Este breve artículo glosa algunas de las aplicaciones recientes de sistemas dinámicos estocásticos a la Teoría de Juegos y la Economía. El modelo que se describe con más detalle demuestra que la única asignación estocásticamente estable de un proceso de intercambio entre coaliciones sujeto a errores en la toma de decisiones es la asociada al equilibrio de mercado. Resultados como éste proveen una nueva fundamentación a un concepto central en la Teoría Económica.

Roberto Serrano

Spanish

Research Papers in Economics

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El uso de sistemas
dinámicos estocásticos
en la Teoría de Juegos y la Economía
by Roberto Serrano
June 2007El Uso de Sistemas Din´ amicos Estoc´ asticos
en la Teor´ ıa de Juegos y la Econom´ ıa1
Roberto Serrano2
Sumario: Este breve art´ ıculo glosa algunas de las aplicaciones recientes de sistemas din´ amicos estoc´ asticos
a la Teor´ ıa de Juegos y la Econom´ ıa. El modelo que se describe con m´ as detalle demuestra que la ´ unica
asignaci´ on estoc´ asticamente estable de un proceso de intercambio entre coaliciones sujeto a errores en
la toma de decisiones es la asociada al equilibrio de mercado. Resultados como ´ este proveen una nueva
fundamentaci´ on a un concepto central en la Teor´ ıa Econ´ omica.
1 Introducci´ on
El enfoque evolutivo a la Biolog´ ıa se puede emprender con herramientas de la Teor´ ıa de Juegos, porque lo
que se est´ a estudiando es el “juego de la vida” o el “juego de la supervivencia” entre las distintas especies.
Cada especie exhibe unos patrones de comportamiento, hay interacci´ on entre ellas, y uno puede preguntarse
qu´ e tipo de comportamientos son los que sobrevivir´ an en el largo plazo. Por ejemplo, uno puede intentar
capturar la l´ ogica de Darwin de este modo. Fijemos un modo de comportamiento o estrategia que todos
los individuos de una poblaci´ on est´ an por el momento siguiendo. Supongamos que hay una mutaci´ on en
los genes de esta poblaci´ on. Esto es, de repente una peque˜ na proporci´ on ￿>0 de individuos empiezan a
comportarse de otro modo. A partir de ahora hay tres tipos de interacciones que uno puede encontrar en el
juego b´ asico: “no mutante con no mutante”, “no mutante con mutante” y “mutante con mutante”. Si uno
interpreta los pagos del juego a cada individuo como el n´ umero de descendientes, una pregunta interesante
es si esta mutaci´ on tender´ a a desaparecer porque la descendencia relativa del mutante, con respecto al no
mutante, es menor. De lo contrario, estamos ante una mutaci´ on con ´ exito que eventualmente se extiende
a todo el sistema.
Esta l´ ogica lleva al concepto de estrategias evolutivamente estables, esto es, aquellas que son inmunes a
este tipo de invasiones por parte de mutantes arbitrarios. Una observaci´ on de inter´ es es que este concepto
est´ a basado en una manera de perturbar el sistema din´ amico que es bastante irrealista. La perturbaci´ on,
consistente en la aparici´ on aleatoria del mutante, se concibe como un hecho aislado en el tiempo, y de
hecho sus efectos se estudian bajo el supuesto de que, mientras est´ an pasando, el sistema no est´ a sujeto
a ninguna otra perturbaci´ on. Pero en general uno deber´ ıa esperar que, mientras los efectos de la primera
perturbaci´ on se est´ an a´ un notando, el sistema reciba un nuevo shock. Y m´ as a´ un: mientras los efectos de
estas dos perturbaciones est´ an teniendo lugar, una tercera ocurra, etc., etc. Este argumento motiva el uso
de sistemas din´ amicos estoc´ asticos, en los cuales la matriz de transici´ on ya incorpora las probabilidades
de toda posible perturbaci´ on. (Una referencia b´ asica importante es el libro de Freidlin y Wentzell [5].)
