Рассмотрены отображения двумерных плоскостей L12 и L22, инвариантным образом связанных с распределением двумерных плоскостей в четырехмерном эвклидовом пространстве. Каждое из отображений определяется двумя соответствующими функциями двух аргументов. Поэтому для их изучения привлекаются гармонические функции и известные условия Коши-Римана. Все рассмотрения носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются аналитическими

Глазырина, Елена Дмитриевна

Ивлев, Евгений Тихонович

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University

1. Аналитический аппаратОбозначения и терминология в данной статьесоответствуют принятым в [1−7].Рассматривается четырехмерное эвклидовопространство Е4, отнесенное к подвижному ортонормальному реперу R={A−,e−i}(i,j,k,l=1,4) с деривационными формулами и структурными уравнениями(1.1)Здесь 1формы ω ki удовлетворяют соотношениям, (1.2)вытекающим из условия ортонормальности репера R:(1.3)В пространстве E4 зададим распределениегде M − текущая точка пространства E4, а L12 − двумерная плоскость, проходящая через эту точку.Присоединим к распределению ортонормальныйрепер R так, чтобыM = A,L12 = (A−,e−1,e−2)  xα = 0,α,β,γ = 3,4.    (1.4)Здесь и в дальнейшем символом Ls = (A−,x−1,x−2,...,xs−)(s<4) обозначается sмерная плоскость (sплоскость), проходящая через точку A параллельно линейнонезависимым векторам x−1,x−2,...,xs−,а величины xi означают локальные точечные координаты относительно репера R. Из (1.4) и (1.1) следует, что дифференциальные уравнения распределения ∆12,4:M→L12 в E4 можно записать в виде:ωαα = Aαα iωi  ωαα = −ωαα = Aααiωi  Aααi − Aαα i,dAαα i − Aαβ iωβα − Aαβ jω ji + Aβα iωαβ = Aααijωj, Aαα[ij] = 0,      (1.5)где α,β,γ = 1,2. Из (1.3) и (1.4) следует, что с распределением ∆12,4:M→L12 в E4 ассоциируется распределение(1.6)Здесь плоскость L22 = (A−,e3−,e4−)  xα = 0 в точке A∈E4 будет оснащающей в смысле [2] или нормальной в смысле [3] плоскостью распределения ∆12,4.Замечание 1.1. Из (1.3−1.6) в силу (1.1) следует,что интегральные кривые [2] распределений∆12,4:M→L12 и ∆22,4:M→L22, описываемые точкой A∈E4с касательными, принадлежащими L12 и L22, определяются соответственно уравнениями:∆12,4 : ωα = 0; ∆22,4 : ω α = 0. (1.7)Эти дифференциальные уравнения в силу (1.1)и (1.5) будут вполне интегрируемыми, т.е. распределения ∆12,4 и ∆22,4 будут инвалютивными или голономными [2], тогда и только тогда, когда соответственно:∆12,4 : Aα[12] = 0; ∆22,4 : Αα[34] = 0, (α = 1,2; α = 3,4).   (1.8)2 2 12,4 2 3 4 2: ( , , ) .A L A e e L∆ → = ⊥1 12,4 2: ,M L∆ →1, ;( ; )0, .i j iji je ei jδ== = ≠0k ii kω ω+ =, ,, .i ki i i kk i k k j ki i i jdA e de eD Dω ωω ω ω ω ω ω= == ∧ = ∧5Естественные наукиУДК 514.76РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕЕ.Т. Ивлев, Е.Д. ГлазыринаТомский политехнический университетEmail: glasirina@mail2000.ruРассмотрены отображения двумерных плоскостей L12 и L22, инвариантным образом связанных с распределением двумерных плоскостей в четырехмерном эвклидовом пространстве. Каждое из отображений определяется двумя соответствующими функциями двух аргументов. Поэтому для их изучения привлекаются гармонические функции и известные условия КошиРимана. Всерассмотрения носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются аналитическими.2. Отображения fα и ϕα плоскостей L12 и  L222.1. Квадратичные отображенияВ каждой точке A∈E4 можно получить нижеследующие отображения плоскостей L12 и L22, определяемые двумя соответствующими квадратичнымифункциями двух аргументов:f1 : yα = Bααβxαxβ; f2 : yα = Bααβ xαxβ;ϕ1 : yα = Aα12(x1)2 + (Aα22 − Aα11)x1x2 − Aα21x2x1; (2.1)ϕ1 : yα = Aα34(x3)2 + (Aα44 − Aα33)x3x4 − Aα43(x4)2,где величины Bααβ и Bεαβ определяются по формулами удовлетворяют в силу (1.5) соответствующимдифференциальным уравнениям:Bααβ = 1−2Aα(αβ), Bααβ = 1−2Aα(αβ) = −Bααβ,dBααβ − Bαγβωγα − Bααγω γβ + Bβαβωαβ = Bααβiωi.         (2.2)Символом Tu(z) будем обозначать касательноелинейное подпространство к 1семейству прямых zв направлении u, т.е. вдоль линии (А), описываемойточкой А, с касательными u в точке А. Из (2.1) сучетом (1.1), (1.4), (1.5−1.7) и (2.2) получается следующая геометрическая интерпретация отображений fα и ϕα (α = 1,2):f1 : L12 → L22  y = f1(x) = L22  {Tx(x)  L12}, x ∈ L12;ϕ1 : L12 → L22  y = ϕ1(x) = L22  {Tx(x)  L12}, x x, x ∈ L12;f2 : L22 → L12  y = f2(x) = L12  {Tx(x)  L22}, x ∈ L22;ϕ2 : L22 →L12 y = ϕ2(x) = L12  {Tx(x) L22}, xx, x, x ∈L22.Здесь в случае отображения fα(ϕα) прямаяx∈Lα2(x∈Lα2) является касательной к линии (A) вдольинтегральной кривой распределения ∆α2,4(α = 1,2).2.2. Гармонические fαr, ϕαr и аналитические fαa, ϕαa отображения плоскостей L12 и L22Из (2.1) следует, что каждое из отображений fα, ϕα : Lα2 → Lβ2, (α  β, α, β = 1,2) в каждой точке A∈E4 определяется двумя соответствующимифункциями от двух аргументов с областью определения Lβ2(α  β). Каждая из пар указанных функций от двух аргументов в точках области определения могут удовлетворять условиям КошиРимана[6. С. 75−76] или могут быть гармоническимифункциями.Определение 2.1. Отображение(2.3)двумерных плоскостей H2 и H*2(A∈H2, A∈H*2) называется:1. гармоническим в точке M(xp)∈H2 или отображением φr(φ →φr), если определяющие это отображение функции yq являются гармоническими вэтой точке;2. аналитическим или отображением φa(φ → φa),если функции yq удовлетворяют условиям КошиРимана в любой точке M(xp)ϕα∈H2.Заметим, что функции (2.3) будут гармоническими в точке M∈H2 тогда и только тогда, когда ониудовлетворяют соотношениям:. (2.4)В соответствии с [6. С. 75−76] функции (2.3)удовлетворяют условиям КошиРимана тогда итолько тогда, когда во всех точках M∈H2 выполняются соотношения:(2.5)Легко заметить, что из условий (2.5) в точкеM∈H2 вытекают условия (2.4). Этот факт известен втеории функций комплексного переменного: еслифункции комплексного переменного является аналитической, т.е. ее вещественная и мнимая частиудовлетворяют в некоторой области условиям Коши−Римана, то эти функции являются гармоническими в этой области.Из (2.4) и (2.5) в соответствии с определением2.1 получаем условия гармоничности и аналитичности всех отображений (2.1). При этом следуетиметь в виду, что если каждое отображение fα илиϕα гармонично, то оно будет гармонично на всейплоскости L12 или L22.1. Гармонические отображенияf1r : Aα11 + Aα22 = 0; ϕ1r : Aα12 − Aα21 = 0;f2r : Aα33 + Aα44 = 0; ϕ2r : Aα34 − Aα43 = 0.           (2.6)2. Аналитические отображенияf1a:Aα11+Aα22=0, A312+A321−2A422=0, A412+A421+2A322=0;ϕ 1a:Aα12=Aα21, A411−A422+2A312=0, A322−A311+2A412=0;    (2.7)f2a:Aα33Aα44=0, Aα34+Aα43−2A244=0, A234+A243+2A144=0;ϕ 2a:Aα34=Aα43, A233−A244+2A134=0, A144−A133+2A234=0;где α = 1,2; α = 3,4. Из (2.6) и (2.7) вытекают следующие утверждения:1) fα → fαa ⇒ fα → fαr;2) ϕα → ϕαa ⇒ ϕα → ϕαr;3) fα → fαa, ϕα → ϕαr ⇒ ϕα → ϕαa;4) ϕα → ϕαa, fα → fαr ⇒ fα → fαa.Имеет место Теорема 2.1. Отображение ϕα : Lα2→Lβ2(αβ,α,β = 1,2) в каждой точке M∈E4 является гармоническим, в смысле определения 2.1, тогда и только тогда, когда распределение ∆α2,4 (α = 1,2; α − фиксировано) голономно.Доказательство этой теоремы вытекает из (2.6)и (1.8).3. Геометрические свойства отображений  fαr, ϕαr : Lα2→Lβ2(αβ)В настоящем пункте будут выяснены геометрические свойства отображений fαr и ϕαr. Для опреде3 4 3 41 2 2 1, .y y y yx x x x∂ ∂ ∂ ∂= = −∂ ∂ ∂ ∂2 21 2 1 2 0( ) ( )q qy yx x∂ ∂+ =∂ ∂2 2: ( ), ( 1,2; 3,4)q q pH H y x p qφ φ∗→ ⇔ = = =Известия Томского политехнического университета. 