Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.National audienceCet article introduit un modèle mécanique décrivant l'évolution de deux masses en interaction, en choisissant volontairement de traiter le problème sous une forme énergétique. Cette perspective impose de définir une grandeur qui agit sur les masses et dont la nature est inhabituelle, puisqu'il s'agit d'une puissance dirigée. Le modèle, une fois posé, est étudié et comparé aux approches de la mécanique relativiste et classique

Abadie, Joël

Lexcellent, Christian

HAL - Université de Franche-Comté

Analyse d’une description e´nerge´tique de l’actionnementpour le calcul du mouvement des masses.Joe¨l Abadie, Christian LexcellentTo cite this version:Joe¨l Abadie, Christian Lexcellent. Analyse d’une description e´nerge´tique de l’actionnementpour le calcul du mouvement des masses.. CNRS/UFC/ENSMM/. 20e`me Congre`s Franc¸ais deMe´canique., Aug 2011, Besanc¸on, France. sur CD ROM, pp.1-6, 2011. <hal-00631810>HAL Id: hal-00631810https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00631810Submitted on 13 Oct 2011HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011Analyse d’une description e´nerge´tique de l’actionnementpour le calcul du mouvement des massesJ. Abadiea, C. Lexcellentba. Institut FEMTO ST, De´partement AS2M, 24 rue Alain Savary, 25000 BESANCONb. Institut FEMTO ST, De´part. Me´c’Appli, 24 rue de l’Epitaphe, 25030 BESANCONRe´sume´ :Cet article introduit un mode`le me´canique de´crivant l’e´volution de deux masses en interaction, enchoisissant volontairement de traiter le proble`me sous une forme e´nerge´tique. Cette perspective imposede de´finir une grandeur qui agit sur les masses et dont la nature est inhabituelle, puisque il s’agit d’unepuissance dirige´e. Le mode`le, une fois pose´, est e´tudie´ et compare´ aux approches de la me´caniquerelativiste et classique.Abstract :This article present a mechanical model describing the evolution of a system constituted by two massin interaction. The problem is solved by choosing an energetic approach. A new quantity is defined tomodel the interaction. This quantity is quite unusual because it is a vectorized power. The model iswritten, studied and compared to the special relativity and to the classical approach.Mots clefs : actionnement ; e´nerge´tique ; relativite´ restreinte1 IntroductionLe mouvement d’un objet mate´riel peut eˆtre pre´dit en utilisant, par exemple, le principe fondamentalde la dynamique e´crit par Newton. Dans cette approche, la force est conside´re´e comme la gran-deur fondamentale a` l’origine du mouvement. On peut e´galement choisir une approche e´nerge´tique.L’e´quation du mouvement de Newton se retrouve de manie`re e´quivalente dans cette formulation base´esur le principe de moindre action. Elle aboutit a` l’e´quation de Lagrange [1, 2] et fait intervenir unefonctionnelle de´crivant l’e´tat e´nerge´tique du syste`me a` re´soudre. Les e´quations de Newton, de La-grange, sont les outils incontestables servant a` de´crire le mouvement d’un objet mate´riel mais aussidu mouvement des plane`tes de notre syste`me solaire [3]. Pourtant, les physiciens ont mis rapidementen e´vidence les limites de l’e´quation de Newton notamment en astrophysique ou` il devient impossiblede de´crire de manie`re cohe´rente la structure de l’univers. C’est graˆce notamment aux travaux d’Ein-stein et a` l’e´criture de l’e´quation de la relativite´ restreinte que les observations ont pu eˆtre corre´le´esavec son mode`le [4]. Meˆme s’il est pratique de travailler avec la force (en approche classique) ou lesquadrivecteurs (en relativite´), les approches e´nerge´tiques prennent le pas lorsqu’il s’agit de de´criredes syste`mes multiphysiques. En effet, dans