En las ´ ultimas dos d´ ecadas la metodolog´ ıa de sistemas din´ amicos estoc´ asticos se ha venido utilizando
con creciente frecuencia en la Teor´ ıa de Juegos y en la Econom´ ıa. Entre las primeras aplicaciones de la
metodolog´ ıa se encuentra su uso en la Biolog´ ıa evolutiva, como en el trabajo de Foster y Young [4], pero
muy pronto surgieron aplicaciones a la Teor´ ıa de Juegos en general en los trabajos de Kandori, Mailath
y Rob [7] y Young [12]. Desde el punto de vista conceptual, hay un gran inter´ es en la adopci´ on de esta
metodolog´ ıa en juegos. El concepto del equilibrio de Nash, la soluci´ on central de la Teor´ ıa de Juegos, es
algunas veces atacado debido a la gran racionalidad que requiere de parte de los jugadores. Ser´ ıa deseable
en aras del realismo el que tal concepto no dependiera de tan grandes niveles de soﬁsticaci´ on intelectual
1Agradezco la hospitalidad del CEMFI en Madrid.
2Department of Economics, Brown University e IMDEA-Ciencias Sociales; roberto serrano@brown.edu,
http://www.econ.brown.edu/faculty/serrano
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sde los agentes. Esta metodolog´ ıa evolutiva, basada en los sistemas din´ amicos estoc´ asticos, tiene mucho
que decir al respecto.
El modelo que se estudia habitualmente ﬁja un juego, esto es, conjuntos de estrategias y funciones de
pagos. En el juego participan agentes que, lejos de ser racionales, est´ an “programados” para usar una
determinada estrategia. Estos agentes no son conscientes del complejo mundo en el que viven, ni dedican
gran parte de su tiempo a pensar en qu´ e estrategia deben emplear. De hecho, la mayor´ ıa del tiempo,
siguiendo un fuerte componente de inercia, emplean la misma estrategia que usaron el periodo anterior
(aquella que, por ejemplo, aprendieron en su entorno social de familia y amigos). De vez en cuando, sin
embargo, este proceso de inercia se ve interrumpido por una fuerza de selecci´ on, en el sentido biol´ ogico
del t´ ermino. Es decir, alg´ un agente decide poner un poco m´ as de esfuerzo en pensar en su estrategia,
determinando por ejemplo que deber´ ıa elegir una mejor respuesta al perﬁl de estrategias que los otros
eligieron el periodo anterior. Finalmente, hay adem´ as fuerzas aleatorias en el sistema –mutaciones, errores,
experimentaci´ on– que llevan a que, con probabilidad positiva aunque peque˜ na, cualquier estrategia se elija.
La pregunta relevante es si se puede determinar cu´ ales ser´ an las estrategias que se eligen en el juego la
mayor´ ıa del tiempo en el largo plazo. Tales estrategias se denominan estoc´ asticamente estables.Y l a
respuesta, m´ as que interesante, is que, bajo ciertas condiciones, se puede demostrar que tales estrategias
est´ an relacionadas con cierto tipo de equilibrios de Nash. Una gran fuente de consulta que describe muchas
de las aplicaciones a juegos es el libro de Young [13].
En este art´ ıculo, para ﬁjar ideas, nos concentraremos en la aplicaci´ on de las mismas herramientas a
econom´ ıas de intercambio. Una econom´ ıa de intercambio es un sistema donde los agentes intercambian los
bienes que cada uno posee para llegar a una mejor asignaci´ on de los recursos disponibles. En tal contexto,
uno puede preguntar si la asignaci´ on ﬁnal es eﬁciente, o si tiene alguna relaci´ on con aquella que saldr´ ıa
de un equilibrio en una red de mercados competitivos. Modelos as´ ı se han estudiado en los art´ ıculos de
Ben-Shoham, Serrano y Volij [1], Kandori, Serrano y Volij [8], o Serrano y Volij [10]. De hecho, el modelo
que describiremos m´ as en detalle lo tomaremos prestado de este ´ ultimo art´ ıculo. Pasamos a describirlo.
