International audienceUn ordinateur est une machine à calculer programmable à la fois finie et discrète. La plupart des nombres et en particulier les nombres réels ne peuvent donc pas y être mémorisés et manipulés exactement. Dans la plupart des calculs, cela introduit des erreurs d'arrondi qui, principalement dans les problèmes sensibles aux conditions initiales, peuvent se propager et s'amplifier. Les propriétés mathématiques usuelles, telle l'associativité, sont perdues et ainsi, deux ordinateurs différents aux niveaux matériel et/ou logiciel pourront donner à partir d'un même programme des résultats différents

Colonna, Jean-François

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Un ordinateur est-il une parfaite machine a` calculer ?Jean-Franc¸ois ColonnaTo cite this version:Jean-Franc¸ois Colonna. Un ordinateur est-il une parfaite machine a` calculer ?. Im-ages des Mathe´matiques, CNRS, 2010, http://images.math.cnrs.fr/Un-ordinateur-est-il-une-parfaite.html. <hal-00586668>HAL Id: hal-00586668https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00586668Submitted on 18 Apr 2011HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Face donc à leur omniprésence, ilest essentiel de savoir s’ils effectuent correctement ces calculs de base auxquels tout doit se ramener.Toutes les  valeurs numériques que nous utilisons,  en particulier  dans la  vie courante,  sont  exprimées en base 10.Rappelons que, par exemple, l’écriture 5039 28 signifie :5 0 0 0 0 0 0Malheureusement, la base 10 ne peut être utilisée dans un ordinateur car pour ce faire il faudrait pouvoir disposer desystèmes  physiques  à  dix  états  d’équilibre  or  ceux-ci  seraient  très  difficiles  à  concevoir  et  à  réaliser.  Par  contre,nombreux sont les systèmes à deux états d’équilibre et par exemple un interrupteur électrique qui est soit ouvert soitfermé. C’est donc la base 2 qui sera utilisée dans les ordinateurs.Pour  entrer  un  nombre  décimal  (base  10)  dans  un  ordinateur,  il  faudra  donc  le  convertir  en  binaire  (base  2)  etinversement pour sortir une valeur binaire d’un ordinateur, il conviendra de la convertir en décimal. A l’intérieur d’unordinateur, il y a deux types principaux de nombres :Les nombres entiers 2 1 1 2 .Les nombres flottants dont le principe, pour simplifier, consiste à ramener la valeur absolue de tout nombre dans[1 0[ grâce à une multiplication par une puissance de 10 appropriée (négative, nulle ou positive). Ainsi, parexemple :  −5039 28 5 03928x10 .  Un nombre flottant  sera  donc défini  par  un petit  nombre décimal(appelé mantisse) et un exposant (respectivement −5 03928 et +3 dans l’exemple précédent).La mémoire des ordinateurs contiendra donc des chiffres binaires 0 et 1 (ou bits contraction de l’anglais binary digits).Leur capacité pourra être énorme (par exemple mille milliards de bits), mais, et cela est très important à retenir, elle seratoujours finie.En général, les nombres entiers sont définis à l’aide de 32 bits : un bit pour le signe (0 et 1 signifiant respectivement ’+’et ’-’) et 31 bits pour la valeur absolue. Ainsi, seuls les nombres entiers de −2147483648 à +2147483647 serontreprésentables  et  manipulables.  La représentation binaire  des  entiers  est  exacte ;  ainsi,  par  exemple le  nombre 25s’écrira avec 32 bits :00000000000000000000000000011001car :25 6 1001En ce qui concerne les nombres flottants,  64 bits leurs sont réservés (il  convient d’ajouter qu’il  existe aussi unereprésentation n’utilisant que 32 bits, mais que celle-ci sera ignorée par soucis de simplicité). L’inventaire exhaustif desnombres alors accessibles est délicat à réaliser mais de toute évidence leur nombre est fini. A titre d’exemple le nombrepi (dont 2.699.999.990.000 décimales sont connues à la date de rédaction de cet