10 pagesNational audienceLe contrôle et le réglage des structures de tenségrité nécessitent la mesure de la tension des câbles en place. Un modèle empirique de flexion trois points, prenant en compte l'inertie de flexion du câble, est développé pour un tensiomètre d'espacement 20 cm entre poulies. La courbe expérimentale (F, d) du tensiomètre obtenue pour le câble installé sur banc de tension permet, après régression polynomiale, l'évaluation de l'inertie de flexion du câble. Un essai au tensiomètre sur le câble installé dans la structure permet ensuite d'obtenir avec une excellente précision la tension en place. Avec une incertitude plus importante, la raideur des appuis peut aussi être évaluée

Angellier, Nicolas

Cevaer, Franck

Dubé, Jean-François

Quirant, Jérôme

HAL Descartes

Mesure de la tension de câbles à rigidité de flexion non nulle à l'aide d'un tensiomètre

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Mesure de la tension de caˆbles a` rigidite´ de flexion nonnulle a` l’aide d’un tensiome`treFranck Cevaer, Je´roˆme Quirant, Nicolas Angellier, Jean-Franc¸ois Dube´To cite this version:Franck Cevaer, Je´roˆme Quirant, Nicolas Angellier, Jean-Franc¸ois Dube´. Mesure de la tensionde caˆbles a` rigidite´ de flexion non nulle a` l’aide d’un tensiome`tre. XXVIII e`mes RencontresUniversitaires de Ge´nie Civil ”Ouvrages en service et de´veloppement durable”, Jun 2010, LaBourboule, France. p. 225, 2010. <hal-00683571>HAL Id: hal-00683571https://hal-unilim.archives-ouvertes.fr/hal-00683571Submitted on 29 Mar 2012HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Un modèle empirique de flexion trois points, prenant en compte l’inertie de flexion du câble, est développé pour un tensiomètre d’espacement 20 cm entre poulies. La courbe expérimentale (F, d) du tensiomètre obtenue pour le câble installé sur banc de tension permet, après régression polynomiale, l’évaluation de l’inertie de flexion du câble. Un essai au tensiomètre sur le câble installé dans la structure permet ensuite d’obtenir avec une excellente précision la tension en place. Avec une incertitude plus importante, la raideur des appuis peut aussi être évaluée. ABSTRACT. The control and adjustment of tensegrity structures require measuring the tension of cables in the structure. An empirical three-point bending model, taking into account the inertia of bending of the cable is developed for a tensiometer of 20 cm spacing between pulleys. The experimental curve (F, d) obtained from the tensiometer for the cable installed on bench allows after polynomial regression, assessing the inertia of bending of cable. A measurement with the tensiometer installed in the structure can then get a great uncertainty with the tension up. With less precision, stiffness of support may also be evaluated. MOTS-CLÉS : câble, tensiomètre, inertie de flexion, raideur d’appuis, identification KEY WORDS: cable, tensiometer, inertia of bending, stiffness of support, identification     XXVIIIe Rencontres Universitaires de Génie Civil. La Bourboule, 2 au 4 juin 2010. 2 1. Introduction L’équipe « Conception en Structures » du laboratoire de Mécanique et Génie Civil de Montpellier s’intéresse depuis de nombreuses années aux structures de tenségrité [MOT 03]. Elle développe des outils de conception et de caractérisation mécanique pour ces structures, et réalise des prototypes expérimentaux dans le but de valider les simulations numériques.  A.D. Nguyen [NGU 09] étudie dans ses travaux de thèse, le comportement mécanique et le pliage d’un anneau de tenségrité à base pentagonale. Composé de 30 câbles et de 15 barres assemblés en 15 nœuds pour constituer une structure autocontrainte (figure 1a), cet anneau est chargé verticalement sur les 5 nœuds de la nappe supérieure. Les simulations numériques (figure 1b) menées par le code de calcul éléments finis Ansys montrent une dépendance du comportement en compression de l’anneau avec le niveau d’autocontrainte (AC1 à AC4) en place.    