Nesta seção descrevemos uma atividade para sala de aula que caracteriza a possibilidade de se definir a sequência de Fibonacci { f } ∈&nbsp; no campo dos inteiros. Assim, chamamos de sequencia estendida de Fibonacci e, descrevemos nossa mediação a partir dos pressupostos de uma metodologia de ensino conhecida no Ceará como Sequência Fedathi

Borges Neto , Hermínio

Regis Vieira Alves , Francisco

Portuguese

Portal Periódicos da UFRRJ (Univ. Federal Rural do Rio de Janeiro)

BOLETIM GEPEM  |  Nº 59 – JUL. / DEZ. 2011  |  135–140A Existência da Sequência de Fibonacci no Campo dos Inteiros: Uma Atividade de Investigação Apoiada nos pressupostos da Sequência FedathiFrancisco Regis Vieira AlvesProfessor, IFCEfregis@ifce.edu.brHermínio Borges NetoProfessor, UFCherminio@ufc.brResumoNesta seção descrevemos uma atividade para sala de aula que caracteriza a possibilidade de se definir a sequência de Fibonacci { f n}n∈¢ no campo dos inteiros. Assim, chamamos de sequencia estendida de Fibonacci e, descrevemos nossa mediação a partir dos pressupostos de uma metodologia de ensino conhecida no Ceará como Sequência Fedathi. Palavras-chave: Sequencia de Fibonacci. Sequencia Fedathi. Sequencia estendida de Fibonacci. A Existência da Sequência de Fibonacci no Campo dos Inteiros: Uma Atividade de Investigação Apoiada nos pressupostos da Sequência FedathiAbstractIn this section we describe an activity for the classroom that features the ability to define the Fibonacci sequence { f n}n∈¢ in the integers field. Thus, we call the extended Fibonacci sequence, and describe our mediation form the assumptions of a teaching methodology know as Sequencia Fedathi in Ceará. Keywords: Fibonacci´s sequence. Sequencia Fedathi. Extended. Fibonacci´s sequence. boletim_gepem_59.indd   135 3/4/12   2:14:19 PMBOLETIM GEPEM  |  Nº 59 – JUL. / DEZ. 2011  |  136A Existência da Sequência de Fibonacci no Campo dos Inteiros: Uma Atividade de Investigação Apoiada nos pressupostos da Sequência FedathiIntroduçãoEsta atividade foi elaborada por nós e pode ser aplicada no âmbito da disciplina de His-tória da Matemática. Ancoramos nossa abordagem na metodologia de ensino nomeada Sequência Fedathi – SF que, segundo Borges Neto et al (2001, p. 592), prevê um “clima experimental de investigação em sala de aula, semelhante ao processo de identificação, compreensão e solução um problema, por parte de um matemático profissional”. Assim, a situação inicial envolve a apresentação de um problema relacio-nado com a noção da possibilidade da descrição de uma definição formal para um objeto matemático e se pretende discutir sua existência. Destarte, ancorando nossa mediação nestes e outros pressupostos descritos pela SF, a atividade que pode ser proposta em sala de aula é a seguinte: sabemos que uma sequência em ° é definida por xn : • → °.            n a   xnDe modo particular, definimos a seguinte sequência descrita de modo recursivo, caracterizada por        f1 = 1  f5 = 2 + 3         f2 = 1  …  (a).        f3 = 1 + 1 = 2    …        f4 = 1 + 2 = 3    fn+1 = fn + fn–1 , ∀ n ≥ 2Esta sequência é emblemática e merece alguns comentários adicionais. Neste sentido, recordamos que Leonardo de Pisa (1180–1250), mais conhecido como Fibonacci, é considerado o matemático mais capaz e original do Ocidente no período medieval. Sua obra mais famosa é chamada o livro Líber Abaci de 1202 (DOMINGUES,1991, p. 73). Domingues (1991, p. 74) explica que, “provavelmente, para amenizar leitura do Livro do Ábaco, ou torná-la mais interessante”, Fibonacci incluiu no livro alguns problemas curiosos e estimulantes, dentre os quais, um veio a se tornar especial: “Um homem põe um casal de coelhos dentro de um cercado. Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, se a natureza desses coelhos é tal que a cada mês um casal gera um novo casal, que se torna produtivo a partir do segundo mês?”.O problema da modelização da produção de coelhos é bastante divulgado na literatura, entretanto, a exploração de um problema, por parte do professor de Mate-mática, influenciado pelos fundamentos assumidos na SF, não orienta a explicitação imediata do mesmo. De modo sistemático, seguimos as etapas:Fase 1 Tomada de posição – apresentação do problema.Na perspectiva do professor, devem ser claras as ideias principais relacionadas com o problema. No que se refere aos alunos, faz parte do seu papel a descoberta/boletim_gepem_59.indd   136 3/4/12   2:14:19 PMBOLETIM GEPEM  |  Nº 59 – JUL. / DEZ. 2011  |  137Francisco Regis Vieira Alves // Hermínio Borges Netoidentificação de um problema relevante. Assim, podemos questionar os alunos sobre as propriedades que podemos inferir da relação fn+1 = fn + fn–1 , ∀ n ≥ 2. De modo particular, podemos propor as possibilidades de se avaliar f0 = ? ou f–1 = ?. Esta fase inicial deve proporcionar o debate em sala de aula e os alunos têm a possibilidade de concluir que: f0 = 0 e devem fornecem a justificativa f1+1 = f1 + f1–1 p/n = 1, segue que f2 = f1 + f0 .·. f0 = f2 – f1 = 1 – 1 = 0. Paulatinamente, os alunos têm a possibilidade de con-cluir também que f0+1 = f0 + f0–1 p/n = 1 ∴ f1 = f0 + f–1 ↔ f–1 = f1 – f0 = 1 – 0 = 1. Dando prosseguimento a esta manipulações algébrico-aritméticas, podemos in-ferir ainda que: f–1+1 = f–1 + f–1–1 p/n = –1 ∴ f0 = f–1 + f2 , segue que f–2 = f0 – f–1 = 0 –1 = 1. A mediação do professor evolui com ênfase no raciocínio indutivo. Na próxima fase, explicitamos o problema em foco. Fase 2 Maturação – compreensão e identificação das variáveis envolvidas no problema. Nesta fase, os alunos são estimulados à identificação das variáveis mais pertinentes, ou melhor, dizendo, os elementos invariantes desta situação. Mas a partir da fase anterior, podemos orientar a construção das tabelas f–3 = 2 = f–1 – f–2      f–4 = –3 = f–2 – f–3      f–5 = 5 = f–3 – f–4            (b).      f–6 = –8 = f–4 – f–5      f–7 = 13      ????E o problema principal que se coloca é a possibilidade de generalização deste pro-cesso recursivo da sequência obtida acima. Os alunos devem elaborar conjecturas a respeito do comportamento dos símbolos f–2n e f–(2n+1) que descrevem os termos “pa-res” e “ímpares”. Mas podemos relacionar as relações (a) e (b) do seguinte modo:    f–1 = 1 = f1  f–5 = 5 = f5    f–2 = –1 = –f2  f–6 = –8 = –f6    f–3 = 2 = f3  f–7 = 13 = f7    f–4 = –3 = –f4  …E ainda que      f–1 = 1 = (–1)1+1 · f1 p/n = 1  f–5 = 5 = (–1)5+1 · f5                  f–2 = –1 = (–1)2+1 · f2 p/n = 2  f–6 = –8 = (–1)6+1 · f6                  f–3 = 2 = (–1)3+1 · f3 p/n = 3  f–7 = 13 = (–1)7+1 · f7                  f–4 = –3 = (–1)4+1 · f4 p/n = 3  …A partir destas relações, o docente estimula a conjectura da seguinte proprie-dade f–n = (–1)n+1 · fn. Outra propriedade que é estimulada à descoberta refere-se boletim_gepem_59.indd   