Портнов, Л. Е.

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

Т ом  154 1967И З В Е С Т И ЯТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГОИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВАПЛОТНОСТЬ ОРИЕНТИРОВАННОЙ КРИВОЙЛ. Е. ПОРТНОВ(Представлена в мае 1966 года математической секцией научно-технической конференции АВТФ, посвященной 70-летию ТПИ)П о д  п а р а м е тр и зо в а н н о й  ори ен ти р о в ан н о й  кривой  м етр и ч еск о го  п ространства  R б у д ем  поним ать  о т о б р а ж е н и еf i t ),Z f E  С [0, 1], в R.О п р е д е л е н и е  1. К ом понентой  о т о б р а ж е н и я  / ( Z ) ,  t£E С [0, I j ,  в б у д ем  назы вать  в с я к о е  FQE,  о б л а д а ю щ е е  свойствами:1) из Z1, Z2 f f  с л е д у е т  / ( Z 1) =  Z(Z2);2) л ю б ая  то ч к а  Z f E ,  F строго  м а ж о р и р у е т  то ч ки  м нож ества  F л и б о  сн и зу , л и б о  с в е р х у .О п р е д е л е н и е  2. О т о б р а ж е н и е  / ( / ) ,  Z f F  С [ 0 ,1 ]  в м е т р и ч е с ­ко е  пространство  R н азовем  то ч к о й  п а рам етри зов ан н ой  кривой , о п ­р е д е л я е м о й  о то б р а ж е н и е м  / (Z ) ,  Z fE C  [ 0 ,1 ] ,  если F я в л я е т с я  ком п о­нентой  о т о б р а ж е н и я  f ( t ) ,  Z f E C  [ 0 , 1 ] .О ри ен ти р о ван н о й  кривой  L сопоставим  ф у н к ц и юV l (Y), S f (0 , о о ),равн у ю  м ак си м ал ь н о м у  числу  н е п е р е с е к а ю щ и х с я  д у г  кривой  L1 к а ж ­д а я  из ко то р ы х  и м еет  д и а м е т р  не м ен ь ш е  s.Рассм отрим  ф ун кц и юKl (X)=  H m R R R R  , X f  [0, 1|. (1)s->o Vl (в )И с п о л ь зу я  п р е д ел ьн ы й  п е р е х о д ,  м о ж н о , и сход я  из (1), о д н о ­зн ачн о  сопоставить  к а ж д о й  то ч к е  кривой  L  ф у н к ц и юM * ) ,  (0, 1),я в л я ю щ у ю с я  л о к а л ь н ы м  м етри чески м  инвариантом  кривой  L.В ведем  ф у н к ц и ю  плотности  кривой  L. в то ч к е— i ------ _ 5 X е [о, 1],+  (X)AfiXя в л я ю щ а я с я  ан а л о го м  кривизны  кривой .1. Если в лю б ой  окрестности  то ч ки  х к ри вая  им еет  к о н е ч н у ю  не н у л е в у ю  о б ы ч н у ю  д л и н у ,  тор ( х )=\.86/S»3.Vx CU2. Если лю бая  окр естн о сть  точ ки  х н е с п р я м л я е м а ,  тоі ( х )  <  о о .Е сли  в л ю б о й  о крестн ости  Ux точ ки  XÇ.L есть  о к р е с тн о с ть  где  кри в ая  L н е с в я зн а  и с п р я м л я е м а ,  то+  < / >  ( * ) < . ! .

Плотность ориентированной кривой

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University