For solutions of the nonlocal Fokker-Plank equation the system of Einstein-Erenfest has been obtained in the class of semiclassically concentrated on k-dimensional manifold in n-dimensional space function. The solution of the referred integro-differintial equation has been reduced to the solution of the corresponding differential equation in the case of quadric linear potential

Иванов, Дмитрий Андреевич

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ СТУДЕНТОВ И МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ «ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ НАУК» Россия, Томск, 21-24 апреля 2015 г.               МАТЕМАТИКА 701 СИСТЕМА ЭЙНШТЕЙНА-ЭРЕНФЕСТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА Д.А. Иванов1 Научный руководитель: профессор, д. ф.-м. н. А.Ю. Трифонов2 1Национальный исследовательский Томский государственный университет, Россия,  г.Томск,  пр. Ленина, 36, 634050 2Национальный исследовательский Томский государственный университет, Россия,  г.Томск,  пр. Ленина, 30, 634050 E-mail: ivanovda@tpu.ru  THE SISTEM OF EINSTEIN-ERENFEST FOR FOKKER-PLANK EQUATION D.A. Ivanov Scientific Supervisor: Prof., Dr. A.Yu. Trifonov 1Tomsk State University, Russia, Tomsk, Lenin str., 36, 634050 2Tomsk Polytechnic University, Russia, Tomsk, Lenin str., 30, 634050 E-mail: ivanovda@tpu.ru   Annotation. For solutions of the nonlocal Fokker-Plank equation the system of Einstein-Erenfest has been obtained in the class of semiclassically concentrated on k-dimensional manifold in n-dimensional space function. The solution of the referred integro-differintial equation has been reduced to the solution of the corresponding differential equation in the case of quadric linear potential.   Нелокальное уравнение Фоккера-Планка описывает эволюцию функции плотности вероятности координат и импульсов частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления [1]. Запишем многомерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью и постоянным тензором диффузии:          ,, , , , ( , ) , , , ,nRx xu x tD D TD D V x t u x t u x t W x y t u y t dyt x x x                   (1) где Т - некоторая постоянная матрица переноса, D - малый параметр, .,.    -скалярное произведение, ,x yℝⁿ,    , , , ,x xV x t W x y t    - коэффициенты дрейфа, представляющее собой бесконечно гладкие функции, растущее при ,x y    не быстрее чем полином. Решения уравнения (1), будем называть квазиклассически сосредоточенными на многообразии kt  [2]:   ( , ) | , 0, , 0k kt X t R t T T       , где  1,..., k   - параметры многообразия. Вещественная функция ( , )u x t  принадлежит классу квазиклассически сосредоточенных класса (k), если для нее существуют обобщенные пределы  0lim ( , ) ( , ) ( ) .Du x t x X t d        XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ СТУДЕНТОВ И МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ «ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ НАУК» Россия, Томск, 21-24 апреля 2015 г.               МАТЕМАТИКА 702 Здесь ( )d     мера на ,kt  ( ) 1d   .  Если функция ( , )u x t   является квазиклассически сосредоточенным решением уравнения (1), то ( , )X t    удовлетворяет уравнению [2]:          ( , )( , ), , , , , .x xdX tV X t t W X t X s t t s dsdt         (2) Уравнения (2) называются системой Эйнштейна-Эренфеста k-го порядка. Особый интерес представляют собой случай симметричной функции  ,W x y , а именно:       , ,W x y W y x W x y     (3) Если условие (3) выполнено, то вектор-функция ( ),СX t   описывающая динамику центра масс, удовлетворяет следующей задачи Коши   ( ) ,(0) ( ,0) ( ) .Сx ССdXV X tXdX dt       (4) Отсюда видно, что динамика центра масс системы определяется системой Эйнштейна-Эренфеста 0-го порядка. Рассмотрим случай квадратичного потенциала  V x       , , ,V x x Ax b x C     (5) где ,  A b  и C  не зависят от x . При выполнении условий (3) и (5) решение можно записать в виде: ( , ) ( , , ) ( ) ( ),СX t x s t s ds X t       где функция ( , , )x s t    решение следующей задачи Коши:  ( )( ),( , ,0) ( ,0) ( ,0).x xd xV x W xdtx s X X s          В качестве примера рассмотрим систему с  2( ), ( , ) exp2 2x x yV x k W x y      и начальным условием ( ,0) (cos( ),sin( ))X    . Будем изучать функцию 2 2( , , ) ( , , ) ( , , )r s t x s t y s t      . Она удовлетворяет уравнению:    2 22 2( , ,0) cos( ) cos(exp ,2) sin( ) sin( ) .drkrdtr srs s            (6) XII МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ СТУДЕНТОВ И МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ «ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ НАУК» Россия, Томск, 21-24 апреля 2015 г.               МАТЕМАТИКА 703 Система (6) допускает два стационарных решения 1 20, 2lnkr r   .Решение 1r  устойчиво    1 и 0, 0,1 и 0, 0.kkkk        Решение 2r  устойчиво, если  0 1 и 0, 0kk      Условия на устойчивость стационарных решений системы (6) совпадают с условиями для исходной системы это показано на графиках (рис. 1, 2)                        Рис. 1. Эволюция решения при k=1 и λ=5 с Δt=0.4 Рис. 2. Эволюция решения при k=5 и λ=1 с Δt=0.4 Квазиклассически сосредоточенные решения, уравнения Фоккера-Планка удовлетворяют системе интегро-дифференциальных уравнений (2) Эйнштейна-Эренфеста. Показано, что при выполнении условий (5) и (3), система интегро-дифференциальных уравнений (Эйнштейна-Эренфеста) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.  Работа частично поддержана программой «Наука», контракт № 1.676.2014/ K; грантом РФФИ № 15-06-05418.  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  1. Frank T.D. Nonlinear Fokker-Plank equations. – Springer, Berlin, 2004. – 1-17 с. 2. Лямкин В.А., Резаев Р.О., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Система Эйнштейна-Эренфеста типа (k, 1) для нелинейного уравнения Фоккера-Планка // Вест. Адыгейского гос.универ. Серия "Естественно-математические и технические науки". 2009. Вып. 2 (44). С. 25-37. 

Система Эйнштейна-Эренфеста для уравнения Фоккера-Планка

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University