137 3/4/12   2:14:19 PMBOLETIM GEPEM  |  Nº 59 – JUL. / DEZ. 2011  |  138às relações de recorrência que exibimos na figura 1. Nela explicitamos relações aritmético-algébricas de uma nova entidade conceitual, que denotamos por ( f–n) n ∈ • e que, caracterizada pela relação f–n– f–(n+1) = f–(n+2) ou f–n = f–(n+1)+ f–(n+2), para n ∈ •. A partir disto, definimos a “sequência estendida de Fibonacci”. Figura 1: Relações de recorrência entre os elementos da Sequência de Fibonacci estendida. Fase 3 Solução – apresentação e organização de esquemas/modelos que visem à solução do problema. Neste momento podemos demonstrar por Indução Matemática que f–n= (–1)n+1 · fn, ∀ n ≥ 0. Para tanto, definiremos o conjunto ℘: = {n ∈ •  |  f–n= (–1)n+1 · fn} ou o conjunto ℘:  =  {–n ∈ ¢ | f–n=  (–1)n+1 · fn}  e  já  verificamos  há  pouco  que {1, 2, 3 …, 7} ⊂ ℘. Usando a hipótese indutiva n ∈℘, nos resta verificar que n +1 ∈℘. Mas o método de demonstração por indução nos assegura que se pode escrever f–(n–1)= (–1)(n–1)+1 · fn–1 = (–1)n · fn–1. Vejamos agora o comportamento de f–(n+1)= f–(n–1) – f–n = (–1)n · fn–1– (–1)n+1 · fn= (–1)n · fn–1+ (–1)n · fn = (–1)n · ( fn–1+ fn) = (–1)n · fn+1. Por fim, concluímos que f–(n+1)= (–1)n · fn+1= (–1)(–1)(–1)n · fn+1 = (–1)(n+2) · fn+1. Um problema que podemos levantar aos estudantes diz respeito ao emprego do modelo de Indução Matemática aplicado ao campo dos inteiros negativos. Outro problema importante diz respeito à possibilidade matemática de definição de um novo objeto matemático (questão axiológica) e a verificação de sua existência (questão ontológica) Na próxima fase, indicamos uma abordagem que evita os problemas conceituais que deparamos em virtude do uso inadequado do método de Indução. Fase 4 Prova – formalização do modelo matemático a ser ensinado.Nos momentos finais de sua mediação, o professor deve explicitar e indicar as princi-pais propriedades formais que asseguram a consistência das operações e manipulações executadas nas fases anteriores. Aqui, na perspectiva da SF, exploramos a generalização do modelo matemático e evitamos o emprego da Indução Matemática. Verificamos  formalmente  que  f–2n=  –  f–2n ↔  f–(2n+1)=  f2n+1 para n ∈ •. Contudo, as relações estabelecidas na fase anterior, sugerem a relação de uma sequência recursiva f–(n–1)–  f–n=  f–(n+1)↔  f–(n–1)=  f–n +   f–(n+1) para n ∈ • ou ainda f–(n–1)= f–n+  f–(n+1) (ver fig. 1). Notamos ainda que as relações f–2n= –f2n e f–(2n+1)= f2n+1 para n ∈ • de algum modo se  relacionam. Neste  sentido, vamos admitir pro-A Existência da Sequência de Fibonacci no Campo dos Inteiros: Uma Atividade de Investigação Apoiada nos pressupostos da Sequência Fedathiboletim_gepem_59.indd   138 3/4/12   2:14:19 PMBOLETIM GEPEM  |  Nº 59 – JUL. / DEZ. 2011  |  139visoriamente que seja válida a seguinte relação f2n+1= f–(2n+1). Mas desde que, a partir  da  relação  de  recorrência,  escrevemos,  substituindo  ‘n’  por  ‘2n’,  que f–(2n–1)= f–(2n)+ f–(2n+1) ↔  f(2n–1)=  f–(2n)+ f(2n+1) ∴ f(2n–1)– f(2n+1)= f–(2n) (c). Por outro lado, usando a re-lação clássica da sequencia de fibonacci, consideramos f2n+1=  f2n+ f2n–1 ∴ f2n–1 – f2n+1= – f2n (d). Segue que de (c) e de (d) – f2n= f(2n–1)– f(2n+1)= f–(2n)↔ f–2n= – f2n. De modo análogo, assumimos provisoriamente que f–2n= –  f2n e verifica-mos que f–(2n+1)= f2n+1. De fato, substituindo (2n–1) na fórmula  