2003. Т. 306. № 66ленности подробнее остановимся для выяснениягеометрических свойств указанных отображенийпри α = 1. Геометрические свойства отображенийпри α = 2 можно получить из геометрическихсвойств отображений при α = 1 формальной заменой индексов 1 ↔ 3, 2 ↔ 4.3.1. Прямые q2(z) и q2(z) в L12, отвечающие прямой z∈L22Точке A∈E4 в плоскости L22 поставим в соответствие прямую z = (A−,e−α)zα. (3.1)Из (2.1) с учетом (2.2) замечаем, что совокупность прямых x = (A−,e−α)zα∈L12, образы которых приотображениях f1 : L12 → L22 и ϕ1 : L12 → L22 ортогональны прямой (3.1), определяются уравнениями соответственноq2(z)=f1(x)zαBααβxαxβ = 0, xα = 0, zα = zα,q2(z)=ϕ1(x)zα{Aα12(x1)2+(Aα22−Aα11)x1x2−Aα21(x2)2}=0, xα=0, (3.2)(α = 1,2: β = 1,2: α,β = 3,4).Из (3.2) следует, что каждой прямой z∈L22 вплоскости L12 отвечают по две прямые q2(z)=f1(x) иq2(z)=ϕ 1(x). Каждую из этих пар прямых в L12,проходящих через точку А, будем называть ассоциированными прямыми прямой z∈L22 относительно соответствующего отображения f1 или ϕ1.Из (3.2) и (2.6) вытекает справедливость следующей теоремы.Теорема 3.1. Отображение f1 : L12 → L22 (ϕ1 : L12 →L22), отвечающее точке A∈E4, является гармоническим отображением f1r(ϕ1r) тогда и только тогда, когда ассоциированные прямые q2(z) (q2(z)) прямойz∈L22 относительно отображения f1(ϕ1) ортогональны друг другу при любом выборе прямой z∈L22.3.2. Фокусная прямая K112 ⊂ L12 и коника K122 ⊂ L22 вдольинтегральных кривых распределения ∆12,4Пусть точки X∈L12 и Y∈L22 с радиусвекторами X−= A−+xαe−α и Y−= A−+ yαe−α являются фокусами [7]вдоль фокальных интегральных кривых распределения ∆12,4. Тогда из(dX−,e−1,e−2) = 0, (dX−,e−3,e−4) = 0, ω α = 0с учетом (1.1), (1.5) и (1.7) находятся уравнениядвух фокусных прямых K112 плоскости L12 и фокусной коники K122 ⊂ L22:K112 : aabxαxβ = 0, xα = 0;K122 : bαβyαyβ + 2bαyα + 1 = 0, ya = 0,          (3.3)где(3.4)2bα = −Aα11 − Aα22.Теорема 3.2. Отображение f1 : L12 → L22, отвечающее точке A∈E4, является отображением f1r тогда итолько тогда, когда точка A∈E4 является центромконики K 122 ⊂ L22.Теорема 3.3. Если отображения f1 : L12 → L22, ϕ1 : L12 → L22, отвечающие точке A∈E4, являютсяотображениями f1r,ϕ1r, то фокусные прямые K 112 ⊂ L12,ортогональны.Доказательство теорем 3.2 и 3.3 вытекает из(3.3), (3.4) и (2.6).Замечание 3.1. Геометрические свойства отображений fαa,ϕαa : Lα2 → Lβ2(α  β,α,β = 1,2) в каждойточке A∈E4, а также существование этих отображений будет предметом особого рассмотрения.3 4 3 4 3 4 3 411 11 12 12 11 22 21 22 22 213 4 3 4 3 4 3 412 11 22 21 12 12 21 22 113 3 3 3 4 4 4 433 11 22 12 21 44 11 22 12 213 4 4 3 3 4 4 334 11 22 11 22 12 21 12 21, ,2 ,, ,2 ,a A A A A a A A A Aa A A A A A A A Ab A A A A b A A A Ab A A A A A A A A= − = −= + − −= − = −= + − −Естественные науки7СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Ивлев Е.Т., Глазырина Е.Д. О двумерном многообразии центрированных 2плоскостей в многомерном эвклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета.− 2003. − Т. 306. − № 4. − С. 5−9.2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П.Дифференциальногеометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. − М.: ВИНИТИ АН СССР,1979. − С. 7−246.3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. − М.: Наука,1976. − 432 с.4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. −М., 1953. − Т. 2. − С. 275−382.5. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. − М.: ГИТТЛ, 1948. − 432 с.6. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. − Томск: Томский государственный университет, 2002. −510 с.7. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга r // Известия вузов. Сер. Математика. − 1957. − № 1. − С. 9−19.

Распределение двумерных плоскостей в четырехмерном эвклидовом пространстве

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Tomsk Polytechnic University