tous les syste`mes qu’ils soient e´lectriques, me´caniques oumagne´tiques, on peut toujours de´finir une grandeur e´nerge´tique d’e´tat, permettant de les caracte´riser.Le grand avantage de travailler avec des grandeurs e´nerge´tiques est qu’il est possible de combiner desphe´nome`nes varie´s en e´crivant la loi de conservation de l’e´nergie. L’e´nergie d’un syste`me clos, c’est a`dire la somme des e´nergies de ses constituants, reste constante. L’ide´e maitresse de´veloppe´e dans cetarticle est de de´crire l’e´volution de deux masses en interaction en choisissant volontairement de traiterle proble`me sous une forme e´nerge´tique. Nous proposons d’utiliser une grandeur non conventionelle,une puissance dirige´e pour mode´liser les diffe´rents e´changes d’e´nergie. L’ensemble des processus detransformation de la matie`re en e´nergie, sa transmission et les conse´quences sur le mouvement sontanalyse´s sur un exemple constitue´ de deux masses en interaction. Les bases fondamentales du mode`le120e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011(Ro) xy ABτ = 0 : de´but e´misionF/M Fc dt(Ro) xy MABc dtFτ = dt : fin e´misiondM convertie en e´nergieFig. 1 – Etablissement de la puissance dirige´e par perte de masse et transmission en diffe´rents pointsde l’espace.sont alors pose´es. Finalement, l’approche est compare´e d’un point de vue conceptuel a` l’approcheclassique de la me´canique relativiste. Nous montrons que d’un point de vue mathe´matique, le mode`leest e´quivalent a` la relativite´ restreinte.2 Le mode`le propose´Nous allons de´finir un nouveau mode`le qui fait intervenir une grandeur de commande de naturee´nerge´tique. Ce mode`le s’appuie sur plusieurs postulats de de´part qui sont pose´s maintenant.2.1 Hypothe`ses du mode`leLa principale hypothe`se consiste a` tenir compte de la vitesse de propagation de l’e´nergie pour mode´liserles transferts d’e´nergie qui s’ope`rent dans la re´alite´. Cette vitesse est c = 2, 99792458 108 m/s etcorrespond a` la ce´le´rite´ de la lumie`re dans le vide. On suppose que l’e´nergie e´mise par un syste`meprovient exclusivement d’une de´composition de matie`re en e´nergie. En vertu de la relation E = M c2,on conside`re qu’un syste`me au repos, de masse importante M peut e´mettre, en se plac¸ant dans unre´fe´rentiel attache´ a` M , une quantite´ d’e´nergie par unite´ de temps e´gale a` :P = dEdt=dMdtc2 [W ] (1)La particularite´ de l’approche est qu’au lieu d’utiliser la puissance P qui est un scalaire, on utilise lagrandeur vectorielle F de´finie par :F = P ~r [ ~W ] (2)~r est un vecteur unitaire qui de´finit la direction de propagation de la puissance e´mise. Afin desimplifier le discours, nous avons de´cide´ de donner a` F le nom ✭✭actuis✮✮. Ce nom est inspire´ du latinactus qui signifie action, travail, pousse´e, impulsion. L’actuis F constitue donc une puissance dirige´edont la dimension est homoge`ne a` des watts. La figure 1 montre, sur un syste`me conservatif compose´d’une masse M , comment s’e´tablit F lors d’une perte de masse dM au sein deM . Dans cet exemple, ladirection de ~r est choisie arbitrairement paralle`le a` la direction ~x du re´fe´rentiel galile´en R0. On supposeque M e´met de l’e´nergie pendant un instant dt. Le de´but de l’e´mission a lieu a` τ = 0. En observantce qui se passe depuis le point A, point situe´ par exemple a` une distance de M e´gale a` c dt, l’actuisF apparaˆıt a` τ = dt et se maintient pendant dt. On introduit e´galement un principe d’action-re´actionqui postule que l’actuis e´mis F cre´e un actuis oppose´ F/M s’appliquant sur M de telle sorte que :F/M = −F (3)Par conse´quent, F/M est pre´sent et se transmet a` M a` 0 < τ < dt, contrairement au point A pourlequel F est pre´sent a` dt < τ < 2dt.2.2 