International audienceUn code numérique, fondé sur la technique de résolution numérique Boltzmann sur Réseau (BR), d'estimation de propriétés physiques des matériaux poreux à partir d'images en coupe, obtenues en Microscopie Electronique à Balayage (MEB) est présenté. Les premiers résultats de cette technique testée sur des configurations bidimensionnelles montrent l'aptitude de la méthode à simuler avec une bonne précision les phénomènes de transfert de chaleur et de masse. L'étude numérique est étendue à l'estimation des paramètres physiques caractéristiques des matériaux poreux

Arab, Mohamed Raed

Calve, Nicolas

El Ganaoui, Mohammed

Pateyron, Bernard

Semma, Elalami

HAL-UNILIM

Caracte´risation physique des mate´riaux poreux par uneme´thode de type Boltzmann sur Re´seauMohamed Raed Arab, Elalami Semma, Nicolas Calve, Bernard Pateyron,Mohammed El GanaouiTo cite this version:Mohamed Raed Arab, Elalami Semma, Nicolas Calve, Bernard Pateyron, Mohammed ElGanaoui. Caracte´risation physique des mate´riaux poreux par une me´thode de type Boltz-mann sur Re´seau. Jean-Jacques BEZIAN. JITH 2007, Aug 2007, Albi, France. ENSTIMAC,5p., 2007. <hal-00154414>HAL Id: hal-00154414https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00154414Submitted on 29 Aug 2007HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.13èmes Journées Internationales de Thermique  Albi, France du 28 au 30 Août 2007  1 CARACTERISATION PHYSIQUE DES MATERIAUX POREUX PAR UNE METHODE DE TYPE BOLTZMANN SUR RESEAU  M. R. ARAB*1, E. SEMMA2, N. CALVE1, B. PATEYRON1, M. El GANAOUI1  1 SPCTS UMR 6638 CNRS Univ. de Limoges. FST, 123 Av Albert Thomas 87060 Limoges 2 Laboratoire de Mécanique, FST de Settat, B.P. 577, Settat, Maroc * m.raed.arab@etu.unilim.fr   Résumé : Un code numérique, fondé sur la technique de résolution numérique Boltzmann sur Réseau (BR), d’estimation de propriétés physiques des matériaux poreux à partir d’images en coupe, obtenues en Microscopie Electronique à Balayage (MEB) est présenté. Les premiers résultats de cette technique testée sur des configurations bidimensionnelles montrent l’aptitude de la méthode à simuler avec une bonne précision les phénomènes de transfert de chaleur et de masse. L’étude numérique est étendue à l’estimation des paramètres physiques caractéristiques des matériaux poreux.  Mots clés : Boltzmann sur Réseau, milieu poreux, propriétés physiques  1. INTRODUCTION  L’évaluation de propriétés physiques des matériaux poreux est d’importance cruciale particulièrement pour les couches déposées par projection thermique. La mesure expérimentale directe coûte cher et prend du temps. Elle est aussi difficile en raison de faibles épaisseurs de ces dépôts et de leur architecture complexe inhomogène en porosité, fissuration et composition. Les méthodes indirectes par simulations sont donc attrayantes. La méthode Boltzmann sur réseau BR est proposée pour caractériser les matériaux poreux par simulation à partir d’images de leur structure. Cette méthode mesoscopique a prouvé son efficacité dans le domaine d’écoulements classiques dans les milieux fluides et les milieux poreux [1-4]. Elle a attirée l’attention des mécaniciens des fluides pour la simulation d’écoulements dans des géométries complexes et en particulier les milieux poreux [5-6]. Cette méthode permet de considérer le fluide comme un ensemble de particules qui se déplacent à des vitesses précises et dont les positions sont connues à un temps donné t. Ella a l’avantage d’être parallèlisable [7] et d’utiliser des expressions simples pour décrire les conditions aux limites [1-4], ce qui permet d’envisager de traiter le cas des dépôts poreux obtenus par projection en jets plasmas thermiques. Dans ce travail, un modèle D2Q9 est développé pour déterminer le mode d'écoulement dans un milieu poreux et caractériser ce milieu par la détermination de sa perméabilité.  