Fijemos una econom´ ıa de intercambio, esto es, preferencias de los agentes y dotaciones individuales de
bienes. El proceso din´ amico de intercambio que analizaremos, una formalizaci´ on de las ideas de Edgeworth
[2], es el siguiente. Cada periodo, obedeciendo a fuerzas de inercia, los agentes intercambian sus dotaciones
iniciales como lo hicieron en el periodo pasado para llegar a una nueva asignaci´ on de recursos, y tras ese
intercambio, consumo de los bienes tiene lugar. Sin embargo, de vez en cuando, una coalici´ on de agentes
puede formarse. Esta coalici´ on eval´ ua si, mediante la redistribuci´ on entre sus miembros de los recursos
coalicionales, todos pueden mejorar. Si as´ ı fuera, la coalici´ on ﬁrma este nuevo contrato, que por tanto
puede romper los contratos previos que sybyac´ ıan el anterior status quo. Esta posibilidad de contratos
coalicionales es an´ aloga a la fuerza de selecci´ on descrita anteriormente. Por ´ ultimo, las fuerzas aleatorias
en el sistema pueden venir dadas porque los agentes pueden equivocarse con una peque˜ na probabilidad, y
ﬁrmar un contrato coalicional que no les favorece. Como antes, la pregunta en este contexto es si se pueden
caracterizar las asignaciones de recursos en la econom´ ıa a las que este proceso de intercambio llevar´ a la
mayor´ ıa del tiempo en el largo plazo, es decir, las asignaciones estoc´ asticamente estables del proceso.
Como describiremos, bajo ciertas condiciones, la respuesta ser´ a la asignaci´ on asociada con el equilibrio
competitivo de mercados.
2 Metodolog´ ıa: Primeros Auxilios en Procesos de Markov
A menudo un proceso de Markov M0 sin perturbaciones tiene m´ ultiples distribuciones estacionarias o
invariantes, correspondientes a las m´ ultiples clases recurrentes. Una clase recurrente del proceso es un
conjunto de estados tal que, si el proceso visita uno de ellos, no ser´ a capaz de salir de dicho conjunto.
Cuando una clase recurrente contiene un solo estado, el estado en cuesti´ on se denomina absorbente. Cuando
existen m´ ultiples clases recurrentes, se hace dif´ ıcil dar una predicci´ on de largo plazo sobre la posici´ on del
sistema: tal predicci´ on depender´ a en general de las condiciones iniciales.
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sEl problema descrito justiﬁca el uso de procesos de Markov perturbados. Para un arbitrariamente
peque˜ no ￿ ∈ (0,1), el proceso M￿ perturbado es irreducible y las probabilidades de transici´ on entre estados
convergen a las del proceso sin perturbaciones a una tasa exponencial. Tal proceso es erg´ odico, lo cual
implica que tiene una ´ unica distribuci´ on estacionaria. La denotamos µ￿. En efecto, las perturbaciones
hacen inviable el concepto de clase recurrente, ya que tales perturbaciones pueden llevar el sistema de
cualquier estado a cualquier otro en un n´ umero ﬁnito de periodos. Una vez que el sistema ha echado a
andar durante un largo intervalo de tiempo, la distribuci´ on estacionaria proporciona un buen estimador
de la frecuencia relativa con la que el sistema visita cada uno de los estados.
Se puede demostrar que la distribuci´ on l´ ımite, lim￿→0 µ￿ = µ∗ existe, y es una de las distribuciones
estacionarias del proceso sin perturbaciones. Denominamos estados estoc´ asticamente estables de M￿ A
los que µ∗ Asigna probabilidad positiva. Estos estados est´ an Caracterizados como aquellos con m´ ınimo
potencial estoc´ astico (los de m´ as f´ acil acceso desde cualquier otro estado). La tarea de este enfoque
es la identiﬁcaci´ on de tales estados, los cuales constituyen nuestra predicci´ on de largo plazo cuando las
perturbaciones del sistema original obedecen el proceso M￿.