012340 5 10 15 20Déplacement (mm)Charge totale (kN)AC 1AC 2AC 3AC 4 Figure 1. Description de la structure (a), et comportement théorique du module en compression (b) Le point de transition entre les deux phases quasi-linéaires correspond au relâchement de câbles lors du chargement en compression (figure 1b). Ainsi, il apparaît que le niveau d’autocontrainte dans les éléments influe sur la rigidité globale de l’anneau. Le principe de l'autocontrainte imposant une même tension pour les câbles d’une même famille, il est donc primordial de se doter d’un outil fiable de mesure de la tension des éléments en place pour maîtriser le comportement de la structure en service. 2. Mesure de la tension de câbles à inertie nulle Un dispositif de mesure de tension en place a été développé au sein du laboratoire [ANG 08] et appliqué à l’identification d’états d’autocontrainte dans le cas de grilles planes (figure 2). Déplacement vertical (mm) Charge totale (kN) F F F F F Mesure de la tension de câbles à rigidité de flexion non nulle à l’aide d’un tensiomètre 3 T T T TKFK2ld α2L Figure 2. Tensiomètre sur banc d’étalonnage (a) et modélisation du dispositif(b) On montre, dans le cas du câble d’inertie de flexion nulle, que la force F appliquée transversalement par le tensiomètre sur le câble et le déplacement transverse d du point d’application (d2 << ℓ2) sont reliés par la relation analytique suivante ([ANG 08] et [NGU 09]) :  3200 d1KKKKdT2Fll ++=   [1] dans laquelle T est la tension du câble, ℓ le demi-espacement entre les poulies du tensiomètre, K et K0 les rigidités axiales des appuis et du câble respectivement. La pente à l’origine de la courbe (F, d) renseigne donc directement sur la tension en place (moyen utilisé par les tensiomètres courants du commerce), mais le terme de degré 3 informe aussi sur la rigidité K des appuis. Cependant, même si les courbes expérimentales sont du même type que celles de l’équation [1], elles présentent néanmoins des écarts inhérents à la rigidité de flexion non nulle des câbles, paramètre qui influe sur les coefficients C1 et C3 des termes d et d3 respectivement (eq [2]). Il apparaît donc opportun de rechercher une relation modélisant les courbes expérimentales sous la forme déduite de l’équation précédente : 331 dCdCF +=    [2] où  [ ])T,K,I(g1T2C 11 +=l et [ ])T,K,I(g11KKKKC 32003 ++=l dans laquelle les 2 fonctions g1(I,K,T) et g3(I,K,T) sont des fonctions correctives qui doivent tendre vers 0 quand l’inertie I tend vers 0. Pour identifier les fonctions g1(I,K,T) et g3(I,K,T), une modélisation numérique par éléments finis sous Ansys du système câble-tensiomètre est entreprise (résolution en non linéaire géométrique). 3. Modélisation numérique avec ANSYS Le modèle est basé sur les caractéristiques du câble utilisé sur l’anneau de tenségrité introduit précédemment. L’inertie initiale I0 est évaluée à partir de la propriété de la section droite du câble (Figure 3 et Tableau 1).  XXVIIIe Rencontres Universitaires de Génie Civil. La Bourboule, 2 au 4 juin 2010. 4 K KF2l2L Figure 3. Section droite des câbles (a) et modèle numérique (b) Le câble est modélisé sous Ansys par des éléments poutre BEAM3 de longueur 5 mm entre les poulies du tensiomètre et de 10 mm pour le reste. Les appuis de rigidité K fixée sont matérialisés par deux éléments ‘‘poutre’’ reliés aux extrémités du câble. On fait varier la raideur des appuis de 108 N/mm (infinie) à 100 N/mm (très souple), l’inertie du câble de la valeur I0 jusqu’à I = I0/50, et la tension initiale de 250 N à 1250 N. Une centaine de courbes sont ainsi générées. Section pleine S 3,85 mm2 Inertie I0 1,67 mm4 Module d’Young E 100 000 MPa Demi-longueur L 660 mm Rigidité K0 = ES/L 583 N/mm Demi-espacement ℓ entre poulies 100 mm Tableau 1. Propriétés mécaniques et géométriques du câble  Pour chaque triplet (I,K,T), la simulation numérique montre systématiquement  une courbe (F, d) parfaitement corrélée avec l’équation [2], de laquelle on déduit les coefficients g1 et g3.  