Mode´lisation de l’actionnementConceptuellement, nous conside´rons le principe d’actionnement comme un ensemble constitue´ de plu-sieur e´le´ments distincts. Cet ensemble comporte au minimum deux e´le´ments massifs dont les masses au220e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011M0(Ro) xyMF−FFig. 2 – Masse M en interaction avec M0 : M capte la puissance e´mise par M00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.400.20.40.60.81v/cG m/ Mc2Fig. 3 – Courbe repre´sentant le module del’e´nergie oriente´e d’inertie de M en fonctionde sa vitesse.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91v/cδFig. 4 – Courbe repre´sentant l’e´volution de δen fonction de la vitesse de M .repos seront note´es respectivement M0 et M . L’actuis est le concept par lequel des e´changes d’e´nergievont avoir lieu entre les masses. Le syste`me constitue´ par M0 est, par exemple, la source au sein delaquelle l’e´nergie sera puise´e et transmise a` M . Lorsque M se trouve sous l’influence de l’actuis, sonmouvement se trouve modifie´ selon une loi de´terministe. Dans un actionnement, on conside`re donc,d’une part, les e´le´ments massifs et d’autre part les interactions sous forme e´nerge´tique se propageanta` c dans le vide. Nous conside´rons, pour simplifier, que l’e´le´ment M0 a une masse tre`s importante encomparaison de celle de M . C’est le cas de figure tre`s classique ou` M0 est assimile´ a` la terre, ou bienau sol. On assimile alors le mouvement de M0 au mouvement du re´fe´rentiel galile´en R0. On cherche a`de´terminer le mouvement de M a` partir de la puissance dirige´e capte´e par celle-ci tel que le montrela figure 2. Soit la loi ge´ne´rale pose´e qui permettra de calculer ce mouvement :δ F =ddt(M v√2c2 − v2)[ ~W ] (4)Elle e´nonce simplement que, vu de R0, la puissance transmise a` M par l’actuis (terme de gauche)est puise´e a` l’inertie de la masse en mouvement (terme de droite). δ va eˆtre de´fini par la suite. Toutd’abord, dans le terme de droite nous trouvons l’expression de l’e´nergie d’inertie de la masse M enfonction de sa vitesse :Gm(v) = M v√2c2 − v2 [ ~J ] (5)Gm est un vecteur porte´ par v de´fini pour ‖v‖ ∈ [0,√2 c] (ou bien ‖v‖ ∈ [0, co] en posant co =√2 c) et dont la dimension est homoge`ne a` des joules. Le module de Gm comporte un optimum pourv = c comme le montre la repre´sentation graphique de Gm sur la figure 3. Le terme de gauche dansl’e´quation (4) repre´sente la puissance incidente ponde´re´e par le facteur δ. L’hypothe`se pose´e ici consistea` conside´rer que l’e´nergie e´mise par M0 n’est pas entie`rement communique´e a` la masse M au fur et a`mesure que sa vitesse augmente. On distingue le cas limite ou` M va a` la meˆme vitesse que M0. Dansce cas, toute l’e´nergie e´mise se communique a` M . Inversement, quand M va a` la vitesse c, aucunee´nergie n’est communique´e a` M , car on suppose qu’il est impossible de transmettre de l’e´nergie a` unobjet qui ne peut eˆtre atteint. Dans le premier cas on a δ = 1 et dans le deuxie`me δ = 0. L’expression320e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011M0(R0) xyMFe−Feinteraction e´lastique0GixABFig. 5 – Masse M en interaction e´lastique avec la terre : repre´sentation graphique du champ depuissance dirige´e.comple`te de δ, ope´rateur alge´brique sans unite´s, est :δ(v) =√2 (c2 − v2)5/2c4√2c2 − v2 (6)La figure 4 repre´sente δ en fonction de v/c. En choisissant δ de la sorte, l’e´quation (4) est de´finie pour‖v‖ ∈ [0, c]. De plus, ce choix permet au mode`le d’eˆtre en accord avec la relativite´ restreinte. Ce pointest de´taille´ un peu plus loin.2.3 Proprie´te´s de l’interactionL’interaction est l’e´le´ment du mode`le qui de´termine les changements de mouvement de la masse M .C’est donc en