Корнилов, В. Е.

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

И З В Е С Т И ЯТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВ О ЛЮ Ц И И  И ОРДЕНА ТРУДОВОГОКРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВАТ ом  249  1973ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЧАСТНЫМИ ГИ И EP ГЕОМЕТР И ЧЕСКИ M И РЯДАМИВ. Е. К О Р Н И Л О В(П р е д ст а в л е н а  к а ф ед р о й  вы сш ей м атем ати к и )В этой статье используются известные тождественные преобразо­вания частного двух гипергеометрических рядов для получения элемен­тарных соотношений между этими рядами.Д ля функций F , Ф, 2-Eо элементарные соотношения получены в частном случае (Ь =  0) и для функции I в общем случае (здесь F =  F (а, Ь; с; г) и т. д.). В статье применяется следующая запись про­изведения (а)к =  а (а +  1)... ( а +  к— 1).Соотношения получены для следующих рядов:F  (а, Ь; с;z) =  V  O JÆ K , zm,\z\< 1; ; z)OOV ( ° ) т ( Р ) тт %  т '-(СLІ  І 7 Г Т ; л  (о: » ; ; * ) - 2  , .t o  m U c m ) ,-T- OZ mOOLI|D | « 1 ;  I ( c , z ) = SО !1. Изучим следующую конечную цепную дробь (тождество) ([1]), стр. 98; [2], стр. 132):F(а ,  b  +  1 ;  с  +  I ;  z )  1и , z V . ZU i  =V j  =F (а, Ь; с; z)  1 — 1 — 1 —F (а +  п, b  -К п-\ -  1 ; +  2я +  1 ; z)F (а  +  п, b + я ;  - f  2«; гІ( а +  у — 1 )(c — b + у  — 1)(с -f- 2п — 2)2 ( b j )  (с — а Л-j )  •, J  I , , f l .( I )(іс A r 2 j  — I )2Представим правую часть тождества (1) подходящей дробью в част­ном случае (b =  0), получимF (а,  1: с- \ -  1; г )  =  р 2п E 1 — ѵ пг р 2п~\ F 11 42п Ei -  VnZ q 2n- I  E258(явные значения рт , qm в п. 4). Из последнего тождества нетрудно получить следующие элементарные соотношения:I F (а, 1; с +  I; z) = p2nF  ( а +  п,п; z) —I Рчп—х v nzF(а 4  я, я -f- 1 ; 4  2я — 1 ; z);I =  q2nF  (я +  я, я; с +  2я; z) —— v nz q 2n-xF(а +  л, я + 1 ;  с +  2я — I; z).2. Три предельных случая тождества (1) следующие ([2], стр. 134-137):Ф ( Ь'~ I : С 4— I ; z )   I CLyZ byZ(2)(3)I —a J  =C l y ZФ (b; с; z) 1 — 1 — 1 — ----bnzФ (b +  я  +  I ; C +  2я +  I; г) (Ф {b 4- я; с 4 2я; z)]_I~Т~c — b + j — 1(4)— b — уbi =   —  , 7  =  1, ..., я;2 (с +  2у — 1)2(с 4  2] — 2)22F0(a, Ь +  I;; z )_  J_ CyZ_2F0(a ,b ; ; z )  I — I — I --------dnz2F0(a +  я, Н я + 1 ; ; г )  f2Fn (a  +  я , 6  4- я;; z ) ] - 1I=  a + y  — I, dj = b+j,/= I , . . . ,  n;Ц с  +  \ , г ) [ І ( с , г ) ] - х =  Х  VYL V YI +  I +  I H-----I gnz l (c + 2 n + \,z )\ I (c  + 2n,z)}-'(5)I(6))I O 1 =  V  +  2У — 2)2, gy 1 =  +  2y — 1)2.3. Аналогично п. I получим элементарные соотношения для частных значений функций из равенств (4), (5) ( 6 = 0 )  и функции /:Г Ф (1 ; с +  I; г) =  Л2„Ф (я; с 4  2я; z) - f  1 4  bnz A 2n—x Ф (я 4  I ! с4 2я 4  1 > )^;(7)( I =  B2n Ф (я; с +  2я; z) +1 +  bnzB2n-X', Ф (я +  I ; с +  2я +  I; z); (8)12^ 0 (а, 1 ; ; z) =  C2n 2/4 (а +  я, я; ; z) — | - d „ 2 C 2„ - i2F0( a 4 « ,  я 4 1 ; ; 2); (9)11 =  D2n 2^ 0 (а 4  я, я; ; z) —1 — d nz D 2n-y 2F0 (а +  n t,я 4 1 ; ;  г);(10)1 /  (с-f- I , z) =  Zr2n /  (с 4  2я, z) 4- I 4  g nzE2n— 1 I (с4 2я 4  I, z); (H)f Z (с, z) =  G2n I (с4  2я, z) 4I 4  ^2« 2 G2„-i Z (с 4  2я 4  11(12)594. Значения многочленов в равенствах (2), (3), (7 ) - (1 2 )  следую ­щие ([31, стр. 21, 23; [4]):п—1Л  S>Kл  - V r 7c -ЛАГ.Ціп— 1 —  /  M n —1 “ T ~  Z j  ,к=0 ( 2  - с  —  2 я ) а.f t .  =  у с ;  .*.1 ( - г ) - ;Л=0 (1 — с — 2пк „ о  ( 2  —  с  2 л ) к» • - S 1 L« = о ( ¢  +  2 )п — к — 1W( P m  2 „г/с=0 2я)кfl VOOЛт =  ( — I ; ß m =  limа тf l —> о оm =0  Zа( ¢ + 1 ) ,С-ТООCm =  W r n p m (CZ)-,  D m =  W m q m ( C Z ) .С-> OOС“п-к-2 Zkп— 1£ а « - і  =  уЭ ( с  +  1 )* (с +  2п — 1 — к)П — 1E 2n — C 2A-A--I [ (£  +  1)/с (с +  2/г — /с)*]“ 1 Zac;/C = O/г-1G 2A -I  =  S  C 2A-ZC-I [ ( с ) *  (с +  2п  — 1 — к+] 1 г*;/с=0п(13)(14)(15)G2п =  2  [(с)к(с +  2я — к)*]-1 г*;/с=0/г =  1, 2. ...Л И Т Е Р А Т У Р А1. Г. Б е й т м е н  и А. Э  р д  е й и. В ы сш и е тр а н сц ен ден тн ы е ф ункции . М ., Ф и зм атги з, 1965.2. A . H. X о  в а н с к и й. П р и л о ж е н и е  цепны х д р о б е й  и и х  о б о б щ ен и й  к в о п р о са м  п р и б л и ж ен н о го  а н а л и за . М ., Г о с т ех и зд а т , 1956.3. В. Е. К  о р н и л о в. П р и л о ж ен и е  цепны х д р о б е й  к вы числению  и н тегр ал ов  от  бн- ном н ы х д и ф ф ер ен ц и а л о в . И зв . Т П И . Т. 131, 1965.4. В . Е . К о р н и л о в .  П р и м ен ен и е п р о и зв ед ен и я  б и н ом ов  д л я  вы числения ф унк ций  Б ессел я . И зв . Т П И . Т. 205 , 1970.

Элементарные соотношения между частными гипергеометрическими рядами

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University