article) ne peut donc être représentéexactement dans un ordinateur. La représentation flottante des nombres décimaux sera plus compliquée que celle desentiers, mais surtout elle sera en général approximative ; ainsi, par exemple le nombre décimal 0.3 s’écrira avec 64 bits(sans plus d’explications...) :0011001100110011001100110011001100111111110100110011001100110011dont la valeur est très proche de 0.3 sans toute fois l’égaler car, en effet, la somme d’un nombre fini d’inverses de1 3 + 0 1 2 + 3 1 1 + 9 1 0 + 2 1 −1 + 8 1 −2− − 0 + +1= − 3= 1 + 8 + 1 = 1 24 + 1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20 = 1puissances de 2 ne peut être égale à 0.3 !Intéressons-nous à quelques conséquences malheureuses de cela lors de calculs utilisant les nombres flottants.Les  nombres  flottants  ne  sont  pas  des  nombres  au  sens  mathématique  du  terme  car,  en  effet,  les  propriétésd’associativité (de l’addition et de la multiplication) et de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition sontperdues. Rappelons qu’elles signifient respectivement :(AB)C (BC)(A ) B )A(B ) B Cpour tout triplet de nombres A, B et C . Vérifions-le pour l’associativité en essayant les deux petits programmes suivantécrits dans le langage C (ces programmes élémentaires sont communiqués au lecteur afin de permettre à tout un chacunde reproduire le phénomène [1]) :double   addition(x,y)                                     double    multiplication(x,y)double   x;                                                double    x;  double   y;                                                double    y;           {                                                           {             return(x+y);                                                return(x*y);         }                                                           }main()                                                      main()         {                                                           {             double    a=1.1;                                            double    a=1.5;         double    b=3.7;                                            double    b=2.3;         double    c=5.5;                                            double    c=3.7;         double    x1,x2;                                            double    x1,x2;         x1 = addition(addition(a,b),c);                             x1 =multiplication(multiplication(a,b),c);         x2 = addition(a,addition(b,c));                             x2 =multiplication(a,multiplication(b,c));         printf("(%.6f + %.6f) + %.6f = %.15f\n",a,b,c,x1);          printf("(%.6f * %.6f) * %.6f= %.15f\n",a,b,c,x1);         printf("%.6f + (%.6f + %.6f) = %.15f\n",a,b,c,x2);          printf("%.6f * (%.6f * %.6f)= %.15f\n",a,b,c,x2);         }                                                           }(1.100000 + 3.700000) + 5.500000 = 10.300000000000001       (1.500000 * 2.300000) * 3.700000 =12.7649999999999991.100000 + (3.700000 + 5.500000) = 10.299999999999999       1.500000 * (2.300000 * 3.700000) =12.765000000000001Les résultats obtenus sont différents mais malgré tout proches l’un de l’autre. Mais en est-il toujours ainsi ? Exploitonscet autre petit programme [2] dans lequel nous allons calculer successivement les valeurs de x , x , etc qui dépendentles unes des autres, puis imprimer [3] celles-ci :                 main()         {         double    A,B,x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7;         B=4095.1;         A=B+1;         x0 = 1;= A+ B + C = A + ( + C+ C = A + A0 1         x1 = (A*x0) - B;         x2 = (A*x1) - B;         x3 = (A*x2) - B;         x4 = (A*x3) - B;         x5 = (A*x4) - B;         x6 = (A*x5) - B;         x7 = (A*x6) - B;         printf("x0=%+.16f\n",x0);         printf("x1=%+.16f\n",x1);         printf("x2=%+.16f\n",x2);         printf("x3=%+.16f\n",x3);         printf("x4=%+.16f\n",x4);         printf("x5=%+.16f\n",x5);         printf("x6=%+.16f\n",x6);         printf("x7=%+.16f\n",x7);         }x0=         +1.0000000000000000x1=         +1.0000000000004547x2=         +1.0000000018631452x3=         +1.0000076316294826x4=         +1.0312599175240718x5=       +129.0437481703507956x6=    +524480.9968805739190429x7=+2148322516.2225189208984375Notons au préalable que ce programme très simple ne contient pas (ne peut pas contenir...) d’erreur de conception, nefait pas appel à des méthodes d’approximation [4] et qu’enfin les réponses attendues (=1) sont connues a priori (ce quiest exceptionnel !). En effet, la propriété suivante est vraie :A = = 7 6 5 4 3 2 1 0Malheureusement ce programme ne donne pas du tout des valeurs égales à 1 (sauf évidemment la première). Où est leproblème ? En fait, A  n’est pas égale à 1 ; A  est égale à 1 plus ou moins  (un simple bit), tout simplementparce que 4095 1 et 4096 1 ne sont pas représentables exactement dans un ordinateur en utilisant la représentationflottante !  Evidemment,  il  est  possible  d’imaginer  (et  il  en  existe)  d’autres  façons de représenter  les  nombres  quipermettraient de résoudre ce problème particulier : on pourrait, par exemple, manipuler 4095 1 et 4096 1 commedeux fractions 40951 10 et 40961 10 et travailler ainsi uniquement avec des nombres entiers. On pourrait aussiimaginer  que  le  compilateur  (programme  traduisant  en  instructions  élémentaires  les  instructions  données  parl’utilisateur)  se  rende compte,  par  des  manipulations « formelles »,  que tous les  x  sont  égaux exactement  à  1  etremplace alors les expressions x Ax )  par x . Mais cela ne serait que répondre à des cas particulierset ne résoudrait pas le problème général qui encore une fois vient de la capacité finie des ordinateurs.L’intérêt de ce programme est donc d’une part de révéler de façon tout à fait violente un problème général d’exactitudedes calculs dans un ordinateur. D’autre part il montre qu’une erreur infime (le simple bit qui faisait que A-B n’était paségal  à  1)  peut  s’amplifier  de  manière  « explosive » !  Enfin,  il  fait  référence  à  un  processus  appelé  calcul  itératifomniprésent,  en  particulier,  en  physique  mathématique  où  une  grandeur  est  transformée  et  retransformée  suivantcertaines lois. Cela sera le cas dans le dernier exemple avec les coordonnées tridimensionnelles des quatre corps (deuxétoiles et deux planètes). En effet, ces dernières seront données a priori à l’instant initial puis transformées ensuited’instants en instants selon les lois de Newton de la Physique classique.Ces deux expériences « simplistes » démontrent qu’un ordinateur, quel qu’il soit,  n’est pas une machine à calculerparfaite. La cause en est donc l’impossibilité de représenter exactement tous les nombres dont nous avons besoin.Malheureusement, la plupart des calculs « utiles » qui sont effectués dans les ordinateurs font référence aux nombresréels.  D’après  ce  qui  précède,  ces  derniers  ne  pourront  pas  être  ni  représentés,  ni  manipulés  exactement  dans  unordinateur (sauf cas très particuliers, comme les petits nombres entiers...).Rappelons d’abord qu’un ordinateur est fait de matériel (le hardware) et de programmes -ou logiciels- (le software). Engénéral deux ordinateurs quelconques ne seront pas strictement identiques ; il en sera ainsi, en particulier, en ce qui= B + 1 = A − B = 1 = x = x = x = x = x = x = x = x = 1− B − Bii+1 = ( i − B i+1 = 1concerne l’interprétation des  expressions  mathématiques  avec les  programmes appelés  compilateurs.  Par  exemple,l’expression suivante :(A )(C )pourra être « comprise » de plusieurs façons différentes :(A )(C )A(C ) (C )AC D C Detcqui sont équivalentes mathématiquement parlant. Mais ceci n’est plus vrai dans un ordinateur, à cause de la perte despropriétés d’associativité et de distributivité. Alors, dans ces conditions, un programme unique pourra produire desrésultats non identiques s’il est exécuté sur plusieurs ordinateurs différents.Cette expérience montre le calcul des trajectoires de deux planètes en orbite autour d’une étoile binaire. Le calcul esteffectué sur  trois  ordinateurs  différents  à  l’aide d’un seul  et  même programme aussi  bien en ce qui  concerne lesinstructions que les conditions initiales. Les résultats du premier sont coloriés en rouge, ceux du second en vert et enfinceux du troisième en bleu. L’état initial est représenté dans l’image numérotée 01. Au début du calcul (jusqu’à environl’image 04) les trois ordinateurs donnent pratiquement les mêmes résultats qui se superposent donc et apparaissent enblanc (puisque, suivant le principe de la synthèse additive des couleurs utilisé pour les écrans d’ordinateur, un point quipossède le même niveau de rouge, de vert et de bleu apparait gris). Au-dela de l’image 04, les trajectoires blanchessemblent se subdiviser en trois, visualisant ainsi la divergence entre les trois machines qui sont alors bien loin d’êtred’accord entre-elles et évidemment toutes les trois se trompent ! Une remarque s’impose alors : le calcul ici présentérepose sur les principes de la mécanique newtonienne et des méthodes dites d’intégration numérique, mais cela importepeu : en effet, ce qui est mis en évidence c’est qu’un programme peut donner des résultats différents suivant la machinesur laquelle il s’exécute.+ B + D+ B + D+ D + B + D+ A + B + BFort heureusement, tous les programmes ne sont pas sensibles à ce phénomène !On pourra trouver ici d’autres exemples d’anomalies concernant, par exemple, l’influence du style du programmeurou encore la difficulté de pratiquer le calcul dit parallèle sur des systèmes hétérogènes (c’est-à-dire non strictementidentiques aussi bien au niveau du matériel que du logiciel) ou enfin la pérennité et la reproductibilité des résultatsnumériques.Il est incontestable que l’ordinateur est une machine aux possibilités quasiment infinies, aussi bien dans la vie couranteque dans la recherche scientifique la plus fondamentale. Mais il convient de na pas oublier qu’il n’est pas infaillible etque, comme tout outil, il n’est pas neutre. Connaître et maîtriser ses limites c’est pouvoir en tirer le meilleur parti, maistout en restant vigilant.Notes[ 1]  Dans  ces  programmes  deux  fonctions  addition(x )  et  multiplication(x )  sont  définies  afin  de  fairerespectivement l’addition et la multiplication de deux nombres flottants 64 bits (dits double) x et y. Ces deux fonctions sontdestinées à imposer l’ordre des opérations dans le programme principal (ou main) : puisque l’on veut comparer les valeursde (AB)C  et de A(BC) il faut être sûr que l’on calcule bien ces deux expressions. Sinon, imposer l’ordre des opérations esttrès  difficile,  voire  impossible,  même  à  l’aide  de  parenthèses,  lorsqu’il  y  a  plusieurs  possibilités  mathématiquementéquivalentes.[ 2] Pour des raisons de simplicité et de compréhension, la notion d’itération n’y est pas utilisée, alors qu’il pourrait êtreévidemment rédigé de façon beaucoup plus compacte[ 3] à l’aide la fonction printf .[ 4] Contrairement à l’exemple du calcul de trajectoires décrit à la fin de cet article.Crédits imagesPour citer cet article : Jean-François Colonna, Un ordinateur est-il une parfaite machine à calculer ?. Images desMathématiques,  CNRS,  2010.  En  ligne,  URL  :  http://images.math.cnrs.fr/Un-ordinateur-est-il-une-parfaite.htmly y

Un ordinateur est-il une parfaite machine à calculer ?

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