(uk) Одержані умови, при яких розв’язками сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу є розв’язки сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь.(en) The obtained conditions under witch solution of the singularly perturbed system of differential equations the linear deviation of the argument is the singularly perturbed solution of differential equations

Ключник, Інна Геннадіївна

Electronic Kirovograd State Pedagogical University Institutional Repository

ЗВЕДЕННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ З ВІДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ ДО СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬІ.Г. к л ю ч н и кОдержані умови, при яких розв’язками сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу є розв’язки сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь.ТЬе оЬїаіпесІ сопсііііопз ипсіег \¥ІїсЬ зоїиііоп оГ іЬе зіп§и1аг1у регїигЬесІ зузіеш оГ сіійегепііаі есіиаііопз іЬе Ііпеаг сіеуіаїіоп оГ іЬе аг§ишепІ із іЬе зіп§и1аг1у регїигЬесІ зоїиііоп оГ сіііїегепііаі едиаііопз.Для систем диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу одержані в [1] умови при яких розв’язками розглядуваних систем є розв’язки систем диференціальних рівнянь. Метод [1] запропоновано в [2, 3] до сингулярно збуреної системи і системи з малим параметром при частині похідних з лінійним відхиленням аргументу при наявності точки звороту.В даній статті шукаються умови при яких розв’язками довільної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу є розв’язки сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь.З в е д е н н я  д о  с и с т е м и  д и ф е р е н ц іа л ь н и х  р ів н я н ь .  Розглянемо систему диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу виглядує ^ -  + (А0(х) + єА^(х))у(х,є) + (В0(х) + єВх{х))у{х{ 1 -  є 2А) ,є ) , (1)ахде у  є К2; А0 (х), А1 (х), В0(х), Вг (х) -  голоморфні ( 2 x 2 ) -  матриці за дійсно змінною х при \х\ < х 0; є -  малий дійсний параметр; А -  дійсна додатна стала.УДК 517.945Випуск 70 Серія: Математичні науки Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИТеорема. Нехай матриці А г (х), В г (х), і = 0,1, голоморфні в області|х| < х0, х є К , виконуються умови 1 -  3 і можна вказати є 0 таке, що справджуються нерівності||Д-(х)||0 < щ , | в  г (х)|0 < д ,і = 0,1,Є 0 ( Д 0 +  є 0 Д 1 ) А х 0 еє 0 ( а 0 + є 0 щ 1 )  А х 0 + 1 < 1(2)(3)(4)Тоді при |х| < х0, х є К , |є| < є0 кожен розв'язок системи звичайних диференціальних рівняньє —  = С (х,є) у( х,є) ахє розв'язком системи диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу (1). Крім того, знайдеться матриця С (х,є) така, щоС(x,є) = С0(х) + єС1(х) + .  + єкСк(х) + є к+ІСк+1(^ є ) . (5)Матриці Сг(х),Ск+1(х,є),і = 0,к , голоморфні при |х| < х0 і Ск+1(х ,є )  має неперервну похідну за змінною є при |х| < х0, |є| < є0 і С  (х) = А„ (х) + В0 (х ) .тоРяд 2 є "Сп(х) є рівномірним при |х < х0 асимптотичним розвиненнямп=0при є ^  0 і є І < є 0 матриці С (х,є) і має місце нерівністьС ( х ,є ) - 2  Сп(х)є'п=0і к+1< М  є  , х < х0, є  < є 0 (6)де М  = зир|Ск+1(х,є)|| при < х0, | |  < є0.Доведення. Загальний розв'язок рівняння (4) при |х| < х0 і є  Ф 0 визначається за формулоюу  (х ,є) = О.