International audienceUne méthode numérique basée sur l'équation de Boltzmann (LBE) à deux distributions est développée pour résoudre les équations de conservation (énergie et quantité de mouvement). La configuration considérée est un canal chauffé par le bas, refroidi par le haut et traversé par un fluide (Pr = 1). L'étude est effectuée pour une gamme de nombres de Rayleigh (

Bennacer, Rachid

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Analyse de l’e´coulement de Poiseuille - Rayleigh -Be´nard (PRB) par la me´thode de Lattice BoltzmannS. Eddakiri, Elalami Semma, Mohammed El Ganaoui, Rachid BennacerTo cite this version:S. Eddakiri, Elalami Semma, Mohammed El Ganaoui, Rachid Bennacer. Analyse del’e´coulement de Poiseuille - Rayleigh - Be´nard (PRB) par la me´thode de Lattice Boltzmann.Jean-Jacques BEZIAN. JITH 2007, Aug 2007, Albi, France. ENSTIMAC, 5p., 2007. <hal-00161217>HAL Id: hal-00161217https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00161217Submitted on 29 Aug 2007HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.13èmes Journées Internationales de Thermique Albi, France du 28 au 30 Août 2007   1 ANALYSE DE L’ÉCOULEMENT DE POISEUILLE – RAYLEIGH – BÉNARD (PRB) PAR LA MÉTHODE DE LATTICE BOLTZMANN   S. EDDAKIRI(1) ,  A. SEMMA(1,2,*),  M. EL GANAOUI(2),  R. BENNACER(3)  (1) Laboratoire de Mécanique, FST de Settat, B.P. 577, Settat, Maroc (2) Université de Limoges, SPCTS UMR 6638 CNRS, 123 Av Albert Thomas 87060 Limoges. (3) LEEVAM/Dpt GC Univ. Cergy-Pontoise, 5 mail Gay Lussac, Neuville sur Oise, 95031, France. (*)semmaalam@yahoo.fr  Résumé : Une méthode numérique basée sur l’équation de Boltzmann (LBE) à deux distributions est développée pour résoudre les équations de conservation (énergie et quantité de mouvement). La configuration considérée est un canal chauffé par le bas, refroidi par le haut et traversé par un fluide (Pr = 1). L’étude est effectuée pour une gamme de nombres de Rayleigh (0<Ra<5000) et de Reynolds (0<Re<500). Pour Re=0 et un Ra supérieur à la valeur critique (1707,76), il y’a apparition d’un écoulement de type RB. Cependant, pour des Re non nuls, la transition d’un écoulement de Poiseuille à un écoulement cellulaire s’effectue pour des Ra critiques plus importants (en domaine limité) et les caractéristiques des cellules dépend de l’intensité de l’écoulement à l’entrée du canal. L’évolution du transfert thermique à travers les parois horizontale a été étudiée.    Mots-clefs : Lattice Boltzmann, Poiseuille Rayleigh Bénard, Mécanique des Fluides Numérique.  1. INTRODUCTION  Les écoulements de Poiseuille– Rayleigh–Bénard (PRB) sont des écoulements de convection mixte en conduite rectangulaire horizontale chauffée uniformément par le bas et refroidie uniformément par le haut. Ils résultent de la superposition de deux sources convectives : un gradient de pression horizontal (moteur de la convection forcée) et un gradient de température vertical (moteur de la de convection naturelle).  Plusieurs méthodes ont été utilisées pour simuler numériquement ce type de problèmes qui continuent à susciter de l’intérêt [1, 2]. La particularité de ce travail, réside dans l’utilisation d’un modèle de type Lattice Boltzmann (LBM). La méthode LBM est un nouveau modèle numérique utilisant des algorithmes simples et parallélisables pour résoudre des équations de Navier Stokes [3-5]. Elle est présente dans différents domaines impliquant des contraintes complexes comme l’hydrodynamique dans les milieux poreux, les phénomènes multiphasiques, les écoulements réactifs, ….etc. La plus part des travaux récents utilisant la méthode LBM dans le domaine fluide se sont concentrés aux écoulements isothermes et il reste beaucoup d’efforts à déployer pour couvrir d’autres champs disciplinaires couplant les transferts de chaleur et de masse et l’écoulement des fluides.  Le problème de PRB est ici considéré dans une configuration géométrique de rapport de forme 4. L'effet de l'écoulement sur l'apparition des cellules convectives est étudié.  