Рассматривается прогрев тел классической формы при граничном условии типа 2-го рода, когда теплообмен происходит по закону Стефана-Больцмана, и лучистый поток симметричен

Бойков, Г. П.

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

132ИЗВЕСТИЯ ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВАТом 89                                                                                                                                 1957ПРОГРЕВ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛА(Сообщение первое)Г.П. БОЙКОВВ работе рассматривается прогрев тел классической формы при граничном условии типа 2го рода,когда теплообмен происходит по закону СтефанаБольцмана и лучистый поток симметричен.Излагается метод зонального (во времени) расчета температурного поля при распространении тепла кодном измерении к предположении, что термические характеристики вещества неизменны.Даются расчетные зависимости и соотношения, а также методика выбора расчетного интервала времени.Известно, что при больших температурах источника тепла (приблизительно выше 800°С) передача тепла к нагреваемому телу происходит в основном лучистой энергией по закону СтефанаБольцмана.Для того, чтобы определить температурное поле в теле при таком теплообмене, необходимо решитьсистему уравнений:Получить решение непосредственно из системы (1) − (4) затруднительно, так как пока еще не найдено пути, который позволил бы удовлетворительно согласовать решение дифференциального уравнения(1) с граничным условием вида (3). В связи с тем, что определение температурного поля, описанного условиями (1) − (4), имеет большой практический и принципиальный интерес, приходится прибегать к искусственным приемам, которые в некотором приближении дают возможность рассчитать прогрев тел поддействием лучистого тепла.Одним из наиболее распространенных приемов решения рассматриваемого вопроса является способсведения граничных условий типа второго рода (3) к граничным условиям типа третьего рода путем введения условного коэффициента теплоотдачи излучением. Граничное условие, выраженное закономпозволяет получить решение системы (1), (2), (3'), (4) в виде:(5)которое в некотором приближении дает возможность вести практически расчеты.Предлагаемая методика исследования позволяет иначе подойти к рассматриваемому вопросу и дает возможность несколько более приблизить расчетные данные к практическим. Согласно этой методике, температурное поле в пространстве рассматривается в виде непрерывной функциональной зависимости, дающейплавное изменение функции в зависимости от аргумента. Расчет же температурного поля во времени производится зонально с использованием принципа конечных разностей (см. [9], [10], [12]). Исходными данными при получении распределения температуры служат решения А. В. Лыкова для пластины, цилиндра ишара при постоянном лучистом потоке (см. [6]). Решение, например, для пластины им дано в виде:Технические науки(6)Взяв выражение (6) за исходное, полагаем, что постоянный лучистый поток gC1 определяется по закону:(7)и действует не на протяжении всего процесса прогрева, а лишь на протяжении малого конечного отрезкавремени, равного τ1 Подставив τ1 d выражение (6) вместо τ, получим распределение температуры по истечении первого отрезка времени от начала прогрева. Здесь же, заменив х на R; получим значение температуры на поверхности пластины, T1 (R).Имея эти данные, получаем распределение температуры по истечении  второго такого же интервалавремени τ1 путем решения системы:и подставкой в полученное решение:вместо τ значения τ1 (см. [1], [2], [6], [12]).Продолжая аналогичные рассуждения, можно убедиться, что распределение температуры в пластинепо истечении тго момента времени от начала прогрева имеет вид:или в сокращенной записи:(8)(9)133Известия Томского политехнического университета. 2003. Т. 306. № 7134Последнее в критериях подобия1) запишется в форме(15)Для случая "тонких"2) тел (Кi<0,12) вести расчет по выражениям (14) и (15) будет нерационально. В этомслучае удобнее пользоваться понятием средней температуры всей массы тела, которая, например, дляпластины определится из соотношения:(16)или в критериальном виде:(17)Выражения [16] и [17] получены как среднее интегральное от распределений соответственно (14) и (15).Как видно из зависимостей (14) и (16), при расчете распределения температуры требуется задаватьсярасчетным интервалом времени τ1. Несомненно, что увеличение численного значения расчетного интервала времени τ1 может значительно сократить объем вычислений. С другой стороны, увеличение расчетного интервала времени влечет за собой увеличение погрешности, превышение которой сверх допустимойвеличины снижает ценность расчета.Предлагаемый способ выбора расчетного интервала времени включает в себя три шага. Первый шагзаключается в предварительном определении расчетного интервала времени по приближенной зависимости(18)где Р − постоянное число, различное для пластины, цилиндра и шара (например, для пластины и цилиндра равное соответственно 0,03 и 0,025)Второй шаг заключается в проверке полученного из формулы (18) расчетного интервала времени путем оценки приближения с использованием неравенства(19)где ϕm − действительная погрешность расчета, выраженная через лучистые потоки f(τ1) − некоторая функция, обладающая следующими особенностями:1) см. [3], [4], [11], [12].2) О "тонких" телах см. [7], [8].