х Г С (х ,є )Л0 єде у  0 не залежить від змінноїу 0 С (х ,є)(7)при х < х0 і є Ф 0 єV є Уматрицантом системи диференціальних рівнянь (4), де матриця С (х,є)визначена при х < х0 і є Ф 0 . Функція (7) буде задовольняти рівняння (1)при |х| < х0 і є ф 0 , якщоє ^  = С (х ,є)О  0 ахС (х ,є)є у 0 = (А0( х) + єА1( х))ОС (х ,є)є у 0 ++ (В0 (х) + єВ1 (х))Ох - є 2Ах І С (х,є) у  0 (8)З (8) при |х| < х0 і є Ф 0 отримаємо рівністьС (х,є)О С (х,є) = (А0 (х) + єА1 (х))О С(х,є) +460 єє єШ  НАУКОВІ ЗАПИСКИ Серія: Математичні науки Випуск 70+ (В0 (х) + єВх (х))Ц х-є Ах С (х,є)є у0(9)З властивості матриці ЦС (х,є)єє  Ф 0 виконується лише тоді, колиС (х, є) = А0 (х) + єА1 (х) + (В0 (х) + єВ1 (х))Цвипливає, що рівність (9) при |х| < х0Ґ С (х ,є )Лх-є2Ах 0 (10)V є УТаким чином, якщо всі розв'язки системи рівнянь (4) при |х| < х0 і є ф 0є розв'язками рівняння (1), то на вказаній множині матриця С  (х ,є )  задовольняє рівняння (10). Очевидно і зворотне твердження.За допомогою заміни змінних у рівнянні (10) за формулою С (х, є) = А0 (х) + єА1 (х) + (В0 (х) + єВ1 (х)) 7  (х, є ) .одержимо рівняння7 (х , є ) = Ц х-є2 АхА0 (х) + єА1 (х) + (В0 (х) + єВ1 (х)) 7  (х, є)Визначимо оператор 87  (х, є) = Ц х-є Ахєґ  А0 (х) + єА1 (х) + (В0 (х) + єВ1 (х))7 (х, є)(11)(12)у просторі С(т ,^ 0) матриць 7 (х,є), заданих і неперервних за двома змінними х і є на множині ^ 0 = {(х,є)|| х |< х0,5 <| є |<є0} і таких, що\7 \ 0 = 8 и р  I I 7 ( х , є ) І І  < т , де 5 -  додатне число таке, що 5 < є0.(  х , є ) Є  0Матриця 87(х,є) неперервна на множині ^ 0 . Згідно з нерівностями (2),(3) правильною є оцінка| І 8 7 І І  < §ир Ц х-є АхІА  (х) + єА1 (х)|| + 1|(В0 (х) + єВ1 (х))||т < еє°(“°+є0“1+(А)+є0^1)т)Ах0тобто якщо виконується нерівністье є0(«0 +є0«1 + (А) +є0^ 1) т ) А х 0 <  т(13)то оператор 8 переводить простір С (т, </0) в себе.При (х ,є )  є  / 0 одержуємо||871 (х, є) -  872 (х, є)|| < (Д , + є0^ 1 )Ахє0є(а0 +є°а1+(р°+є0р1)т)Аx°є° 1171 -  7 2 При виконанні нерівності(Д0 + є 0Д )А хє0е (а0+є0а1 +(Д^ т)^  < 1, (14)оператор 8 є оператором стиску в просторі С (т , У0) .'2ІІ0'0хєX є47Для т 1 < т < ----------1----------  будуть виконуватись одночасно нерівностіАх0(Д0 + Є0Д1)Є0/■1 .^4 / і  ,ч  , є0 ( а 0 + є0а ,+  (Д0 + є0Д ) т ) Ах0(13), (14), де т 1 -  розв'язок рівняння е 0" 0 0 1 ^ 0 0НІ> ’ 0 =  т  .Внаслідок довільності числа 8 рівняння (10) має єдиний неперервний розв'язок для |х| < х0 і є ф 0. Довизначимо матриці 2  (х, є), С (х, є ) ,  прих  < х0 в точці є = 0 до неперервної за змінними х  і є на множиніЗ  = {(х,є) || х|< х0,| є |<є0}, поклавши 2 (х,0) = І  і С (х,0) = С0(х).Тоді, врахувавши довизначеність 2  (х,є) при є = 0 і рівність (12), одержимо, що на множині 3  виконується рівність2 (х ,є) = О 0(-Ає(А0(х -  є 2Аг) + єА1(х -  є 2Аг) ++ (В0(х -  є 2Аг) + єВ1(х -  є 2Аг))2(х -  є 2Аг, є))). (15)За допомогою (11), (15) можна довести існування неперервної похідної С'є (х, є )  за змінною є матриці С (х ,є) і можливість зображення при(х ,є) є І  матриці С (х ,є) у вигляді С (х ,є) = С0(х) + єС1(х ,є ), де матриця1С1(є ) задається рівністю С1( х ,є) = І С  (х ,в є )а в .0Оскільки матриця С (х ,є) довизначена при є = 0 і праві частини рівнянь (1) і (4) збігаються при є = 0, то всі розв’язки рівняння (4) при (х ,є) є І  є розв’язком рівняння (1) при (х ,є) є І . Згідно [1, 4] матриці 2 (х ,є), С (х ,є) є голоморфними за змінною х при (х ,є) є І .