2. LE MODÈLE DE LATTICE BOLTZMANN (LBM)  Le modèle considéré est à deux populations pour traiter les deux champs thermique et dynamique. hal-00161217, version 1 - 29 Aug 2007Manuscrit auteur, publié dans "JITH 2007, Albi : France (2007)"13èmes Journées Internationales de Thermique Albi, France du 28 au 30 Août 2007   2 La méthode LBM utilisée est basée su le modèle carré [7]  (figure 1). Elle consiste à déterminer la solution de  l’équation suivante : ( , ) - ( , )i i if t t t f t+ ∆ + ∆ = Ωix c x   (1) avec if  la fonction de distribution définie pour un ensemble de particule de vitesse ic . Le terme de collision iΩ  utilise l’approximation dite de Bhatangar-Gross-Krook (BGK). 123456 7 8e1e2e3e4e5e6e7e8 Figure. 1 : Example de Grille LBM (D2Q9) Le principe de cette approximation est basé sur le fait que le terme de collision iΩ  peut être remplacé par une approche linéaire : eqi ii i if f Fδτ−Ω = − +   (2) avec τ  le temps de relaxation et eqif  la fonction de distribution à l’équilibre dépendant des propriétés hydrodynamiques locales. i Fδ  le champ des forces externes. La présente méthode est complètement définie par le choix de la fonction de distribution à l’équilibre [6] : 22 4 49 31 32 2eqi i( )fc c cω ρ  = + + −  i ic .u c .u u.u   (3) avec u et ρ  les valeurs macroscopiques respectives de la vitesse et de la masse volumique et iω  les coefficients de pondération suivant chaque direction du réseau de Boltzmann. Les quantités hydrodynamiques macroscopiques sont déterminées à travers les moments dans l’espace de phase : ii( ,t ) f ( ,t )ρ = ∑x x   (4) ii( ,t ) f ( ,t )ρ = ∑ iu x c x    (5)  La procédure de Chapman-Enskog pour la fonction de distribution permet de retrouver les équations de Navier stokes. La viscosité est reliée au temps de relaxation par la relation : 212v s( )c tν τ δ= −   (6) L’évolution de l’équation LBGK pour la température est donnée par : 1ix c x x x  eqi i i iTg t t t g t g t g tτ+ ∆ +∆ =( , )- ( , ) - ( ( , )- ( , )   (7) avec gi la fonction de distribution de l’énergie, τT le temps de relaxation adimensionnel pour le champ thermique. La température est calculée par la sommation : hal-00161217, version 1 - 29 Aug 200713èmes Journées Internationales de Thermique Albi, France du 28 au 30 Août 2007   3 iigρε = ∑   (8) la diffusivité thermique est reliée au temps de relaxation par : 21 13 2T( )c tα τ δ= −   (9) 3. RÉSULTATS ET DISCUSSION  3.1 Validation du modèle LBM   Le modèle a été validé en considérant une cavité carrée différentiellement chauffée contenant un fluide de Prandtl (Pr=0,71). L’étude a été effectuée pour des valeurs du nombre de Rayleigh allant de Ra=103 à Ra=106 (Figure 2).  Les résultats numériques sont en bon accord avec les résultats de référence [9], voir tableau 1.    Champs thermique Champs dynamique Figure 2. Champs dynamique et thermique dans une cavité différentiellement chauffée (Ra=106) Table 1. Comparaison de nos résultats numériques (en gras) aux valeurs de référence [7]  (soulignées) pour différentes valeurs de Ra=103-106  Ra umax vmax Nu 103 3,699 3,697 3,650 3,649 1,116 1,118 104 19,620 19,617 16,178 16,178 2,245 2,243 105 68,68 68,59 34,73 34,73 4,521 4,519 106 220,418 219,36 64,763 64,63 8,814 8,800  3.2 Ecoulement de Poiseuille – Rayleigh – Bénard   La méthode est appliquée à un canal horizontal de rapport de forme 4 traversé par un jet de fluide et chauffé par le bas. En absence du jet, l’écoulement convectif au sein du canal est de type Rayleigh Bénard qui se déclenche lorsque Ra dépasse une valeur seuil estimée dans cette étude à Rac=1707 avec l’apparition de quatre cellules contrarotatives (Figure. 3).   Pour les faibles Re (<0,1), l’écoulement n’a pas d’effet important sur le déclenchement des instabilités convectives. Les isothermes sont déformées par l’intensité hal-00161217, version 1 - 29 Aug 200713èmes Journées Internationales de Thermique Albi, France du 28 au 30 Août 2007   4 de l’écoulement à l’intérieur du canal. Le transfert convectif aux parois horizontales est amélioré.   