La figure 4 montre l’invariance de la fonction g1(I,K,T) avec la rigidité équivalente Ke=K0.K/(K0+K), donc la rigidité K des appuis et la longueur du câble ausculté n’influent pas sur la fonction g1. T = 250N 00,10,20,30,40,50,60,70 200 400 600Keg(I,K,T)IoIo/2Io/5Io/10Io/50T = 1250N 00,10,20,30,40,50,60,70 200 400 600Keg(I,K,T)IoIo/2Io/5Io/10Io/50 Figure 4. Variations de g1(I,K,T) avec Ke selon I, pour T=250 N et T=1250 N Les variations g1(I,T), présentées sur la figure 5, montrent une dépendance de g1 avec I et T selon une loi puissance. g1(I,K,T) g1(I,K,T) Mesure de la tension de câbles à rigidité de flexion non nulle à l’aide d’un tensiomètre 5 00,10,20,30,40,50,60,70 250 500 750 1000 1250T (N)g(I,T)IoIo/2Io/5Io/10Io/50Io/10000,10,20,30,40,50,60,70 0,2 0,4 0,6 0,8 1I/Iog(I,T)T=250NT=500NT=750NT=1000NT=1250N  Figure 5. Variations de g1(I,T) avec T et I La fonction g3(I,K,T), présentée sur la figure 6, décroît avec l’augmentation de T sauf si la rigidité K des appuis est faible (inférieure à celle du câble). g3 (K=108 N/mm)00,10,20,30 0,2 0,4 0,6 0,8 1 I/I0T=250 NT=500 NT=750 NT=1000 NT=1250 N (a) 00,10,20,30,40,50 250 500 750 1000 1250T(N)g 3(I,K,T)K=1E8 I=IoK=1E8 I=Io/2K=1E8 I=Io/5K=1E8 I=Io/10K=1E8 I=Io/50K=1E4 I=IoK=1E4 I=Io/2K=1E4 I=Io/5K=1E4 I=Io/10K=1E4 I=Io/50K=1E3 I=IoK=1E3 I=Io/2K=1E3 I=Io/5K=1E3 I=Io/10K=1E3 I=Io/50K=1E2 I=IoK=1E2 I=Io/2K=1E2 I=Io/5K=1E2 I=Io/10K=1E2 I=Io/50 (b) Figure 6. Variations de g3(I,K,T) avec I selon T pour K=108 N/mm (a)  et avec T selon les paramètres K et I (b) 4. Modélisation empirique  4.1. Recherche de g1mod (I,T) modélisant les variations de g1(I,T) L’évolution de g1 selon les paramètres I et T amène à modéliser cette fonction par l’équation [3] :  g1(I,T) g1(I,T) XXVIIIe Rencontres Universitaires de Génie Civil. La Bourboule, 2 au 4 juin 2010. 6 ( ) βαγ= T/)I/I(T,Ig 0mod1   [3] dans laquelle les termes α, β et γ sont déterminés par minimisation des écarts du logarithme de cette fonction au logarithme des valeurs expérimentales de g1. Dans le souci d’écrire un modèle adimensionnel nous obtenons l’expression de g1mod :  0,6TSE0II  0,0072gmod1 =  [4] Le tableau 2 montre les écarts de cette fonction avec les valeurs numériques : I/I0 T=250 N T=500 N T=750 N T=1000 N T=1250 N 1 5,1% -2,4% -5,1% -6,1% -6,6% 0,5 -1,4% -5,8% -6,5% -6,4% -6,0% 0,2 -4,9% -5,5% -4,6% -3,6% -2,6% 0,1 -4,3% -3,2% -1,7% -0,5% 0,4% 0,02 1,9% 3,0% 3,2% 2,6% 1,5% Tableau 2. Ecarts relatifs de g1mod avec g1 selon les valeurs de I/I0 et T Si ces écarts sont faibles, il convient néanmoins d’observer les écarts relatifs aux coefficients C1mod déduits de [2] et [4] avec les valeurs de C1 déduites de l’étude numérique. Ces paramètres permettent d’obtenir la précision de la tension en place. I/I0 T=250 N T=500 N T=750 N T=1000 N T=1250 N 1 1,94% -0,66% -1,15% -1,19% -1,14% 0,5 -0,40% -1,12% -1,03% -0,87% -0,73% 0,2 -0,86% -0,68% -0,46% -0,31% -0,20% 0,1 -0,53% -0,27% -0,12% -0,03% 0,02% 0,02 0,10% 0,11% 0,09% 0,06% 0,03% Tableau 3. Ecarts relatifs de C1mod avec C1 selon les valeurs de I/I0 et T Les écarts observés inférieurs à 2% en valeur absolue valident donc la modélisation empirique du coefficient C1 pour les caractéristiques du câble et du tensiomètre définies par le tableau 1. L’expression de g1mod définie par [4], montre que l’inertie de flexion a d’autant plus d’importance dans la recherche de la tension en place, que cette tension est faible. On vérifie bien sûr que le terme C1 de [2] tend vers 0 quand T tend vers  0. 