Корнилов, В. Е.

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

И З В Е С Т И ЯТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГОКРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВАТом 205 1972П Р И М Е Н Е Н И Е  П Р О И З В Е Д Е Н И Я  БИ Н О М О В  Д Л Я  В Ы Ч И С Л Е Н И Я  Ф У Н К Ц И И  ГАУССАВ. Е . КОРН И ЛОВ(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)В статье излагается вопрос о получении приближений функции Гаусса в виде произведения биномов.  Эти приближения получены на основе теории цепных дробей и могут быть применены для  вы ч исле­ния изучаемой функции.Функция  Гаусса содержит параметры а, Р и т ,  которые в этой статье представлены при изменении в следующих интервалах у >  а >  — К T >  ß >  0, y > 2 ß  — 1; z — комплексное переменное.1. Гипергеометрическая  ф у н к ц и я —функция Гауссагд е(а)* (ß)ft( ï ) / c  л ; !Т + 0 ,  — 1, . . . ;  | a rg ( l  +  z)| <  тс, ( I )CL -j- }п ДH«. P; T;-г)=2+г%-*)и/с= и  T  )  к K î(а)к =  а  ( а  +  I ) . . .  (a +  к  — I) =  1 , ( а ) 0 = 1 ,преобразуется  следующим образом:E J ,  ß; 7 ; — =  (a’ß; г -  г> =Z=  e X p J j  [ F J ,  Р; т; — z ) ] " 1 ûf [ ^ ( а ,  ß; т; - Z ) ]  },От .  е.aß/7 (а +  1, ß +  І; у + 1 ;  — t)F J ,  ß; -f; -  2 ) =  е х р  —  /T E J ,  ß; y; —dt (2)Д а л е е  к числителю подынтегральной функции (2) применим р е к у р ­рентное соотношение ([1], стр. 313)— F  (a +  1, ß -f- 1; Т + 1 ;  — t) =  -—— F  (a, ß; у; — t) —T 1 + t- T - E  F ( a  +  1, P; T + 1 ;  - D  (3)T I -T a144и заменим отношение двух  рядов известным разложением  его  в ц е п ­ную дробь  ([2] , стр. 132), тогда после некоторых упрощ ений п р е д ­ставим функцию  (1) в виде сл е д у ю щ е го  произведения:f O- ß; т; — z) =  (1 -f- г ) “ " е х р  [а (-[ — ß)Р-2п+\ ( t )X  exp — а ( ТГ Т 7 ІQ2ntI (t)I +  dt  ]Xгдер2я+і (z) =  — а  (y — ß) J  i (t)OP A t)  Idt+  t(4)(5)Q A Q'i ^  ! Га*2 +  ... H-----ака і =  Тз а 2т<*2т + 1 ~__ (т 4- 2 т  — 1)(а~1~ \ )т-\ (у — ß -j- l )m-l  J 1 (ß)m (T -  «)« T( T + 2 « ) ( ß ) m(T— « J m=-- 1, 2 , . . .  ;m/?2л+1 (O = а2/сСТ1(6)(7)K=/!+ 1 Q2K-I (t) T-I D)Д л я  числителя  и -знаменателя  подходящ ей  дроби (6) известны равенствами соотнош ение  ([3],  стр.  13, 14):Pÿn + l (t) — 1 4 -  ... + ( ï  +  1) 2  n I( * + l ) „ ( r - ß + l ) „  P(т CT 1)2л(а  CT 1)л(Т — ß CT On P— p 2n+l{t), (8)Q2/1+1 ( t )  =  У  +  ... 4 ( ï W im=0(1)2  n +1—  172л+1 (t).. («C T V U t - P  + 1)» PQ2n+\ (Z )  =  ( a 2n а2л+1 CT I CT е д с т )  Q2„_,  (г)O )2. Так_[как  limI(10)<*2л—I j  —1L i TOi ввиду ([3] , стр. 26),  все кор-  рц-г.>- К-KX) tOLk CLk+I 4ни ["многочлена Q2n tI(Z) вещественные,  расположены в интервале ( — оо, — 1), поэтому и ввиду равенства (9)Q ^ t H O  ~( T ) 2Л 4-1п  I —  +  —(a CT 1)л(т — ß +  H n т=Л tйі >  Ci2>  ... >  >  110. Заказ 2930.