Корнилов, В. Е.

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

И З В Е С Т И ЯТО М СК ОГО  О Р Д Е Н А  О К Т Я Б Р Ь С К О Й  Р Е В О Л Ю Ц И И  И О Р Д Е Н А  Т РУ Д О В О Г ОК Р А С Н О ГО  З Н А М Е Н И  П О Л И Т Е Х Н И Ч Е С К О Г О  ИНСТИТУТА им. С. М. К И Р О В Ат. 245 1975 г.П Р И Л О Ж Е Н И Е  Ц Е П Н Ы Х  Д Р О Б Е Й  К В Ы Ч И С Л Е Н И Ю  Н Е П О Л Н Ы Х  Ф У Н К Ц И Й  ГАУССА И К У М М Е Р АВ. Е. КОРНИЛОВ(Представлена кафедрой высшей математики)В с т а т ь е  р а с с м а т р и в а е т с я  в о п р о с  о п р е д с т а в л е н и и  н е п о л н ы х  ф у н к ­ций Г а у с с а  и К у м м е р а  с у м м о й  п о д х о д я щ е й  д р о б и  и о с т а т о ч н о г о  ч л е н а .  П р и  э т о м  о с т а т о ч н ы й  ч ле н  по м о д у л ю  м е н ь ш е  м о д у л я  р а з н о с т и  д в у х  с о ­с е д н и х  п о д х о д я щ и х  д р о б е й  в с о о т в е т с т в у ю щ е й  о б л а с т и  к о м п л е к с н о г о  п е р е м е н н о г о  г.1. Ф у н к ц и и  Г а у с с а  F и К у м м е р а  2Г 0 ( а с и м п т о т и ч е с к и й  р я д )  п р е д с т а ­вим  с л е д у ю щ и м и  и н т е г р а л а м и :*  І :1 (т )I=  J V - 1 O  - / + - C T 1 O  — tz)dt; ß > 0 ,  у >  ß. ( I )Ооог  (« )г  А  ß; - M  =  Z1 +  I 2 =  j1 Z““ 1 : 2 ) - 3  a >  0 .  (2 )ОП о  а н а л о г и и  с н е п о л н ы м и  б е т а -  и г а м м а - ф у н к ц и я м и  н а з о в е м  н е ­п о л н ы м и  ф у н к ц и я м и  Г а у с с а  или  К у м м е р а  с о о т в е т с т в е н н о  и н т е г р а л ы(1) и ли  (2), е с л и  о д и н  из  п о с т о я н н ы х  п р е д е л о в  и н т е г р и р о в а н и я  з а м е ­нить  п е р е м е н н ы м  п р е д е л о м  и н т е г р и р о в а н и я  х  ( 0  <  л; <  1 или  0  <  х <  <  +  сю ).2. Интегралы (1) и (2) с помощью переменного предела а  пред­ставим соответственно суммой интегралов J u J 2 и I u  / 2, полученные интегралы преобразуем и окончательно имеем:00 °° (а \Jt-PZ1=  V a /  =  V - + -  F (ß +  п;ß +  1 -  Т; ß +  +  I; X + ! ,  + +  +  « ) • +X X n Zn; 0 < х < \ ,  T> ß  +  1, a < 1.( 3 )( I - X ) T - P  - + 0 (T _ ß  +n)-nX  R ( t  — ß +  ft, 1 — ß; Y — ß +  n -f  I;  1 — * )  (1 — •)-»;O <  W <  1, ß > l ,  a < l .52n=o ft!л=0£а-\-п— 1 g JtV ¢(; Y ' "Z (5 )0  < С  x  <  - Г  оо, P O .ех x 1 - а OOI O - V( I  —  x : z )- ß  2  2 d  n = OOO4II »K ON S~ à OI( 2 — *) '/a - 1( 2  -( 6), О <  X <  +  о о , ß <  I .)H a  о с н о в а н и и  р а в е н с т в  (1) —  (6 ) ,  т е о р е м ы  ( [ 1 ] ,  стр .  2 1 1 ) ,  а т а к ж е  ( [ 2 ] ,  стр .  226;  [ 3 ] ,  з а д а ч а  1 2 2 0 ) о п р е д е л и т е л иCip . . . CLp + m — I dp  . . .  iap+m—I . . . ßp+2m—2, . . . ,dp+m—I • • • d p+2m—2р , т =  1, 2 , . . .п о л о ж и т е л ь н ы .  П о э т о м у  с т е п е н н ы е  р я д ы  (3) — ( 6 ) п р е д с т а в л я ю т с я  к а ж ­д ы й  с у м м о й  п о д х о д я щ е й  д р о б и  и о ст а т о ч н о г о  ч л е н а ,  к о т о р ы й  по м о д у л ю  м е н ь ш е  м о д у л я  р а з н о с т и  д в у х  с о с ед н и х  п о д х о д я щ и х  д р о б е й ,  и эти  о ц е н ­ки с п р а в е д л и в ы  с о о т в е т с т в е н н о  в с л е д у ю щ и х  о б л а с т я х  к о м п л е к с н о г о  п е ­р е м е н н о г о  г  [4] :Rez, Re ^  (~г~) ’ ^ ° ‘П р и  у с т а н о в л е н и и  п р е д е л о в  и з м е н е н и я  п а р а м е т р о в  ф у н к ц и й  F в р а ­в е н с т в а х  (3 ) ,  (4) н е о б х о д и м о  т а к  п о д о б р а т ь  з н а ч е н и я  п а р а м е т р о в ,  ч т о ­бы  в п р е д е л ь н о м  с л у ч а е  (х =  1 и л и  X =  O с о о т в е т с т в е н н о )  эти  ф у н к ц и и  м о н о т о н н о  у б ы в а л и  с у в е л и ч е н и е м  и н д е к с а  п [4 ] .Н а п р и м е р ,  д л я  ф у н к ц и и  F р я д а  (3) и м е е м  ( [ 5 ] ,  стр.  374,  (67)F(ß +  ra, ß +  1 - т ;  Р +  Я +  1; 1 ) =  r (ßZ + ! )I , (Tr ß) •Г(1)Г(Т +  я)П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь  +  ^  -  — -Ira =  O, 1, 2 , . .  м о н о т о н н о  у б ы -Г ( т  +  « )в а е т  т о л ь к о  в т о м  с л у ч а е ,  е с л и  7  >  ß —|— 1. Д л я  ф о р м у л ы  (4) э т и м  у с л о в и е м  я в л я е т с я  н е р а в е н с т в о  ß > l .ЛИТЕРАТУРА1. И. П. Н а т а н с о н .  Теория функций вещественной переменной. М., Гостехиздат, 1957.2. В. Л. Д  а н и л о в, А. И. И в а н о в а и др. Математический анализ (функции, пре­делы, ряды, цепные дроби). М., Физматгиз, 1961.3. И. В. П р о с к у р я к о в .  Сборник задач по линейной алгебре. М., Гостехиздат, 1957.4. В. Е. К о p h  и л о в. Приложение цепных дробей к вычислению обобщенных гипер- геометрических функций. Изв. ТПИ, т. 205, 1972.5. В. И. С м и р н о в .  Курс высшей математики, том 3, часть вторая. М., Гостехиз­дат, 1953.

Приложение цепных дробей к вычислению неполных функций Гаусса и Куммера

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University