4.2. Recherche de g3mod (I,K,T) modélisant les variations de g3(I,K,T) Les variations similaires de la fonction g3 avec  I/I0, pour les différentes valeurs de la rigidité K des appuis et de la tension T du câble, amènent à proposer l’expression :  Mesure de la tension de câbles à rigidité de flexion non nulle à l’aide d’un tensiomètre 7 ( ) [ ]e1045,00mod3 Kaa)I/I(T,K,Ig +=   [5] dont les coefficients a0 et a1 sont exprimés linéairement avec la tension T. La fonction corrective modélisée g3mod prend alors une forme donnée par l’éq. [6].  ( ) +−+=EST3,98105,0KKEST2,71308,0)I/I(T,K,Ig0e45,00mod3   [6] Les écarts relatifs de C3mod avec C3 selon les valeurs des paramètres I, T et K, sont présentés dans le tableau 4. Ils sont inférieurs en valeur absolue à 7,5% et peuvent être considérés comme satisfaisants.  I/I0 T=250 N T=500 N T=750 N T=1000 N T=1250 N 1 -6,7% -5,2% -4,7% -5,0% -5,5% 0,5 -5,3% -4,0% -3,6% -3,9% -4,4% 0,2 -3,7% -2,8% -2,5% -2,8% -3,1% 0,1 -2,6% -1,9% -1,9% -2,1% -2,5% K=108  N/mm 0,02 -1,0% -0,8% -0,7% -1,0% -1,3%        1 -6,3% -4,4% -3,6% -3,6% -3,8% 0,5 -4,9% -3,4% -2,9% -2,8% -3,1% 0,2 -3,5% -2,4% -2,0% -2,1% -2,2% 0,1 -2,5% -1,6% -1,4% -1,5% -1,8% K=104  N/mm 0,02 -0,9% -0,6% -0,7% -0,7% -1,1%        1 -4,2% -0,2% 2,3% 4,2% 5,5% 0,5 -3,4% -0,3% 1,7% 2,8% 3,8% 0,2 -2,4% -0,2% 1,0% 1,6% 2,1% 0,1 -1,8% -0,3% 0,6% 0,9% 1,1% K=103  N/mm 0,02 -0,8% -0,2% -0,1% 0,0% -0,1%        1 -5,9% 0,1% 3,7% 5,6% 7,4% 0,5 -5,1% -0,3% 0,9% 2,1% 3,3% 0,2 -4,6% -2,1% -1,5% -1,0% -1,4% 0,1 -3,4% -2,3% -2,1% -2,9% -3,7% K=102  N/mm 0,02 -2,8% -3,2% -4,7% -6,1% -7,4% Tableau 4. Ecarts relatifs de C3mod avec C3 selon les valeurs de I/I0 , K et T  5. Exploitation du modèle 5.1. Procédure expérimentale Pour déterminer la tension en place d’un câble et la rigidité des appuis à partir d’un essai au tensiomètre, il est nécessaire de connaître l’inertie de flexion du câble. Un essai préalable sur banc, avec mesure de la tension, permet d’évaluer cette inertie par le calcul du coefficient C1.  XXVIIIe Rencontres Universitaires de Génie Civil. La Bourboule, 2 au 4 juin 2010. 8 Pour chaque courbe (F, d) exploitée, les coefficients C1 et C3 caractéristiques (eq. [2]) sont évalués par régression polynomiale. La modélisation présentée ici par les équations [4] et [6] permet alors de calculer I/I0 connaissant T (essai sur banc de tension) ou bien de calculer T et K connaissant le rapport I/I0 (essai sur la structure).  Connus Evalués Calculés Sur banc de tension T C1  (voire C3) I/I0  (Kbanc) Sur la structure I/I0 C1 et C3 T et K Tableau 5. Exploitation du modèle en 2 étapes 5.2. Qualification de la procédure à partir des courbes Ansys Le modèle empirique est testé sur les courbes obtenues par simulation numérique. Pour une raideur d’appuis fixée K=104 N/mm, le graphe de la figure 7 présente les courbes (F, d) pour des tensions variant de 250 N à 1250 N et pour un câble de rapport d’inertie de 0,5.  Courbes (F,d)01002003004005000 2 4 6 8 10 12 d (mm)F (N) T=1250 NT=1000 NT=750 NT=500 NT=250 N Figure 7. Simulations numériques pour K=104 N/mm et I/I0=0,5 Après régression polynomiale puis calcul des différents termes, nous déduisons les valeurs de I/I0 (Tableau 6) qui permettent de déterminer la valeur moyenne utilisée pour l’évaluation de T et K sur toute autre courbe.  