In present article, construction of a binomial tree for calculation of cost of an option «call» in Microsoft Excel is considered. Key ideas and assumptions of model are resulted a basic formula for calculation. Calculation of cost of an option "call" on rate USD/RUR is lead

Фатьянова, М. Э.

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

Секция № 2 «Математическое моделирование и технологии высокопроизводительных вычислений»  77 УДК 004 РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО  ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СТОИМОСТИ ОПЦИОНА «CALL» НА ЯЗЫКЕ VBA М.Э. Фатьянова  Научный руководитель: М.Е. Семенов, к.т.н., доцент каф. ВМиМФ ТПУ  Национальный исследовательский Томский политехнический университет E-mail: mef1@tpu.ru  In present article, construction of a binomial tree for calculation of cost of an option «call» in Microsoft Ex-cel is considered. Key ideas and assumptions of model are resulted a basic formula for calculation. Calcula-tion of cost of an option «call» on rate USD/RUR is lead.   Key words: Binomial tree, model, option, cost, rate USD/RUR. Ключевые слова: биномиальное дерево, модель, опцион, стоимость, курс USD/RUR.  Целью данной работы является построение биномиального дерева для вычисления стоимости опциона «call» в Microsoft Excel. Биномиальная модель вычисления стоимости опционов  Аналитические формулы имеются лишь для очень ограниченного набора экзотических опционов: бинарных, простейших видов барьерных и азиатских, а также некоторых других. Поэтому в абсолютном большинстве приходится использовать численные методы оценки. Численные методы включают в себя биномиальный и Монте Карло.  Приведем общую формулу для многопериодной биномиальной модели (БМ):   ( )( ) ( )1 ! max 0;1! !0n jn jn j n jс S Xpp u dn j n jjR−⎡ ⎤⎛ ⎞ −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −∑⎢ ⎥−⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ −=⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (1) Формула (1) говорит о том, что цена опциона равна дисконтированной стоимости суммы ожидаемых выплат по контракту к моменту его истечения. Весь срок обращения разбит на n пе-риодов. Соответственно, в знаменателе Rn – это коэффициент дисконтирования, который учиты-вает ставку без риска и количество периодов. Числитель показывает ожидаемое значение суммы выплат по опциону с учетом вероятности каждого конкретного исхода. Поскольку мы рассмат-риваем биномиальный процесс, то в каждом периоде цена акции может пойти либо вверх с ве-роятностью p, либо вниз с вероятностью (1-p). Индекс j показывает количество периодов, когда цена акции возрастала из общего числа периодов n. Величина (n-j) соответственно, говорит о количестве периодов, в течение которых цена акции падала. Знак суммы в формуле показыва-ет, что количество возможных вариантов роста цены акции имеет диапазон от j = 0 до j = n. При j = 0 оценивается вероятность падения цены акции в каждом периоде. При j = n оценивается вероятность роста цены акции в каждом периоде. Оцениваются все возможные комбинации движений цены акции за n периодов. Выражение ( )( )!!! jnjn −⋅  показывает количество различных комбинаций движения цены акции, которые дают одну и ту же цену к моменту истечения кон-тракта. Выражение pj⋅(1-p)n–j говорит о вероятности события, когда курс акции вырастет j раз и упадет (n-j) раз. Комбинация [max (0; uj⋅dn–j⋅S-X)] дает выплату по опциону к моменту истече-ния контракта, если цена акции росла в j периодах на величину u и падала в (n-j) периодах на ве-личину d. Все выражение без знака суммы формулы (1), которое стоит перед [max (0; uj⋅dn–j⋅S-X)] показывает вероятность того, что цена акции будет расти в j периодах из n периодов и падать в (n-j) периодах с учетом всех возможных комбинаций роста и падения цены акции [1]. Основное допущение БМ для цен опционов состоит в том, что рынок опционов являет-ся эффективным, т. е. спекулянты не могут получить чрезмерную прибыль от комбинации с  XII Всероссийская научно-практическая конференция«Технологии Microsoft в теории и практике программирования» 78 базисным инструментом и опционом при их одновременной покупке и/или продаже [2]. Представление модели обычно строится для европейского опциона, который может быть ис-полнен в день погашения.  Построение биномиальной модели Для демонстрации наглядного примера рассмотрим маржируемый опцион call (колл) на фьючерсный контракт на курс доллар США – российский рубль. Возьмем исторические данные за период: 01.10.13–20.01.14, так как для этого промежутка времени ранее проводилось конст-руирование СП. Пусть страйк Е = 32250 руб.; текущая цена базового актива Ps = 32237 руб.; риск базового актива σ = 14.99 %; срок Т = 0.27 года (3 мес.); безрисковая ставка r = 6.5 %.  Так как страйк E по отношению к Ps не является «дальним», то для построения доста-точно взять n = 50 периодов. Отметим, что при увеличении n, точность вычисления будет расти. Таким образом, построим n = 50 – периодную биномиальную модель, добавив к имеющимся новые входные параметры: u = 1.01; d = 0.99; p = 0.51; q = 0.49.  Используя формулу (1) работы [3] рассчитаем сначала цену фьючерса на курс дол-лар/рубль, а затем найдем цену опциона на фьючерс. В результате у нас получится 2 «тре-угольника чисел» протяженностью по вертикали и горизонтали в n = 50 периодов (рис. 1).    Рис. 1. Первые 9 периодов n = 50-периодной биномиальной модели Таким образом, мы получим стоимость опциона по биномиальной модели: Vc2 = 1282.09 руб. Ранее было получено, что стоимость опциона по формуле Блэка-Шоулза Vc1 = 1286.45 руб. Наглядно видно, что расхождение между этими значениями составляет 0.34 %.  Биномиальная модель ценообразования тоже имеет следующие ограничения: траекто-рии цен, описываемые с помощью модели, более плавны и потому менее реалистичны, чем наблюдаемое на практике поведение цен. В реальной жизни бывают дни как с очень высо-кой, так и с очень низкой волатильностью. Модель же не предусматривает сильного роста или падения цен за первый временной шаг. В качестве следствия можно отметить, что метод является удобным для проверки результатов оценки другими методами, однако для «глубо-ких» страйков метод не рекомендуется к применению ввиду равномерности сетки и отсутст-вия детализации «на концах». Тем не менее биномиальная модель – хороший компромисс между точностью метода «Монте-Карло» и скоростью расчетов по модели Блэка-Шоулза.  Список литературы 1. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические производные. – М.: НТО – 2008. – 512 с. 2. Мицель А.А., Евремов В.А. Финансовый инжиниринг на рынке опционов // Извес-тия Томского политехнического университета. – 2009. – № 6. – С. 47–49. 3. Крицкий О.Л. Случайные процессы. Алгоритмы. Методы. Решения. – Saarbrucken: Palmarium Academic Publishing, 2013. – 144 c. 

Реализация метода Монте-Карло для вычисления стоимости опциона "call" на языке VBA

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University