L’augmentation de Re retarde l’apparition des instabilités convectives à l’intérieur du canal.  En effet, pour Re=10, les rouleaux convectifs apparaissent pour Rac=8500. Ces rouleaux ne sont pas stationnaires et se déplacent sous l’effet de l'écoulement le long du canal donnant ainsi lieu à une variation périodique des différentes variables macroscopiques (Figure. 4). La figure 5.a montre la variation de la vitesse maximale sur le plan vertical en fonction du temps. Cette vitesse prend des valeurs très faibles en écoulement de Poiseuille.  L’apparition des cellules de convection est indiquée par une augmentation importante de la valeur maximale de V, ceci entraîne aussi une amélioration du transfert thermique au travers des parois.  Le nombre de Nusselt illustre la superposition des valeurs obtenue en Poiseuille et en RB (Figure 5-b).     Figure 3 : Champs dynamique et thermique pour Re=0 et Ra=1750    Figure 4 : Champs dynamique et thermique pour Re=10 et Ra=5000  4. CONCLUSION  La simulation de l’écoulement de Poiseuille - Rayleigh - Bénard basée sur la méthode de Lattice Boltzmann est présentée. Les calculs concernant une cavité différentiellement chauffée montre un bon accord avec les résultats de référence. La méthode est utilisée pour simuler l’effet d’un écoulement horizontal dans un canal de rapport de forme 4 chauffée par le bas et du développement de la convection de type Poiseuille – Rayleigh – Bénard. On montre que l’intensité de l'écoulement retarde l’apparition des cellules convectives et influence le transfert thermique sur les parois isothermes.   hal-00161217, version 1 - 29 Aug 200713èmes Journées Internationales de Thermique Albi, France du 28 au 30 Août 2007   5  (b)  (a) Figure 5. Evolution temporelle de la vitesse maximale (a) et du nombre de Nusselt (b) pour Re=10 et Ra=8500  Nomenclature u Vitesse Symboles grecs T température  τ temps de relaxation R constante de gaz parfait w poids nodal P pression ε Énergie t temps ν viscosité cinématique feq fonction de distribution à l’équilibre δt pas de temps f fonction de la distribution δx constante du réseau D dimension de l’espace Ω opérateur de collision cs vitesse du son sur  réseau lattice ρ masse volumique i indice du réseau α diffusivité thermique F force externe   Nu Nombre de Nusselt    Références  [1] Cheng et Wu (1976), ASME-JHT, 98, 564-569  [2] X. Nicolas (2002), IJTS, 41 961-1016). Bibliographical review on the Poiseuille–Rayleigh–Bénard flows: the mixed convection flows in horizontal rectangular ducts heated from below . International Journal of Thermal Sciences, Volume 41, Issue 10, October 2002, P. 961-1016. [3] Succi S., (2001), The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. Oxford Science Publications. [4] R.Benzi, S.Succi, and M.Vergassola, (1992), The lattice Boltzmann equation: Theory and applications. Physics Reports,   [5] Clément Mouhot .Thèse : Etude mathématique de quelques équations cinétiques collisionnelles, ENS de Lyon, (2005). [6] Li-Shi Luo. (1993), Thesis : Lattice-Gaz Automata and Lattice Boltzmann Equations for two-dimensional Hydrodynamics. Georgia Tech . [7] U. Frisch, B. Hasslacher & Y. Pomeau, (1986), Lattice Gaz automata for the Navier Stokes equation, Phys. Rev. Lett. 56  pp. 1505-1508. [8] E. Semma, M. El Ganaoui, R. Bennacer and A. A. Mohamad. Melting and Solidification problem, The Lattice Boltzmann Method Submitted to Int. Journal of Thermal Sciences, in press 2007. [9] G. de Vahl Davis, (1983), Natural convection of air in a square cavity : a benchmark numerical solution, Int. J. Numer. Fluid Meth. Fluids 3. hal-00161217, version 1 - 29 Aug 2007

Analyse de l'écoulement de Poiseuille - Rayleigh - Bénard (PRB) par la méthode de Lattice Boltzmann

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