Аналогічно можна показати існування неперервної за змінною є1матриці 2 1(х ,є) на множині ./ вигляду 2 1(х ,є) = | 2 ' ( х ,в є )а в  такої, що0справджується рівність 2  (х, є ) = І  + є21(х, є ). А також з того, що 2 1( х  є ) задовольняє рівняннях2 1 (х, є ) = - А | М  (г, є , 2 1)О 0(-А  єМ  (г, є , 2 1 ))аг0випливає існування частинної похідної (2 1(х, є )) Є на множині з . Отже, намножині 3  матрицю 2 1( х, є ) можна записати у вигляді12 1( х, є ) = 2 1( х,0) + є2  2( х, є ) ,  в якому 2  2( х, є ) = |  (2 '(  х ,вє )) 'а в ,02 1(х,0) = -Ах(А0(х) + В0(х )) . Згідно з математичною індукцією і рівністю (11) одержимо зображення матриці С (х, є ) у вигляді (5), в якому С1(х), С. (х ), Ск+1(х, є ), і = 2, к  визначаються за формуламиС  (х) = А  (х) + В1 (х) + В0 (х) 21 (х ,0),С. (х) = В0 (х) 2  (х,0) + В  (х) 2-1 (х ,0),Ск+1 (x, Є ) = В0 (х )2к+1 (x, Є ) + В1 (х )2к (х,0) .48Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИ Серія: Математичні науки Випуск 70З явного вигляду матриць С (х ) , Сш (х, є) випливає, що матриці С (х ) , Сш (х,є) ,  і = 2,к  є голоморфними при | х |<х0 і матриця Сш (х,є)  має неперервну за змінною є при (x,є)е^.На підставі результатів [1] та обмеженості матриці Ск+1(х,є)  при (x,є)е^ з рівності (5) отримаємо нерівність (6). Теорема доведена.В и с н о в к и .  Для сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу одержані умови, при яких її розв’язками є розв’язки сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь.БІБЛІОГРАФІЯ1. Самойленко А.М. Об одной задаче исследования глобальних решений линейньїх дифференциальньїх уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. -  2003. -  Т. 55, № 5. - С .  631 -6 4 0 .2. Ключник І.Г., Завізіон Г.В. Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних рівнянь з відхиленням аргументу //Нелінійні коливання. -  2010. -  Т. 13. № 2 . - С .  161-176 .3. Ключник І.Г., Завізіон Г.В. Лінійна система диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з відхиленням аргументу і точкою звороту // Укр. матем. вісник. -2010 . - Т.7, № З,- С. 331-354.4. Вазов В. Асимптотические разложения решений обьїкновенньїх дифференциальньїх уравнений. -  М.: Мир, 1968. -  464 с.

Зведення сингулярно збуреної системи з відхиленням аргументу до системи диференціальних рівнянь

http://dspace.kspu.kr.ua/jspui/bitstream/123456789/1029/1/%d0%97%d0%b2%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d0%bd%d1%8f%20%d1%81%d0%b8%d0%bd%d0%b3%d1%83%d0%bb%d1%8f%d1%80%d0%bd%d0%be%20%d0%b7%d0%b1%d1%83%d1%80%d0%b5%d0%bd%d0%be%d1%97%20%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d0%b8%20%d0%b7%20%d0%b2%d1%96%d0%b4%d1%85%d0%b8%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%bd%d1%8f%d0%bc%20%d0%b0%d1%80%d0%b3%d1%83%d0%bc%d0%b5%d0%bd%d1%82%d1%83%20%d0%b4%d0%be%20%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc%d0%b8%20%d0%b4%d0%b8%d1%84%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%bd%d1%86%d1%96%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d0%b8%d1%85%20%d1%80%d1%96%d0%b2%d0%bd%d1%8f%d0%bd%d1%8c.pdf

Зведення сингулярно збуреної системи з відхиленням аргументу до системи диференціальних рівнянь

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic Kirovograd State Pedagogical University Institutional Repository