( H )145Отсюда нетрудно сделать  вывод,  что при изменении t  вдоль  рпямо-  линейного  отрезка ,  соеди няю щ его  точки 0 и г:1) в областяхRe (Z) >  О и Reминимум2) максимум частногоf  + -Z ( L1V tб уд ет  при t  = z;1<  — I : i —1 1 \  ( T )>  1 - > - . а тв указанных областях  измене-QiK-1 (/)[ния комплексного  переменного  /  та к ж е  будет  при t  =  z. Поэтому можно  получить  сл е д у ю щ е е  неравенство  относительно модуля  интег­рала  (5):р2„+і О)/ <  I a I (y — ß)| j (z)| J  — dt  I (12)При интегрировании вдоль радиуса  точки z  получим ( [4) , стр. 430):'41) если R e (z )M 0 ,  то (iJОdtI + t<  UIZI =  U2) если Re( —  ) <  — 1, то | J <  1 и14" d \ tI Mt I ^  [ M ITTTTTs= J T =In (IВвиду излож енного  вводится функция12 1 дл я  О,(г) = In (1 — |z|) I для  I — ) <  — 1 (13)и упрощ ается  неравенство  (12)IP2л-и (z)I <  т (г) I a I (y — ß) (z). (14)3. Бесконечный функциональный ряд  (7) оценивается  по модулю  аналогично,  как это было сделано  дл я  цепной дроби (6) при ß =  1 в статье ( | 5 | ,  стр, 24), а именно: ввиду (7), (9), (14) и 7 M 2 ß — l, п осле некоторых  упрощ ений получим:где|р2л + і ( г ) | <D  =UU(z) v  l ( « ) J ( ß ) « - i ( t  — Р ) к ( т  —  « L U 2а: —12 к—я+1 К т )2 к -1 р |42л+1 (Z)I2 [з (Z)I[• 1 для  Re(Z)MО,I 1 +  г I для  Ref± ) < - 1(15)(16)Н етрудно  проверить ,  что отношение последую щ его  слагаемого  к пре д ы д у щ е м у  в сумме (15) меньш е 14з ( г ) - г _1/ ~ 2, а т а к ж е(*+!)„ (Р)„ (т - ß Ы)л (т - * + 1)л Kt + і)>л1 -2 < 2-L146поэтому после упрощений окончательно получим сл едую щ ую  оценку  по модулю для  интеграла (5):In / _ \ I -  T ( z ) g ( z ) | a z 2" + 4  ( f  — p ) ( f — a ) .' 2П+І 1 [4з (z)]2 -  I z 12 ' 24«-з I Ç2n+1 {z)ÿ >4a (z) >  I z I , (17)где x(z) и a (г) принимают значения согласно равенствам (13) и (16).Равенство (4) с учетом (8) и (9) можно записать в виде с л е д у ю ­щей суммы:F ( a, p; y; -  z) =  (I +  z ) - * e x pa (T — P) Г Ріп+(Z) J  <72/1 + 1 (Z) I H— Z -FO+  7-2,.+1(2) = F 2«+i(z)  +  r 2n+i(z) ,  (18)гдеГ2n+l (2) =  02Л+1 (2) [ехр [р2я + | (г)]  — I).Н етрудно  вычислить, что—  Y+I Fin+(г) I < |  ( I  +  z)  iI e x p l p 1 ( 2+поэтому+ 2,.+1 (Z)I < 1 ( 1  + 2) i I e x p l p 1 (z)|  [ e x p ІР2Л+1 (г)| -  I]. (19)4. Теорема.  Гипергеометрическая  функция (1) представляетсяследующим произведением биномов:в ТО Р; т; — 2) = (1 4- z)*o П  ( 1 +  —) т +  г2л+1 (г), (20)* - 1 \  flWгдет=1(а )я+1 (ß)«+ 1а т )  ( Т)2л+1 Ç'2-n + l ('  1)aß (у a)(Y ß) ат A 2n+\ ( ат) , , 9yW j  > а ••• (^-1)Т2( т +  1)(1 ~ а т) ^  [Ч2п+\ ( — ат)\  dzМногочлены Л2я+і(г ) ,  92л+ і ( г ) ,  /?2л+1 (z) следующие;A1 (2) =  0 ; +  (0) =  9, ( 2) = / 4 (2) =  1,» < « > - +  Т О Т О О Д  д-<г» =  1 +  <1 Т ^ 7 Й г , г і <22>они для  п — 2, 3 , . . .  