2. METHODE DE BOLTZMANN SUR RESEAU  Historiquement, BR est dérivée de la méthode Gaz sur Réseau (GsR) [8, 9, 10]. Elle est fondée sur la fonction de la distribution f(x,v,t) qui exprime la probabilité de trouver une particule du fluide de vitesse v , à la position x, à l’instant t.  2.1 BR dans l’approximation BGK Dans l’approximation BGK « Bhatnagar-Gross-Krook », l’équation discrétisée de Boltzmann sur réseau est écrite [8]: hal-00154414, version 1 - 29 Aug 2007Manuscrit auteur, publié dans "JITH 2007, Albi : France (2007)"13èmes Journées Internationales de Thermique  Albi, France du 28 au 30 Août 2007  2 ( ) ( ) Ω=−++ txftexf i ,1,  (1) où, ie  est la vitesse microscopique et le terme de collision Ω  représente la variation de la fonction de distribution due aux collisions entre les particules : ( ) ( )( )txftxf eq ,,1 −−=Ωτ (2) τ  est le temps de relaxation "adimensionnel" dû à la collision, ( )txf eq , est la fonction de distribution à l’équilibre  définie pour un modèle D2Q9 par l’expression [9]: ( )−++= 2422 2.2..1ssseqcuucuecuewf αααα ρ (3) Avec 940 =w , 914,3,2,1 =w  et 3618,7,6,5 =w . Ces constantes sont choisies d’une manière qui conserve l’isotropie du réseau [7] ( 1=∑ iw ). Les composantes de vitesse sont présentées dans la figure 1. 31=sc  étant la célérité adimensionnelle du son en réseau.  2.2 Equations hydrodynamiques de BR  La masse volumique du fluide et la vitesse macroscopique sont évaluées par [2] : ( ) ∑∑ ==ααααρ eqftxf , (4) ( ) ( ) ∑∑ ==ααααααρ eqfetxfetxu ,, (5) Pour l’énergie [1] : ( )( ) ( ) ( )∑∑ −=−=ααααααρε eqfuetxftxuetx 22 21,,21),( (6) où ( ) TDtx2, =ε   Figure 1 : Réseau D2Q9 avec ces vitesses. La viscosité du fluide simulé est donnée par ( )5.02 −= τυ sc  et la pression est 2scp ρ= .  3. MILIEU POREUX   Un milieu poreux est défini par une image en coupe de matériau, obtenue en microscopie électronique à balayage (MEB) puis traitée de manière à obtenir une image binaire lisible par le code. La figure 5 montre un exemple de telle image. Pour des petits domaines, la représentation du milieu poreux dans le modèle est obtenue en définissant des obstacles solides. La condition Standard Bounce-Back (SBB) est appliquée comme condition aux limites. Cette condition a été imposée aux surfaces solides (y compris les obstacles) pour assurer ce que l’on appelle la condition de non-glissement. La figure 2 0 ( )( ) ( )( )=±±=±±==8,7,6,5                  1,14,3,2,1         1,0,0,10                      0,0ααααe  hal-00154414, version 1 - 29 Aug 200713èmes Journées Internationales de Thermique  Albi, France du 28 au 30 Août 2007  3 donne une simple explication de cette technique. Après la collision, la particule de la fonction de distribution rebondit dans la direction opposée vers son nœud provenance   Figure 2 : la condition sbb. Le disque plein est un obstacle (solide) et l’autre est un site vide (passage de fluide). Dans un milieu poreux, l'écoulement peut être approximé numériquement pour les faibles vitesses selon la loi de Darcy : pku ′∇′′−=′µ (7) où u ′  est le flux de la matière étudiée par unité de surface, p′∇  est le gradient de pression appliquée, υρµ ′′=′  est la viscosité dynamique et k ′  est le coefficient de la perméabilité représentant la résistance du matériau au passage de matière.  4. TRAVAUX ET DISCUSSION  Pour valider le code nous avons considéré l'écoulement Poiseuille en régime stationnaire entre deux parois planes comme le montre la figure 3. Il admet une solution stationnaire de la forme : ( )222yaLpu −∆=µ,       xLppp in∆−=  (8) Avec outin ppp −=∆ , pin et pout les valeur de la pression (masse volumique) maintenue respectivement à l’entrée et à la sortie du domaine. La cavité considérée est de rapport de forme 4 et de taille du réseau de 200×50 pixels. Le critère de convergence est donné par la condition : 6,)1(,)()1(10−++≤−∑∑jinijjinijnijuuu (9) La figure 4 montre un bon accord entre les résultats numériques et  la solution analytique et montre alors l'aptitude du modèle présenté à simuler avec une précision acceptable l'écoulement dans un milieu poreux.  Figure 3 : Ecoulement de Poiseuille et conditions aux limites. hal-00154414, version 1 - 29 Aug 200713èmes Journées Internationales de Thermique  Albi, France du 28 au 30 Août 2007  4 Dans la suite un milieu poreux est considéré [11]. Une image en coupe de matériau, obtenue en MEB, est obtenue puis traitée de manière à distinguer les zones fluides des zones solides (figure 5). Par la suite est imposé un gradient de pression avec outin ρρ > . Le milieu poreux est caractérisé par sa perméabilité évaluée à partir de la loi de Darcy (Eq. 7).   