(uk) В статті зроблений огляд виникнення та дослідження нелінійного рівняння Шредінгера(НРШ). Подано точні розв’язки НРШ з різними типами нелінійності.(en) The overview of genesis and research of nonlinear Schrödinger equation is done. The exact solutions of nonlinear Schrödinger equation with different type nonlinearity are given

Гуртовий, Юрій Валерійович

Electronic Kirovograd State Pedagogical University Institutional Repository

УДК 532.59НЕЛІНІЙНЕ РІВНЯННЯ ШРЕДІНГЕРАЮ.В.ГУРТОВИЙВ статті зроблений огляд виникнення та дослідження нелінійного рівняння Ш редінгера(НРШ ). Подано точні розв’язки НРШ  з різними типами нелінійностіТЬе о у є г у і є \ у  оГ §епезІ8 апсі гезеагсЬ оГ попііпеаг 8сЬгбс1іп§ег есіиаііоп із сіопе. ТЬе ехасі зоїиііопз оГ попііпеаг 8сЬгбс1іп§ег есіиаііоп \уіі1і сіііїегепі: Іуре попііпеагіїу аге §іуеп.Історичний огляд. В 60-х роках в численних дослідженнях з’являється НРШ, яке досить добре описує еволюцію слабконелінійних хвильових пакетів в середовищі з дисперсією. Це фундаментальне рівняння нелінійної фізики з’явилось в різних областях науки. Вперше воно виникло в 1961 році в теорії конденсованих середовищ, коли Л.П.Пітаєвський [1] і Є.Гросс незалежно один від одного отримали його для описання процесу вихрових ниток в конденсаті Бозе-Ейнштейна. Проникнення НРШ в нелінійну теорію хвиль розпочалось з робіт П.Келлі і В.І.Таланова в 1965 році при розгляді задачі про самофокусування хвильових пучків [2]. Для описання нестаціонарних хвильових полів в диспергуючих середовищах воно було практично одночасно застосоване А.Г.Літваком, В.І.Талановим для нелінійних електромагнітних хвиль в діелектриці в 1967 році [3] і В.І.Карпманом [4-5] для описання модульованих хвиль, а В.Є.Захаровим при20Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИ Серія: Математичні науки Випуск 70дослідженні стійкості поверхневих хвиль. В найбільш загальному виді НРШ було запропоноване Д. Бенні і А.Ньюеллом [6] як формалізоване модельне рівняння, яке придатне для описання слабонелінійних диспергуючих хвиль різної природи. В 1970 році НРШ з ’явилось в роботі Ф.Тапперта і К.Вармі в зв’язку з вивченням поширення теплового імпульса в твердому тілі, а в 1972 році воно проникло в фізику плазми, для описання нелінійних ленгмюровських хвиль. Однак відомим воно стало в 1971 році після роботи В.Є. Захарова і А.Н. Шабата [7], в якій вони знайшли точний розв’язок НРШ за допомогою вдосконаленого ними метода оберненої задачі розсіювання. Вони показали, що якщо початкове збурення достатньо швидко затухає при зростанні просторової координати в нескінченність, то задача Коші для даного рівняня з початковою умовою може бути точно розв’язана. При цьому початковий хвильовий пакет з довільною формою обвідної розпадається на солітони обвідної і осцилюючий хвіст. Число і структура солітонів обвідної повністю визначаються початковими умовами. Осцилюючий хвіст досить малий по амплітуді, і звичайно містить дуже мало енергії в порівнянні з солітоними компонентами і лінійно розпливається з часом.М етод багатомасштабних розвинень був успішно використаний Г.Хасімото та Г.Оно [8] для отримання НРШ, яке описує еволюцію гравітаційних хвильових пакетів кінцевої амплітуди на поверхні рідкого шару.Як відомо, Д. Стокс знайшов наближений вираз для нелінійних одновимірних гравітаційних хвиль на поверхні глибокої води, і висловив припущення, що із збільшенням амплітуди профіль хвиль наближається до деякої граничної форми з кутовою точкою при вершині. Крім того Стокс одержав два фундаментальних результати, зміст яких в тому, що в нелінійних середовищах з дисперсією можуть існувати стаціонарні хвилі, і що в дисперсійне співвідношення для нелінійної періодичної хвилі входить амплітуда.