f–(n–1)= f–n+  f–(n+1), obtém-se que f–(2n–1–1)= f–(2n–1)+  f–(2n–1+1) ∴ f–(2n–2)= f–(2n–1)+  f–2n. Agora, escrevendo – f(2n–2)+ f2n  =  f–(2n–2)– f–2n=  f–(2n–1). Segue que f–(2n–1)= f2n–  f(2n–2), e usando a lei de recorrência clássica, estabelecemos no final que f2n–2 + f2n–1= f2n ∴ f2n–1= f2n– f2n–2. Consequentemente f2n–1= f2n– f2n–2= f–(2n–1)↔ f2n–1= f–(2n–1). A partir deste raciocínio, evitamos a aplicação do modelo de Indução Matemática aos índices de . Assim, podemos descrever a sequência { fn}n ∈ ¢. Considerações e recomendaçõesEsta atividade que pode ser proposta em sala de aula apresenta dois aspectos que merecem ser ressaltados. O primeiro diz respeito aos resultados inesperados que obtivemos à respeito de uma sequência que permite, por meio de uma regra, calcular qualquer termo em função do(s) antecessor(es) imediato(a) (inclusi-ve em ¢). A sequência de Fibonacci é recursiva (LIMA, 2000, p. 65), assim, usando a relação recursiva, muitas das conjecturas formuladas nas fases da SF foram apoiadas no raciocínio indutivo, o que difere do emprego do método de demonstração por Indução. Outro aspecto que se sobressai, diz respeito à possibilidade de definirmos um novo objeto conceitual e verificarmos sua existência. Vale destacar que alguns lógicos afirmam que devemos definir apenas coisas existentes, todavia, Kennedy (1973, p. 239) menciona que “Mill iniciou a partir de uma definição de algo que não existe e supôs sua existência, chegando a um resultado absurdo. Porém, a absurdez deriva do fato da suposição de existência de algo definido, e não do fato de se ter definido algo que não existe.” (KENNEDY, 1973, p. 239). Assim, na apresentação desta atividade, assumimos a posição segundo a qual podemos definir o objeto matemático que neste escrito chamamos de “sequência estendida de Fibonacci”. Sua existência poderá ser questionada na medida em que depa-ramos alguma inconsistência,  todavia, outros  trabalhos (ALVES & BORGES NETO, 2010), nos informam que não há inconsistências. Destacamos o caráter de sua originalidade, na medida em que identificamos a escassez de trabalhos que sugerem exploração similar em sala de aula. Francisco Regis Vieira Alves // Hermínio Borges Netoboletim_gepem_59.indd   139 3/4/12   2:14:20 PMBOLETIM GEPEM  |  Nº 59 – JUL. / DEZ. 2011  |  140Referências ALVES, Francisco. R. V. & BORGES NETO. Hermínio. Sequências de Fibonacci e de Lucas: Uma aplicação da Sequência Fedathi. In: V Colóquio de História e Tecnologia do Ensino da Matemática. Recife, 2010, p. 1-10. Disponível em: http://www.gente.eti.br/htem5/BORGES NETO, Hermínio. et al. A Seqüência Fedathi como proposta metodo-lógica no ensino-aprendizagem de Matemática e sua aplicação no ensino de retas paralelas, XV EPENN – Encontro de Pesquisa Educacional Do Nordeste, São Luis, 2001, p. 590-609.DOMINGUES. Hygino. H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Edit. Atual, 1991. LIMA, Elon. L. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, v. 2. 2000. KENNEDY, Hubbert. C. Selected works of Giuseppe Peano. London: George Allen & Unwin Ltd, 1973. Submetido em outubro de 2011Aprovado em dezembro de 2011A Existência da Sequência de Fibonacci no Campo dos Inteiros: Uma Atividade de Investigação Apoiada nos pressupostos da Sequência Fedathiboletim_gepem_59.indd   140 3/4/12   2:14:20 PM

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