National audienceNous présentons une stratégie basée sur une méthode multiéchelle avec patch afin de traiter des problèmes stochastiques où les sources d'incertitudes sont nombreuses et dont les modèles associés sont des modèles multiéchelles complexes de grande dimension stochastique. La méthode exploite l'aspect localisé des incertitudes en séparant les échelles ce qui permet d'améliorer à la fois le conditionnement du problème et la convergence des méthodes d'approximation de tenseur utilisées pour résoudre les problèmes stochastiques de grande dimension aux niveaux local et global

Chevreuil, Mathilde

Nouy, Anthony

Pled, Florent

Safatly, Elias

HAL-Univ-Nantes

Me´thode multi-e´chelle avec patchs pour la propagationd’incertitudes localise´es dans les mode`les stochastiquesFlorent Pled, Mathilde Chevreuil, Anthony Nouy, Elias SafatlyTo cite this version:Florent Pled, Mathilde Chevreuil, Anthony Nouy, Elias Safatly. Me´thode multi-e´chelle avecpatchs pour la propagation d’incertitudes localise´es dans les mode`les stochastiques. 11e`meColloque National en Calcul des Structures (CSMA 2013), May 2013, Giens, France. pp.1-3,2013, <http://csma2013.csma.fr>. <hal-01056919>HAL Id: hal-01056919https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01056919Submitted on 21 Aug 2014HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.CSMA 201311e Colloque National en Calcul des Structures13-17 Mai 2013Méthode multiéchelle avec patchs pour la propagation d’incertitudeslocalisées dans les modèles stochastiquesFlorent PLED 1∗, Mathilde CHEVREUIL 1, Anthony NOUY 1, Elias SAFATLY 11 GeM - UMR CNRS 6183, LUNAM Université / Université de Nantes / École Centrale Nantes,{florent.pled@ec-nantes.fr, mathilde.chevreuil@univ-nantes.fr,anthony.nouy@ec-nantes.fr,elias.safatly@ec-nantes.fr}Résumé — Nous présentons une stratégie basée sur une méthode multiéchelle avec patch afin de traiterdes problèmes stochastiques où les sources d’incertitudes sont nombreuses et dont les modèles asso-ciés sont des modèles multiéchelles complexes de grande dimension stochastique. La méthode exploitel’aspect localisé des incertitudes en séparant les échelles ce qui permet d’améliorer à la fois le condition-nement du problème et la convergence des méthodes d’approximation de tenseur utilisées pour résoudreles problèmes stochastiques de grande dimension aux niveaux local et global.Mots clés —Quantification des incertitudes, Multiéchelle, Zoom numérique, Approximation de tenseur,Grande dimensionDe nombreuses méthodes ont été proposées ces vingt dernières années pour la propagation des in-certitudes dans les modèles physiques utilisant les approches fonctionnelles [1, 2, 3, 4]. Alors que cesapproches sont maintenant relativement bien répandues et maîtrisées, un intérêt pour les modèles stochas-tiques multiéchelles a émergé. Ainsi des méthodes déterministes consacrées au couplage d’échelles ontété étendues aux problèmes stochastiques avec incertitudes. Cependant la propagation des incertitudesdans les modèles stochastiques multiéchelles demeure un défi car ce sont des modèles de grande dimen-sion par nature. De plus les modèles numériques monoéchelle souffrent de la complexité multiéchelledes solutions qui présentent un contenu spectral très riche.Dans ce travail nous nous intéressons aux problèmes multiéchelles pour lesquels les incertitudessont localisées dans un patch Λ représenté sur la figure 1. Les incertitudes peuvent apparaître dans lespropriétés matérielles, les termes sources ou encore la géométrie. Il s’agit donc de proposer une méthodeefficace pour la résolution d’équations aux dérivées partielles stochastiques multiéchelles définies sur undomaine éventuellement incertain Ω(ξ), où ξ = (ξ1, · · · ,ξd) ∈ Ξ désignent les paramètres aléatoires.ΓΩ\ΛΛFig. 1 – Patch Λ ⊂ Ω contenant les incertitudes localisées et interface Γ = ∂(Ω\Λ)∩∂Λ.En présence de nombreuses sources d’incertitudes localisées, des approches dédiées doivent être dé-veloppées afin de s’attaquer à la grande dimension et à la complexité des modèles multiéchelles associés.Nous proposons une méthode multiéchelle avec patch qui exploite le caractère localisé des incertitudeset qui est détaillée dans [5]. Il s’agit d’une méthode de type semi-Schwartz-Lagrange (voir [7]) associéeà un algorithme itératif global-local qu’on trouve également dans [6, 8]. Dans son extension au cadrestochastique, un algorithme itératif efficace est proposé et requiert la résolution d’une séquence de pro-blèmes globaux et de problèmes locaux. Les problèmes globaux à l’échelle macro sont des problèmes1simples à opérateur déterministe définis sur un domaine fictif Ω˜ (figure 2(a)), tandis que les problèmeslocaux à l’échelle micro sont définis sur le patch Λ (figure 2(b)).ΓΩ\ΛΛ∼(a) Domaine fictif Ω˜ = (Ω\Λ)∪ Λ˜ avec patch fictif Λ˜ tel que∂Λ˜ = Γ.ΓΛ(b) Patch Λ avec une éventuelle frontière interne.ΓΛ∼(c) Patch fictif Λ˜ sans frontière interne.Fig. 2 – Illustration des différents domaines.Dans le cas où les incertitudes au niveau micro portent sur la géométrie, des reformulations spéci-fiques des problèmes locaux basées sur les méthodes de domaine fictif sont introduites. Une méthodede domaine fictif conduit à la reformulation du problème local sur un patch fictif Λ˜ (figure 2(c)) et parconséquent la formulation du problème sur un espace produit de tenseurs [9, 10, 11]. Outre la possibilitéd’utiliser des espaces d’approximation différents au niveau déterministe pour les problèmes globaux etlocaux (approximations grossière au niveau macro et fines au niveau micro), la séparation des échellesoffre également l’avantage d’améliorer le conditionnement du problème. Afin de s’attaquer à la grandedimension émanant de ces problèmes multiéchelles avec de nombreuses sources d’incertitudes, les pro-blèmes globaux et locaux sont résolus à l’aide de méthodes d’approximation de tenseurs permettant lareprésentation séparée de rang faible des solutions stochastiques paramétriques u(ξ1, · · · ,ξd) de grandedimension. Les propriétés de ces méthodes d’approximation de tenseurs, qui sont étroitement liées auxdécompositions spectrales, profitent de la séparation d’échelle, et l’introduction de ces approximationsdans l’approche multiéchelle est un point clé pour l’efficacité de la méthode dans son ensemble. Diffé-rents formats de représentation de tenseur sont exploités [12]. La décomposition canonique hiérarchiqueintroduite dans [13, 14] est particulièrement adaptée à notre problème puisqu’elle donne des représenta-tions de rang très faible.Références[1] H. G. Matthies. Stochastic finite elements : Computational approaches to stochastic partial differential equa-tions. ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 88(11) :849–873, 2008.[2] A. Nouy. Recent developments in spectral stochastic methods for the numerical solution of stochastic partialdifferential equations. Archives of Computational Methods in Engineering, 16(3) :251–285, 2009.[3] D. Xiu. Fast numerical methods for stochastic computations : a review. Communication in ComputationalPhysics, 5(2-4) :242–272, 2009.[4] O. P. Le Maître and O. M. Knio. Spectral Methods for Uncertainty Quantification : With Applications toComputational Fluid Dynamics. Springer, 1st edition, 2010.[5] M. Chevreuil, A. Nouy, and E. Safatly. A multiscale method with patch for the solution of stochastic partialdifferential equations with localized uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,255 :255–274, 2013.[6] L. Gendre, O. Allix, and P. Gosselet. A two-scale approximation of the schur complement and its use fornon-intrusive coupling. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 87 :889–905, 2011.[7] A. Lozinski. Méthodes numériques et modélisation pour certains problèmes multi-échelles. Université PaulSabatier, Toulouse 3, 2010.[8] C. Hager, P. Hauret, P. Le Tallec, and B. I. Wohlmuth. Solving dynamic contact problems with local refinementin space and time. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 201 - 204(0) :25 – 41, 2012.2[9] C. Canuto and T. Kozubek. A fictitious domain approach to the numerical solution of pdes in stochasticdomains. Numerische Mathematik, 107(2) :257–293, 2007.[10] A. Nouy, A. Clément, F. Schoefs, and N. Moës. 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International Journal for Numerical Methods in Engineering,89 :241–268, 2012.3

Méthode multi-échelle avec patchs pour la propagation d'incertitudes localisées dans les modèles stochastiques

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