Технические науки135− вопервых, эта функция до некоторой степени отражает действительную погрешность расчета, ϕmприближаясь к ней по своей численной величине;− вовторых, действительная погрешность расчета ϕm всегда меньше или равна этой функции.Функция f(τ1) находится из анализа изменения температур и лучистых потоков на поверхности тела.Найдем эту функцию и докажем, что действительная погрешность ϕm≤ f(τ1).Пусть имеем некоторую ломаную кривую y1 = f1 (x) (см. рис. 1), которая обладает следующими свойствами:1) Перелом кривой происходит через одинаковые интервалы аргумента, имеющие какоето значение ∆x1".2) При уменьшении численной величины интервала ∆x1" до ∆x1' и далее в сторону нуля и, таким образом,при увеличении числа этих интервалов в сторону бесконечности, кривая у1 =f1 (x) через ряд промежуточных ломаных кривых у2=f2(x); у3=f3(х) и т. д. стремится к некоторому пределу, который  является "истиным" и представляет уже плавную кривую зависимости y=f(x).3) Каждая последующая ломаная кривая у2=f2(x); у3=f3(х) и т. д. является более близкой к “истинной” кривой у=f(х) по сравнению с предыдущей и имеет более плавный ход.4) Образование плавного перехода на месте перелома в любой произвольной точке говорит о том, что иточка с наибольшим переломом недалека от состояния плавности, а значит и рассматриваемая криваянедалека от наложения на истинную кривую.Учитывая все сказанное в пунктах 1 − 4, рассмотрим отдельно участок рис. 1, обозначаемый точками:Из рис. 1а видно, что кривая 0−1−2 является более близкой к истинной кривой, чем кривая 0−1'−2', так какα1 стоит по своей величине значительно ближе к α, чем α'1, о чем говорит более плавный ход кривой 0−1−2.Известия Томского политехнического университета. 2003. Т. 306. № 7136Очевидно, что степень несовпадения кривой 0−1−2 и истинной кривой может быть оценена из соотношения(V)Чем меньшее значение имеет это отношение, тем кривая 0−1−2 ближе подходит к истинной и наоборот. Если ломаная кривая состоит из отдельных плавных кривых (см. рис. 1б), функциональная зависимость которых известна в первых двух интервалах [у = ϕ(х); у = ϕ(х)], то выражение (V) может быть представлено через угловые коэффициенты:Значит, для нашего случая при расчетах изменения температуры, например, на поверхности пластины,зависимость, аналогичная (W), примет вид:Здесь, согласно выражений (6) и (12),поэтомуСравнивая теперьзаключаем, что для пластины всегда существует неравенствопотому что(так как Т0 − начальная температура тела, а Тист. − температура на поверхности по истечении некоторого отрезка времени от начала прогрева).Следует отметить, что ряд в выражениях (14) и (15) (третий член в фигурных скобках) быстро сходится, его значение с увеличением времени становится очень малым по сравнению с двумя первыми слагаемыми в фигурных скобках. Поэтому, начиная с некоторого момента времени, им можно пренебречь. Тогда дальнейший расчет, связанный с учетом лишь первых двух слагаемых в фигурных скобках, значительно упрощается.Технические науки137Удельный расход тепла для пластины может быть определен по формуле:Выражения, аналогичные (14) − (21), для цилиндра имеют вид:Подобные соотношения могут быть написаны и для шара.Известия Томского политехнического университета. 2003. Т. 306. № 7138На рис. 2 показана кривая безразмерной температуры центра цилиндра (пунктирная линия), построенная по формуле (15').Для сравнения сплошной линией показана безразмерная расчетная кривая, построенная по графикамШака для тех же условий.ЛИТЕРАТУРА1. Дидкин В.А. и Кузнецов H.И. Справочник по операционному исчислению, М.−Л., 1951.2. Карслоу Х.С. и Эгер Д.Т. Операционные методы в прикладной математике, ГИТТЛ, М., 1948.3. Иванцов Г.П. Анализ подобия нагрева металла в муфельной печи, Сборник "Промышленные печи", Металлургиздат, 1953.4. Кирпичев М.В., Михеев М.А., Эйгенсон Л.С. Теплопередача, ГЭИ, М., 1940.5. Лыков А.В. Теплопроводность нестационарных процессов, ГИТТЛ, М.Л., 1948.6. Лыков А.В. Теория теплопроводности, ГИТТЛ, М., 1952.7. Немчинский А.Л. Тепловые расчеты термической обработки, Судпромгиз, 1953.8. Иванцов Г.П. Нагрев металлов, Металлургиздат, М., 1950.9. Тайц. H.Ю. Технология нагрева стали, Металлургиздат, М., 1950.10. Шваб В.А. Нестационарные температурные поля в твердых телах при изменяющихся граничных условиях, Вестник инженеров и техников, 3, 1935.11. Эйгенсон Л.С. Моделирование, ГИ "Советская наука", М., 1952.12. Бойков Г.П.  Прогрев тел под действием лучистого тепла (диссертация), Томск, 1955.ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯТ − переменная температура тела, °К.Тс − температура источника тепла, °К.Т0 − начальная температура тела, °К.gс − лучистый поток от источника тепла в пустоту при степени черноты системыgci. − лучистый поток на поверхности тела в итый момент времени, направленный внутрь тела,τ − время, час.х, r − текущие координаты, м.R − половина толщины (радиус) тела, м.λ − коэффициент теплопроводности,εn − приведенная степень черноты системы.C0 − коэффициент излучения черного тела,αизл. − коэффициент теплоотдачи излучением,µп − корни характеристических уравнений: sin µ = 0; J1 (µ) = 0.a − коэффициент температуропроводности, м2/час.Ki = − критерии Кирпичева.F01 = − критерии Фурье.− критерий безразмерной температуры.Qci = − критерий безразмерного лучистого потока.X = − критерии безразмерной координаты.xRcicggcTTΘ =12aRτccg RTλ⋅⋅2 .êêàëì ÷àñ2 0 4 .êêàëì ÷àñ K0 .êêàëì÷àñ2 .êêàëì ÷àñ2, .n êêàëì ÷àñε

Прогрев тел под действием лучистого тепла

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University