Čotić, Veselko

Croatian

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

150atka 32 (2023./2024.) br. 127Poznato vam je da je površina trokuta jednaka polovini umnoška dulji-ne jedne stranice i duljine visine na tu stranicu. Koristeći tu činjenicu, dokažimo nekoliko tvrdnji.PRIMJENA POVRŠINE TROKUTA U DOKAZIMAVeselko Čotić, Radoboj2aa vp⋅=      2bb vp⋅=                              2cc vp⋅=Primjer 1. Pravac p na slici usporedan je s dužinom AB. Što možemo reći o površinama trokuta DABC1, DABC2 i DABC3?Rješenje: Trokuti DABC1, DABC2 i DABC3 imaju zajedničku stranicu AB i jednake duljine visina pa su im i površine jednake.Primjer 2. U trapezu ABCD nacrtane su dijagonale AC i BD. Dokažimo da su površine trokuta DACD i DBCD jednake.Rješenje: Trokuti DACD i DBCD imaju zajedničku stranicu CD i jednake duljine visina, pa je ACD BCDp p∆ ∆= .Primjer 3. U trapezu ABCD dijagonale se sijeku u toči S. Dokažimo da su površine trokuta ∆ASD i ∆BCS jednake.Rješenje: Površine trokuta DACD i DBCD jed-nake su jer im je stranica CD zajednička, a duljine visina su im jednake. Trokut DACD sastavljen je od trokuta DASD i DSCD, a trokut DBCD sastavljen je od trokuta DBSC i DSCD. Kako je ASD SCD BCS SCDp p p p∆ ∆ ∆ ∆+ = + , slijedi da je ASD BCSp p∆ ∆= .151atka 32 (2023./2024.) br. 127Primjer 4. U trapezu ABCD nacrtane su dijagonale AC i BD i srednjica EF . Dijagonale trapeza sijeku se u točki S, a sjecišta srednjice i dijagonala su točke G i H. Dokažimo da su površine četverokuta EGSD i HFCS jednake.Rješenje: Uz oznake kao na slici vrijediEGSD ASD AGEp p p∆ ∆= − , HFCS SBC HBFp p p∆ ∆= − , pri čemu je (prema prošlom primjeru) 1ASD BCSp p p∆ ∆= = .Budući da je dužina EG  srednjica trokuta ∆ACD, vrijedi da je 12EG CD= . Isto tako, dužina HF  srednjica je trokuta ∆BCD, pa vrijedi da je 12HF CD= . Zato je |EG| = |HF|. Trokuti ∆AGE i ∆HBF imaju jednake duljine stranica i jednake duljine visina na te stranice, pa onda i jednake površine. Označimo 2AGE HBFp p p∆ ∆= = .Iz navedenog zaključujemo da je1 2EGSDp p p= −  i 1 2HFCSp p p= − , tj. pEGSD = pHFCS , što je i trebalo dokazati.Zadatci:1. U trokutu ABC označite polovišta stranica AC i BC  redom P i Q. Do-kažite da su površine trokuta DABP i DABQ jednake.2. Na slici je trapez ABCD s dijagonalama AC i BD. Dokažite da trokuti ABD i ABC imaju jednake površine.Literatura: 1.  Palman, Dominik, Planimetrija, Element, Zagreb, 1999.2.  Pauše, Željko, Matematički priručnik 1, Školska knjiga, Zagreb, 2003.DBCS

PRIMJENA POVRŠINE TROKUTA U DOKAZIMA

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia