Schiffer, Katrin

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KurzzusammenfassungAlgebra nimmt innerhalb der Mathematik eine zentrale Rolle ein. Die algebraische Symbolspra-che bildet die Grundlage für die allgemeine Betrachtung und Beschreibung von mathematischenStrukturen. Mit Hilfe von Variablen können allgemeine Gesetze aufgestellt und funktionale Ab-hängigkeiten beschrieben werden. Die Algebra liegt somit fast allen mathematischen Tätigkeitenauf einer allgemein formalen Ebene zugrunde. Das Erlernen der Bedeutung und des korrektenUmgangs mit Variablen stellt die wesentliche Voraussetzung für das Verständnis der weiter-führenden Mathematik dar. Mathematikdidaktische Studien haben gezeigt, dass die Schwie-rigkeiten der Schülerinnen und Schüler beim Erlernen der Algebra besonders im mangelndenVerständnis des Begriffs Variable und im Rechnen mit diesen liegen.In der vorliegenden Arbeit wird durch den historisch-mathematischen Ansatz zur Rekon-struktion mathematischen Wissens ein neuer Blickwinkel auf die Probleme der Schülerinnenund Schüler aufgezeigt. Dazu wird zunächst in einer Analyse die historische Entwicklung derAlgebra betrachtet und anschließend die Einführung der Algebra im heutigen Mathematikun-terricht mittels einer Schulbuchanalyse untersucht.In der Analyse der historischen Entwicklung der Algebra und der algebraischen Symbol-sprache wird die zugrunde liegende Auffassung von Algebra untersucht und epistemologischeHindernisse bei der Entstehung des Variablenbegriffs identifiziert. Die algebraische Symbol-sprache hat sich in den Jahrhunderten von rein sprachlichen Äußerungen über die Darstellungmit einer Variablen für die gesuchte Unbekannte, hin zu einer vollständig symbolischen Dar-stellung entwickelt. Der Erwerb des Verständnisses von jeweils einer neuen Verwendung vonVariablen ist mit epistemologischen Hindernissen verbunden, die in der Natur der Objekte ansich liegen und daher nicht vermieden werden können. Der semantische Kontext bei der Ent-wicklung der Algebra gibt Aufschluss über den ontologischen Status der Objekte und damit aufdie vorherrschende Auffassung von Algebra. Als paradigmatisches Beispiel für die Auffassungder Algebra in der historischen Entwicklung wird Eulers Lehrbuch „Vollständige Anleitung zurAlgebra” untersucht. Die Grundlage von Eulers Betrachtung bilden Größen aus realen Größen-bereichen. Die Begründungen mathematischer Aussagen erfolgen induktiv durch die Angabeeines paradigmatischen Beispiels oder durch eine geometrische Veranschaulichung in einem rea-len Größenbereich. Die von Euler vertretene Auffassung von Algebra ist nicht formal abstraktwie in der heutigen Wissenschaft, sondern sie ist empirisch-gegenständlich.In der Schulbuchanalyse der Schulbuchreihen „Schnittpunkt” und „Elemente der Mathema-tik” wird die Auffassung von Algebra ermittelt, die durch die Einführung der Begriffe, die Naturder Objekte und die Begründungen von mathematischen Aussagen in den Schulbüchern darge-stellt wird, und welche die Schülerinnen und Schüler durch das Lernen mit diesen Schulbüchernerwerben. Die Grundrechenarten der natürlichen Zahlen werden im Größenbereich der Längendurch das Aneinanderfügen und Wegnehmen von Strecken erläutert, wodurch eine geometri-sche Vorstellung von den Rechenoperationen aufgebaut wird. Die Begriffe und Lerninhalte derAlgebra werden in sinnstiftenden Sachaufgaben eingeführt und in geometrischen Darstellun-gen veranschaulicht. Die Rechengesetze und Termumformungen werden in realen Größenbe-reichen begründet und erklärt. Die von dem Schulbuch intendierten Veranschaulichungen sindaus Schülersicht die Objekte der Algebra. Es ist daher davon auszugehen, dass die Schülerinnenund Schüler durch das Arbeiten mit den Schulbüchern eine empirische Theorie der Algebraerwerben. Diese Auffassung von Algebra der Schülerinnen und Schüler steht im Kontrast zu derüblicherweise formal abstrakten Auffassung der Lehrer. Sie ist jedoch, wie anhand der Analysevon Eulers Algebra gezeigt wurde, historisch berechtigt und stellt eine adäquate Beschreibungder Schülertheorien dar.

Probleme beim Übergang von Arithmetik zu Algebra

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Probleme beim Übergang von Arithmetik zu Algebra

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