3 Aplicaci´ on: Una Econom´ ıa de Intercambio
Consideremos una de las econom´ ıas de intercambio m´ as simples, el llamado modelo de casas de Shapley y
Scarf [11]. Una econom´ ıa de intercambio de casas,
E = hN,H,(￿i,e i)i∈Ni,
donde
• N = {1,...,n} es un conjunto ﬁnito de individuos,
• H = {h1,...,h n} es un conjunto ﬁnito de casas,
•￿ i es la relaci´ on binaria de preferencias sobre H del agente i, la cual suponemos completa, transitiva
y antisim´ etrica, y
• ei es la casa dotaci´ on inicial de i.
Esto es, hay el mismo n´ umero de individuos y casas. Cada agente est´ a dotado inicialmente con una casa,
y tiene preferencias estrictas sobre las |N| casas.
Las siguientes son deﬁniciones de importancia en la econom´ ıa:
• Coalici´ on S: subconjunto no-vac´ ıo de N.
• Asignaci´ on factible para la coalici´ on S: redistribuci´ on de (ei)i∈S. Denotamos este conjunto AS.
Tambi´ en, AN = A es el conjunto de |N|! asignaciones factibles en la econom´ ıa.
• Asignaci´ on individualmente racional x ∈ A: no existe i ∈ N tal que ei ￿i xi.
• Asignaci´ on del n´ ucleo x ∈ A: no existe S ⊆ N con y ∈ AS tal que yi ￿i xi para todo i ∈ S.
• Asignaci´ on del n´ ucleo fuerte x ∈ A: no existe S ⊆ N con y ∈ AS tal que yi ￿i xi para todo i ∈ S y
yj ￿j xj para alg´ un j ∈ S.
• Asignaci´ on competitiva x ∈ A: ∃p ∈ IR
H
+\{0} tal que ∀i ∈ N, h ￿i xi implica ph >p ei.
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sLa ´ ultima deﬁnici´ on es el concepto central en la Teor´ ıa Econ´ omica de mercados. Es decir, existen
precios, uno por casa, que igualan la oferta y la demanda por cada casa. La econom´ ıa se encuentra en
equilibrio: las fuerzas competitivas del mercado hacen ajustar los precios de tal manera que todo exceso de
demanda u oferta queda eliminado. La condici´ on en la deﬁnici´ on dice que aquellas casas que un individuo
preﬁera a la que recibe en la asignaci´ on de equilibrio caen fuera de su conjunto presupuestario (para
comprar una casa s´ olo puede vender la que es su dotaci´ on inicial). Por tanto, la casa que cada agente
recibe en equilibrio es una de las que a ella m´ as le gustan entre las que se puede permitir comprar.
En estas econom´ ıas, el siguiente resultado es de inter´ es:
Lema (Roth y Postlewaite [9]): Sea E una econom´ ıa de intercambio de casas como la deﬁnida. Entonces,
(i) Existe una ´ unica asignaci´ on competitiva w de la econom´ ıa E.
(ii) La asignaci´ on w es la ´ unica en el n´ ucleo fuerte.
(iii) Para cada asignaci´ on x ∈ A, x 6= w, existe una coalici´ on S tal que wS ∈ AS y satisface que wi ￿i xi
para todo i ∈ S y wj ￿j xj para alg´ un j ∈ S.
Introduzcamos a continuaci´ on el proceso de intercambio coalicional que estudiaremos. Como hemos
dicho, es una formalizaci´ on de ideas de Edgeworth, que ya recibieron una modelizaci´ on formal en los
trabajos de Feldman [3] y Green [6]. Nuestro tratamiento ser´ a esencialmente una versi´ on estoc´ astica de
los procesos de estos autores.
Consideremos pues el proceso de intercambio M0 sin perturbaciones. En cada periodo t, si el sistema
est´ a en la asignaci´ on –estado– x(t), cualquier coalici´ on S es elegida con probabilidad positiva.
(i) Si ∃y ∈ AS tal que yi ￿i xi(t) ∀i ∈ S, la coalici´ on llega a cualquiera de tales y con probabilidad
positiva. Entonces, el nuevo estado es
x(t +1 )=( y,e−S)s ix−S(t) / ∈ A−S,´ o
x(t +1 )=( y,x−S(t)) si x−S(t) ∈ A−S.
(ii) En otro caso, x(t +1 )=x(t).
Ejemplo. Sea N = {1,2,3}.