maˆıtrisant cette interaction (c’est a` dire en maˆıtrisant la puissance dirige´e en tout pointde l’espace) que l’on pourra controˆler le mouvement et la position de M . Nous utilisons la notionde champ pour repre´senter, en un point quelconque de l’espace, la puissance dirige´e qui peut eˆtrecommunique´e. Ainsi on de´fini Gi le champ d’actuis, par :F = ∇Gi(x, y, z) =(∂Gi∂x,∂Gi∂y,∂Gi∂z)(7)Si l’on appelle Li le lagrangien d’un dispositif quelconque1 capable de fournir de l’e´nergie par action-nement, Gi est de´fini a` partir de Li par :Gi = co Li [W.m] avec : co =√2 c (8)Le scalaire co est homoge`ne a` une vitesse car il est proportionnel a` c. Par conse´quent, il est facile deretrouver le lien qui existe entre l’actuis et la force de la me´canique classique :F = ∇Gi = co∇Li ⇒ F = co F (9)En effet, la force est classiquement de´finie comme le gradient du lagrangien. Pour faciliter la compre´hensiondu champ d’actuis Gi, il est e´tudie´ sur un exemple simple.3 Exemple d’utilisation du mode`leConside´rons une masse au repos M situe´e pre`s de la surface de la terre. La masse au repos de laterre est M0 (voir figure 5). On conside`re par exemple une interaction de nature e´lastique entre cesdeux objets, laquelle est dirige´e le long de l’axe ~x. on appelle x la position de M que l’on confondavec l’e´longation du ressort, les deux e´le´ments e´tant lie´s. L’origine de R0 est choisie de sorte que pour1Exemple : pour un ressort Li = −12K x2420e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011Classique Energie dirige´eInteraction Li Gi = co LiMasse inertie Lm = −M c2√1− v2c2 Gm =M v√2 c2 − v2Loi de comportement F = ∇L = ddt ∂L∂v δ F = δ∇Gi = dGmdtUnite´ loi de comp. [N] [W]Tab. 1 – Comparaison entre l’e´criture classique et l’approche e´nergie dirige´e.x = 0, le ressort est au repos. Dans l’hypothe`se e´nonce´e pre´ce´demment ou` M << M0 et en tenantcompte de la proprie´te´ donne´e par l’e´quation 8, le champ d’actuis dans lequel e´volue M est :Gi(x) = co(−12K x2) [W.m] (10)ou K repre´sente la raideur de l’interaction en [N/m]. La repre´sentation graphique de Gi est donne´esur la figure 5. La puissance dirige´e que rec¸oit M pour une position donne´e est de´termine´ par la pentede Gi. L’e´nergie E que l’interaction peut fournir pour amener M du point A au point B vaut :E =Gi(B)− Gi(A)co[J ] (11)En appliquant le principe de conservation de l’e´nergie, on suppose que la puissance dirige´e, fourniepar l’interaction e´lastique, fait varier l’e´nergie dirige´e stocke´e par inertie dans M , comme e´nonce´pre´ce´demment dans (4) :δ∂Gi∂x=dGmdt⇒ −δ coK x = ddt(M v√c2o − v2)(12)Cette e´quation est la loi de comportement de la masse en interaction avec la terre au travers d’uneinteraction e´lastique. Nous allons montrer un peu plus loin que cette expression est en fait l’e´quationdu mouvement de la relativite´ restreinte.4 Comparaison avec l’approche classique relativiste4.1 Ecriture de la loi de comportementSelon l’approche classique relativiste, la fonction de Lagrange de la masse M est [5] :Lm = −M c2√1− v2c2(13)Lorsque M est en lien avec un dispositif d’actionnement quelconque dont la fonction de Lagrange estLi, la loi de comportement de l’ensemble masse/actionnement est obtenu en appliquant le principe demoindre action. L’action S est de´finie comme e´tant l’inte´grale du lagrangien du syste`me, lorsque Mva d’un point A a` un point B, entre deux instants t1 et t2 :S =∫ t2t1L dt avec : L = Li + Lm (14)La trajectoire que prend en re´alite´ M est celle qui minimise l’action S. Cette optimisation aboutit a`la loi de comportement : l’e´quation de Lagrange. Pour notre approche ✭✭puissance dirige´e✮✮, l’e´criturede la loi de comportement est tre`s simple. On distingue tout d’abord une masse de