I/I0 T=1250 N 0,45 T=1000 N 0,45 T=750 N 0,47 T=500 N 0,42 T=250 N 0,41 Tableau 6. Evaluation de l’inertie de flexion par le modèle présenté Mesure de la tension de câbles à rigidité de flexion non nulle à l’aide d’un tensiomètre 9 Le tableau 7 montre les tensions évaluées à partir des simulations numériques réalisées avec une raideur K = 100 N/mm et pour différentes tensions imposées. Simulations avec  I/I0 = 0,5 et   K = 100N/mm T (N) calculé avec I/I0 = 0,44   K (N/mm) calculé avec I/I0 = 0,44   T = 1250 N 1253 1,01 102 T = 1000 N 1002 1,01 102 T = 750 N 752 1,02 102 T = 500 N 502 1,04 102 T = 250 N 254 1,07 102 Tableau 7. Evaluations de T et K par le modèle présenté  Les résultats obtenus sont assez fidèles, ce qui montre une bonne adéquation entre le modèle et les simulations. En outre, l’erreur de 10% sur l’évaluation de l’inertie n’a qu’un impact modéré sur les estimations de T et K. 5.3. Essais sur banc de tension La tension du câble en place sur le banc de tension est mesurée par un dynamomètre ; le tensiomètre fournit la courbe (F, d) avec laquelle notre modèle peut évaluer le rapport I/I0 du câble et la rigidité des appuis du banc. Courbes (F,d) sur banc de tension040801201602000 2 4 6 8d (mm)F (N)Courbe 1 : T=750 NCourbe 2 : T=1000 N Figure 8. Evolutions expérimentales des courbes (F, d) sur banc de tension  Comme précédemment, l’inertie est évaluée sur deux cas test (Tableau 8). La tension T et la rigidité K des appuis, recalculés à partir du modèle présenté, sont comparés avec le modèle à inertie nulle défini par l’équation [1] (Tableau 9). Sur banc de tension I/I0 Courbe 1 : T = 750 N 0,35 Courbe 2 : T = 1000 N 0,28 Tableau 8. Evaluation de l’inertie de flexion sur les courbes expérimentales XXVIIIe Rencontres Universitaires de Génie Civil. La Bourboule, 2 au 4 juin 2010. 10 Les résultats montrent la nécessité de prendre en compte l’inertie du câble sous peine de surestimer fortement la tension dans le cas du modèle à inertie nulle. Les valeurs de K en deviennent même numériquement aberrantes (négatives ici) lorsque la raideur équivalente ne peut intégrer la rigidité de flexion du câble.   Modèle présenté Modèle à inertie nulle I/I0 = 0,32 ; sur banc T (N) K (N/mm) T (N)  K (N/mm) Courbe 1 757 7,5 103 871 -2,6 107 Courbe 2 992 9,2 103 1120 -2,2 107 Tableau 9. Evaluations de T et K par le modèle présenté et celui à inertie nulle Dans le cas du modèle présenté, les tensions sont correctement évaluées (écarts inférieurs à 1%), mais l’évaluation de la raideur K des appuis fluctue quelque peu d’une courbe à l’autre en raison de la forte sensibilité de ce paramètre à la régression polynomiale effectuée. L’obtention de courbes expérimentales exemptes de perturbations parasites (frottements, jeux,…) est donc une condition majeure à l’utilisation de ce modèle. 6. Conclusion L’élaboration d’un modèle empirique de flexion trois points sur un câble a permis de développer un dispositif de mesure déterminant, avec prise en compte de l’inertie de flexion,  la tension du câble en place mais aussi la raideur des points d’accrochage. Des simulations numériques EF ont complété des essais sur banc et montrent la pertinence de la démarche proposée. En effet, pour des câbles de diamètre supérieur à 2mm les effets d'inertie ne sont plus négligeables. Les identifications réalisées avec ce modèle empirique donnent la tension dans les câbles avec une très bonne précision. Le développement de cet outil, qui doit permettre le réglage et le contrôle de structures à câbles, est à poursuivre en intégrant la prise en compte de longueurs variables de câble équipant couramment les systèmes de tenségrité. 7. Bibliographie [ANG 08] ANGELLIER N., Etat d’autocontrainte des grilles de tenségrité. Vers l’identification sous sollicitation naturelle, Thèse de doctorat en Génie Civil, Université Montpellier 2, 2008. [MOT 03] MOTRO R., Tensegrity, Kogan Page Science, 2003. [NGU 09] NGUYEN A.D., Etude du comportement mécanique et du pliage d’un anneau de tenségrité à base pentagonale, Thèse de doctorat en Génie Civil, Université Montpellier 2, 2009.  

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