Las preferencias de los agentes son:
e3 ￿1 e2 ￿1 e1
e1 ￿2 e3 ￿2 e2
e2 ￿3 e1 ￿3 e3
Consideremos las tres asignaciones siguientes, y observemos que constituyen una clase recurrente del
proceso especiﬁcado:
x =( e1,e 3,e 2), y =( e2,e 1,e 3), z =( e3,e 2,e 1). Esto es, x →{1,2} y →{1,3} z →{2,3} x. Tenemos un ciclo
del cual es imposible salir – llamado ciclo de Condorzet en la Teor´ ıa de Elecci´ on Social.
Nuestra primera tarea es la identiﬁcaci´ on de las clases recurrentes del proceso de intercambio sin
perturbaciones:
Proposici´ on: Las clases recurrentes del proceso M0 sin perturbaciones son de los dos tipos siguientes:
(i) Clases recurrentes unitarias, o estados absorbentes: cada una de las asignaciones del n´ ucleo.
(ii) Clases recurrentes con m´ ultiples elementos: en cada una de ellas, las asignaciones son individualmente
racionales, pero no del n´ ucleo (ver el ejemplo anterior).
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sPor tanto, queda claro que la predicci´ on de largo plazo no se puede dar con independencia de las
condiciones iniciales. Procedamos a introducir perturbaciones.
Consideremos ahora el proceso M￿ con perturbaciones. Sea ￿ ∈ (0,1) arbitrariamente peque˜ na la
probabilidad de que un agente intercambie y acabe con la misma casa ; sea ￿λ la probabilidad de aceptar
un intercambio coalicional donde el agente acaba con una casa peor, donde λ es un entero positivo suﬁ-
cientemente grande. Es decir, aunque los dos tipos de errores en la toma de decisiones del agente ocurren
con baja probabilidad, los del segundo tipo –errores m´ as graves– son mucho m´ as improbables.
Supongamos que el estado es la asignaci´ on x, que la coalici´ on S se forma, y que el sistema llega a y.
Deﬁnamos:
nI = |{i ∈ S : xi = yi}|
nW = |{i ∈ S : xi ￿i yi}|.
Esto es, estos dos n´ umeros son respectivamente el n´ umero de agentes que acaban con la misma casa o con
una peor en esta transici´ on.
Ahora podemos deﬁnir la resistencia de pasar de x a y a trav´ es de S:
Si yS / ∈ AS,
rS(x,y)=∞;
Si yS ∈ AS,
rS(x,y)=λnW + nI.
Una vez que calculamos as´ ı la resistencia de toda transici´ on, llegamos a obtener la resistencia de la
transici´ on x → y como la resistencia del camino m´ as barato, esto es, la m´ ınima resistencia total de toda
transici´ on x → y:
x →S0 z1 →S1 ...z k →Sk y.
Con el cuidadoso c´ alculo de tales resistencias, en este modelo se puede demostrar el siguiente resultado:
Teorema: Sea E una econom´ ıa de intercambio de casas, y sea λ>|N|−2. Entonces, la ´ unica asignaci´ on
estoc´ asticamente estable de M￿ es la asignaci´ on competitiva w.
Podemos concluir con una breve idea de la demostraci´ on: Para cada x 6= w, la transici´ on x → w
solamente encuentra resistencias asociadas a indiferencias (recordemos la parte (iii) del lema). Por tanto,
esto produce una resistencia que a lo sumo es |N|−2. Sin embargo, en la transici´ on opuesta, w → x,a l
menos un individuo debe empeorar estrictamente (parte (ii) del lema), lo cual implica que la resistencia
de tal transici´ on es al menos λ. Poniendo los dos argumentos juntos, se puede probar que la asignaci´ on
competitiva es la ´ unica estoc´ asticamente estable, pero hemos llegado a ella sin ninguna apelaci´ on a precios
de mercado.
Bibliograf´ ıa
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3. A. M. Feldman, Recontracting stability, Econometrica 42, (1974), 35-44.
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11. L. S. Shapley, H. Scarf, On cores and indivisibility, Journal of Mathematical Economics 1, (1974),
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