re´fe´rence M0 danslaquelle l’e´nergie est puise´e. Cette e´nergie transite a` vitesse finie, et se communique a` la masse M ,au point de rencontre, sous la forme d’une puissance dirige´e. La loi de comportement de M de´couled’une simple loi de conservation de l’e´nergie (voir l’e´quation (4)). Le tableau 1 est une synthe`se dese´quations utilise´es pour les deux approches.520e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 20114.2 Ve´rification de l’e´quivalence a` la relativite´ restreinteEn reprenant la loi du mouvement de M e´nonce´e par l’e´quation (4) et en de´veloppant les termes, a`partir de l’expression de δ et de F , nous obtenons :δ F = δ co F =ddt(M v√c2o − v2)⇔ F = ddt M v√1− v2c2 (15)Le mode`le propose´ est donc e´quivalent a` la relativite´ restreinte.4.3 Simplification du mode`le a` petite vitesseLorsque v << c, il est possible de simplifier l’e´criture du mode`le en gardant uniquement le premierterme des de´veloppements limite´s dans les expressions de δ et de Gm. On obtient au voisinage dev = 0 :δ = 1 Gm =M v co (16)La loi de comportement qui se de´cline maintenant est :δ F =dGmdt=M co v˙ ⇔ co F =M co v˙⇔ F =M v˙(17)On retrouve donc la relation fondamentale de la dynamique car co se simplifie.5 ConclusionLe mode`le pre´sente´ ici est un mode`le original qui est capable de calculer le mouvement des massesdans un cas ge´ne´ral. Sa particularite´ repose sur l’utilisation d’une grandeur non conventionnelle quel’on a appele´e l’actuis. Dans cette approche, l’origine du mouvement provient de l’actuis, grandeurdirige´e de nature e´nerge´tique et homoge`ne a` une puissance. Ainsi, toute interaction, de´rivant d’unpotentiel, s’exprime simplement a` partir de l’expression classique de son lagrangien, a` la constanteco pre`s et selon l’e´quation (8). L’actuis d’actionnement, s’apparente a` une transmission d’e´nergie a`vitesse finie dans le vide, provenant d’un objet mate´riel e´metteur d’e´nergie et obtenue par perte demasse selon l’e´quation (2), laquelle peut eˆtre capte´e durant sa course par un second objet mate´riel,le mouvement de ce second e´tant re´gi par l’e´quation (4). Le diffe´rentiel de vitesse entre les deuxobjets mate´riels induit des particularite´s quand la possibilite´ de transmission de l’e´nergie de l’un a`l’autre. Cette proprie´te´ est traduite mathe´matiquement par l’ope´rateur δ de l’e´quation (6). Le mode`lee´tant pose´, il reste a` de´terminer si ce mode`le a du sens pour la physique. En outre, pre´sente-t-il uninte´reˆt en me´canique, ou bien est-ce un simple artifice mathe´matique ? Y a t’il un avantage a` e´criredirectement sous la forme ✭✭e´nergie dirige´e✮✮, en distinguant d’un cote´ l’effet inertiel des masses, et del’autre les phe´nome`nes d’interaction ? Conceptuellement, est-ce plus inte´ressant de baˆtir un mode`lebase´ sur le principe de moindre action ou sur la simple conservation de l’e´nergie ? D’un point de vuemathe´matique, le mode`le est e´quivalent a` la relativite´ restreinte. Maintenant, Il reste un gros travailpour rendre ce mode`le objectif.Re´fe´rences[1] Lev Landau and Evgue´ni Lifchitz. Physique the´orique Tome 1 me´canique. isbn : 5-03-000198-0.Editions Mir Moscou, 1982.[2] H. Goldstein. Classical Mechanics. Addison-Wesley, 1980.[3] Jean-Marie Vigoureux. Les pommes de Newton. isbn : 2-226-14234-7. Albin Michel, 2003.[4] Jean-Marie Vigoureux. L’univers en perspective - Relativite´ restreinte. isbn : 2-7298-3113-4. El-lipses, 2006.[5] Lev Landau and Evgue´ni Lifchitz. Physique the´orique Tome 2 The´orie des champs. isbn : 5-03-000197-2. Editions Mir Moscou, 1989.6

Analyse d'une description énergétique de l'actionnement pour le calcul du mouvement des masses.

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