определяются  последовательно с помощью соот­ношения (25),Верхняя  граница | r2n+ і (z) | в областях комплексного переменно­го Re  (г) > 0  и Re ( — ] <  — 1, ограниченных 4 о ( г ) > | г | ,  устанавли-. z  ,вается неравенствами (19) и (17).Д оказательство .  Если ввести равенствоß ( ï  a ) zA2n+\(z) =  Y ( ï  +  I)  [¢2. + 1(2) -  1 , 2 , . . . ;  (23)то,  ввиду равенств (4), (6), (8) - ( 1 0 ) ,  (22), многочлены <72л+і (z), /72/1+1 (2), а т а к ж еіо*. 147*VW2rt+ ! (z) = cT  —/72л+! L )  — ®</2л + І (24)удовлетворяют рекуррентному соотношению?2л+1 (Z) 1 +(а 4  ß 4  2я — I ) 7 4  2 (n — I) — 2'aß (T +  2« -  2 ) (Т +  2л) f a  +  n — I XP +  n — 1)(7 — a  +  n — 1 ) ( 7  — ß 4  n — I)( 7  +  2 n — 3)з ( 7  +  2 — 2)РавенствоM 2„ + i ( -  I) =  -Р л  + І (ß)n- ( Т ) 2 л + 1+  ср2„ - з ( г ) .  (25)(25)(26)cP2л—i (г) —легко  доказывается  методом математической индукции с помощью соотношения (25).Применяя  равенства (21), (24), (26), преобразуем равенство (18):F (a,  ß; 7; exp M 2n+1( / ) t e  ' (I  +  t) ^2я+1 (Z)j= е х р Г  ^  , у  L i  fuJ  I + /  £ i a mJa' jT r2л +1 (2) — T-  f~2n + l Q )  ,t . e,F (g, P; 7; - 2) =  (1 + Z b T l  ( Im=ImZ \ ftmaгде ввиду равенства (26),  (а)л+і(Р)я+іm+  Г2л + 1 (z),м 2„+, (— a m)(20)-о . . , . 1 5ЛІ ’ .(т)2„ + 1 ?2Л + . ( - 1 )  (1 _  a J  «  [(?2л + 1 ( _  ат)]dzк тому же,  на основании (20) и (18) верхняя  граница | r 2n+ i ( z ) |  о ц е ­нивается  неравенствами (19) и (17).Ввиду равенств (9) и (11) </2л+і (— а  =  0, т = 1 , ,  п; поэтому,применяя равенство (24),  получимЬ.„гпА42л + 1 ( — а т) ~1 — <72я + і ( — _______________ T_____________  =(1 ~ ( Т т ) [?2л + 1 (—dzT t — Р) [Р2л+і(— Q m ) - у2я + і ( — a m)T  ( 1  ~ а т ) 4 ~dzи на основании равенства (23)Ь.„ =т «ß (т — а Нт — ß) "m ^гл+І ( — g m)T2 (т +  1)(1 — am) f r  [у2„+1 ( — сіт)\ dzтем самым теорема полностью доказана.  148ЛИТЕРАТУРА1. И. И. Л е б е д е в .  Специальные функции и их приложения. М., Гостехиздат*. 1953.2. А. И. Х о в а н с к и й .  Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М., ГИ ТТЛ , 1956.3. Т. И. С т и л т ь е с .  Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.4. И. И. П р и в а л о в .  Введение в теорию функций комплексного переменногс. М .— Л., Гостехиздат, 1948.5. В. Е. К о р н и л о в .  Приложение цепных дробей к вычислению интегралов от биномных дифференциалов. Изв. ТПИ, т. 131, стр. 21—25. 1965.

Применение произведения биномов для вычисления функции Гаусса

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University