio Bernardi è professore ordinario di matematica alla Sapienza Università di Roma. Si occupa dilogica matematica e di fondamenti della matematica e anche di didattica della matematica. È statodocente alla Ssis e al Tfa, è il responsabile del piano lauree scientifiche per la matematica allaSapienza e collabora con l’Accademia dei Lincei per iniziative legate all’insegnamento.Link sul webwww.dm.unipi.it/~berardu/Didattica/Appunti/scuole060210.pdf www.treccani.it/vocabolario/infinito/ http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinityhttp://maddmaths.simai.eu/divulgazione/matematica-indispensabile/il-concetto-matematico-di-cui-non-potremmo-fare-a-meno-infinito-di-sandra-lucente/INFN Interno 20.qxp_Layout 1  22/03/16  12:56  Pagina 20

Una tentazione affascinante

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