Класична задача Стокса знову привернула до себе увагу в 1967 році, коли Бенджамін і Фейр показали теоретично і експериментально, що періодична слабонелінійна хвиля на глибокій воді нестійка по відношенню до малих модулюючих збурень [9]. Ними було знайдено критичне відношення глибини води до довжини хвилі при якому здійснюється нестійкість. Цей результат був несподіваним для механіків і математиків, що втратили багато років і зусиль на доведення існування і стійкості хвиль Стокса.Великий внесок в теорію нелінійного рівняння Шредінгера і модуляційної нестійкості зробили роботи Г. Ю ена і В.Лейка (1975-1982 рр.) [10] по нелінійній динаміці гравітаційних хвиль на глибокій воді. Вони експериментально довели існування солітонів обвідної і їх стійкість при взаємодії з іншими хвильовими пакетами, ще раз показали нестійкість періодичної хвилі до модулюючих збурень. Основний їх результат в тому, що21Випуск 70 Серія: Математичні науки Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИвони знайшли цікаву властивість розв’язків нелінійного рівняння Шредінгера-  явище повернення при довгочасовій еволюції нестійкого розв’язку. Чисельний розвязок нелінійного рівняння Шредінгера з періодичними граничними і з нестійкими початковими умовами (тобто коли хвилепродуктор діє неперервно) показує, що в нестійкій хвильовій системі глибина модуляції збільшується і досягає максимуму. Потім вона зменшується і розв’язок поступово повертається до немодульованого стану. Такий процес повторюються в часі і це було підтверджено експериментально. Таке періодичне повернення до майже не модульованого початкового стану одержав назву повернення ФПУ, оскільки вперше його відкрили Фермі, Паста і Улам при чисельному моделюванні ангармонічних решіток атомів [11].А.Найфе [12] використовував метод багатомасштабних розвинень для виведення пари диференційних рівнянь у частинних похідних, які описують еволюцію хвильових пакетів кінцевої амплітуди на поверхні контакту двох напівнескінченних рідин з різними густинами. В результаті було отримано два альтернативні нелінійні рівняння Ш редінгера та досліджено стійкість хвильових пакетів кінцевої амплітуди.Аналогічна задача про поширення хвильових пакетів на поверхні контакту рідкого двох рідких шарів над ним вивчалась Селезовим, Авраменко та Гуртовим [13-14]. В наступних публікаціях цими авторами досліджувалась проблема стійкості хвильових пакетів в системі "шар - шар" методом багатомасштабних розвинень до третього порядку [15].Н РШ  та його точні розв’язки. НРШ, яке відноситься до рівнянь параболічного типу з однією просторовою змінною має виглядде д -  комплексна функція дійсних змінних х і і, к -  дійсне число,В процесі дослідження були знайдені такі його точні розв’язки [16-17]22Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИ Серія: Математичні науки Випуск 70де А, В, С1,С2, С3 - довільні дійсні константи. Другий і третій розв’язок справедливі лише при к>0, тобто при модуляційній нестійкості. Фізичний зміст першого та третього розв’язку був проаналізований нами для випадку двошарової гідродинамічної системи [18].Спорідненими до вищевказаного рівняння є НРШ з кубічною не лінійністю1) і д + (АМ +В^ ^ді дхВоно має точні розв’язки^(х, і) = С1 ехр [і С2х + (АС]2 + В -  С2 )і + С3 } •С1^( х, і) = —1 ехрV іі ( х + С2 )2 1 4і+ і ( АС2 Іп і + Ві + С3 )де А, В, С1, С2, С3 - довільні дійсні константи2) і.дд д д+ +2(А |д| + Вд + С )д = 0ді дх1 Його точний розв’язокд(х, і) = (ах + Ь)ехр | / ( а х 2 + /Зх + у) ,Де а(і), Ь(і ),а(і), З (і), у (і) - дійсні функції дійсної змінної.