Figure 4 : Profils numérique et analytique de la vitesse horizontale dans un écoulement de Poiseuille (Fig. 3)   Figure 5 : Image traitée d’un milieu poreux Dans la simulation la valeur adimensionnelle de la perméabilité est donnée par : puk∆=Re2ρ (10) avec la vitesse adimensionnelle u, le nombre de Reynolds et la différence de pression sont définis par : uxtu ′∆∆= , νuN=Re  et 3/)( outinp ρρ −=∆  Dans notre cas nous avons tracé la variation de la perméabilité en fonction du gradient de pression dans la figure 6. Il est remarqué que la perméabilité varie autour d’une valeur moyenne qui peut être considérée comme valeur approchée de la perméabilité. Cette valeur doit être indépendante de la valeur de la viscosité et des valeurs numériques liées au réseau BR. La figure 7 montre que l’effet de la viscosité sur la variation de la perméabilité devient négligeable pour un écoulement visqueux.  CONCLUSION  Un code numérique, fondé sur la technique Boltzmann sur Réseau, pour l’estimation de certaines propriétés physiques des matériaux poreux, est présenté. Il permet  d’étudier l’écoulement dans ces matériaux à partir d’images en coupe, obtenues en microscopie électronique à balayage (MEB). Les premiers résultats de cette technique testée sur des configurations bidimensionnelles montrent l’aptitude de la méthode à simuler avec une bonne précision les phénomènes de transfert de chaleur et de masse. L’étude numérique est étendue à l’estimation des paramètres physiques caractéristiques des matériaux poreux comme la perméabilité. Les résultats thermiques seraient présentés prochainement. hal-00154414, version 1 - 29 Aug 200713èmes Journées Internationales de Thermique  Albi, France du 28 au 30 Août 2007  5 012340 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Gradient de pressionPerméabilité x10-5 00.511.522.530.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2ViscositéPerméabilité x10-5 Figure 6 : Variation de la perméabilité adimensionnelle en fonction du gradient de pression Figure 7 : Variation de la perméabilité adimensionnelle en fonction de la viscosité  Nomenclature u vitesse macroscopique m.s-1 Symboles grecs T température K τ temps de relaxation p pression adimensionnelle w poids nodal f fonction de la distribution δx constante du réseau feq fonction de distribution à l’équilibre ν viscosité cinématique m2.s-1 t temps s δt pas de temps D dimension du modèle ρ masse volumique kg.m-3 cs vitesse de son en réseau  α indice du réseau eα vitesse cartésienne en réseau   k perméabilité m2 ‘ variable dimensionné  Références  [1] S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond, Oxford Science Publications, 2001. [2] M. C. Sukop et D. T. Thorne, Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers, Springer, 2006. [3] S. Chen et G. D. Doolen, Lattice Boltzmann method for fluid flows, Ann. Rev. Fluid Mech. 30, pp. 329-364, 1998. [4] R. Peyret, et T.D. Taylor, Computational Methods for Fluid Flow, Springer-Verlag, New York, 1983.  [5] O. Dardi et J. McCloskey, Lattice Boltzmann scheme with real numbered solid density for the simulation of flow in porous media, Phys. Rev. E, vol57, pp 4834-4837, 1998.  [6] G. Jin, T. W. Ptazek et D. B. Silin, Direct Prediction of the Absolute Permeability of Unconsolidated and Consolidated Reservoir Rock, SPE 90084, 2004 [7] A. Dupuis, From a lattice Boltzmann model to a parallel and reusable implementation of a virtual river, Thèse soutenue à Genève en Suisse 2002  [8] X. He et Li-Shi Luo, Theory of the lattice Boltzmann method: From the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann equation, Phys. Rev. E, vol56, pp 6811-6817, 1997. [9] X. He et Li-Shi Luo, A priori derivation of the lattice Boltzmann equation, Phys. Rev. E, vol55, pp R6333-R6336, 1997. [10] A. Evgrafov, G. Pingen et K. Matue, Topology optimization of fluid problems by the Lattice Boltzmann method, University of Colorado USA, 2006. [11] Comsol Multiphysics 3.2 Package. Earth Science Module. Model Library. hal-00154414, version 1 - 29 Aug 2007

Caractérisation physique des matériaux poreux par une méthode de type Boltzmann sur Réseau

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00154414

Caractérisation physique des matériaux poreux par une méthode de type Boltzmann sur Réseau

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

HAL-UNILIM