■д^ д2^  і і2пі ---- 1-=г + Аш\ ^ = 0^ ді дх2 1 1Його точні розв’язки^(х, і) = С1 ехр < і2пС2 х + (А С1 -  С |)і + С3^( х, і) = ± (п + 1)С12А сЬ2(С1пх + С2)2пехр і(С2і + С3), ч С1 ^(х, і) = —1 ехру/іі (х + С2)2 + ,■ Г 4 е ! : ,  ■-»4і 1- п + С3Відмітимо, що можна привести ще декілька більш загальних рівнянь. Але приведеного вище достатньо для розуміння значення НРШ та характеру його точних розв’язків, які часто описують солітони обвідних.Висновок. Таким чином, НРШ займають фундаментальне місце в теорії нелінійних процесів, і описують велике різномаїття фізичних процесів. Разомз тим не всі одержані точні розв’язки НРШ мають фізичну інтерпретацію. Всебічний аналіз їх призведе до знаходження нових властивостей і фізичних ефектів нелінійних систем.23Випуск 70 Серія: Математичні науки Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИБІБЛІОГРАФІЯ1. Питаевский Л.П. Вихревьіе нити в идеальном Бозе-газе // Ж^ТФ.- 1961.- Т. 40б вьіп. 2.- С. 646-651.2. Таланов В.И. О самофокусирующихся волновьіх пучках в нелинейной среде // Письма в Ж^ТФ. - 1965.- Т. 2, № 5.- С. 218-222.3. Литвак А.Г., Таланов В.И. Применение параболического уравнения к расчету полей в диспергирующих нелинейньїх средах // Изв.ВУЗов. Радиофизика. -  1967. -  Т. 10, №4. -  С. 539.4. Карпман В.И. Нелинейньїе волньї в диспергирующих средах. - М.: Наука, 1973.5. Карпман В.И., Крушкаль Е.М. Модулированньїе волньї в нелинейньїх диспергирующих средах//ЖЗТФ.- 1968. - Т. 55, вьіп. 2.- С. 530.6. Нью^лл А. Солитоньї в математике и физике.- М.: Мир, 1989.-324с.7. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейньїх средах // Ж^ТФ.- 1971.- Т.61, вьіп. 1.- С. 118-134.8. Назітоіо Н., Опо Н. ^пііпеаг тодиіаііоп оГ §^ аVІ^ у ^аVез /Я. оГ іЬе РЬуз. 8ос. оГ ^ареп.- 1972.- 33.- Р. 805-811.9. Нелинейная теория распостранения волн / Пер с англ. под ред. Г.И. Баренблатта, - М.: Мир, 1970.10. Уиеп Н.С., ^аке В.М. ^п ііп еаг  деер-^аіег ^аVез: іЬеогу апд ехрегітепі. Рагі2. ЕVо1и і^оп оГ а сопііпиоиз ^аVе ігаіп // .^ Ріиід МесЬ.- 1977.-Vо1.83, рагі 1.- Р.49- 74.11. Ферми ^. Научньїе трудьі. Т II. -  М. :Наука, 1972.12.№уГеЬ А.Н. №пііпеаг ргорадаїіоп оГ ’^ уе-раскеїз оп Гіиід іпіегіасе // Тгапз. А8МЕ., 8ег. Е.- 1976.- 43, N4.- Р. 584-588.13. Селезов И.Т., Авраменко О.В. ^волюция нелинейньїх волновьіх пакетов в гидродинамической системе "слой-полупространство" с учетом поверхностного натяжения // Математичні методи та фізико-механічні поля.- 2001.- 44, N2.- С. 113­122.14. Селезов И.Т., Авраменко О.В., Гуртовий Ю.В. Особенности распостранения волновьіх пакетов в двухслойной жидкости конечной глубиньї // Прикладна гідромеханіка. -  2005. -  Том 7(79), № 1. - С. 80-89.15. Селезов И.Т., Авраменко О.В., Гуртовьій Ю.В. Устойчивость волновьіх пакетов в двухслойной гидродинамической системе //Прикладна гідромеханіка. - 2006, - 8(90), №4. - С. 60-65.16^одд К.К., ЕііЬеск ^.С., ОЇЬЬоп ^.^., Моггіз Н.С. 8оіи1іопз попііпеаг ^аVе е^иа і^опз.- Асадетіс Ргезз, Іпс., 1982.17. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейньїм уравнениям математической физики: Точньїе решения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 432 с.18. Авраменко О.В., Гуртовьій Ю.В., Селезов И.Т, Характерньїе свойства распространения волновьіх пакетов в двухслойной жидкости // Прикладная гидромеханика. -  2009. -  11, № 4. -  С. 3-8.24

Нелінійне рівняння Шредінгера

http://dspace.kspu.kr.ua/jspui/bitstream/123456789/1026/1/%d0%9d%d0%b5%d0%bb%d1%96%d0%bd%d1%96%d0%b9%d0%bd%d0%b5%20%d1%80%d1%96%d0%b2%d0%bd%d1%8f%d0%bd%d0%bd%d1%8f%20%d0%a8%d1%80%d0%b5%d0%b4%d1%96%d0%bd%d0%b3%d0%b5%d1%80%d0%b0.pdf

Нелінійне рівняння Шредінгера

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic Kirovograd State Pedagogical University Institutional Repository