International audienceThis paper deals with precoded MIMO systems using channel state information. Such systems are now included in recent wireless norms. However, theoretical evaluations of performance are more complex. We propose a method based on the statistics of the minimal distance in order to evaluate the capcity or bit error rate (BER) in an uncorrelated Rayleigh fadding channel

Oyedapo, Olufemi James

Vauzelle, Rodolphe

Vrigneau, Baptiste

HAL-UNILIM

Probabilite´ de la distance minimale pour un syste`meMIMO pre´codeOlufemi James Oyedapo, Baptiste Vrigneau, Rodolphe VauzelleTo cite this version:Olufemi James Oyedapo, Baptiste Vrigneau, Rodolphe Vauzelle. Probabilite´ de la distanceminimale pour un syste`me MIMO pre´code. Colloque GRETSI 2013, Sep 2013, Brest, France.pp.271, 2013. <hal-00939444>HAL Id: hal-00939444https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00939444Submitted on 30 Jan 2014HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Probabilite´ de la distance minimale pour un syste`me MIMO pre´code´Olufemi James OYEDAPO, Baptiste VRIGNEAU, Rodolphe VAUZELLEUniversite´ de Poitiers, XLIM-SIC UMR CNRS 7252Blvd Marie et Pierre Curie, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex, Franceprenom.nom@univ-poitiers.frRe´sume´ – Ce papier s’inte´resse aux pre´codeurs MIMO avec connaissance du canal a` l’e´mission. De tels syste`mes sont maintenant pre´sentsdans les nouvelles normes et offrent des perspectives inte´ressantes. Cependant, l’e´valuation the´orique des performances est plus complexe. Nousproposons une me´thode d’e´tude base´e sur la statistique de la distance minimale. Le calcul est propose´ pour le pre´codeur max-dmin et sonexploitation permet d’e´valuer la capacite´ et le taux d’erreur binaire dans un canal de Rayleigh de´corre´le´.Abstract – This paper deals with precoded MIMO systems using channel state information. Such systems are now included in recent wirelessnorms. However, theoretical evaluations of performance are more complex. We propose a method based on minimal distance statistics in orderto evaluate capcity or binary error rate in a uncorrelated Rayleigh fadding channel.1 IntroductionLes syte`mes multi-antennaire ou MIMO pour “Multiple Input-Multiple Output” sont pre´sents dans les normes de communi-cation sans fil comme le LTE-A, le 802.11n ou 802.16e. Eneffet, ils permettent d’ame´liorer la robustesse de la transmis-sion ou le de´bit de donne´es. Si des e´metteurs ou re´cepteurspeuvent posse´der plusieurs antennes, il est e´galement possiblede cre´er des syste`mes MIMO virtuels graˆce a` la coope´rationde diffe´rents nœuds dans un re´seau de capteurs (MIMO dis-tribue´ ou coope´ratif)[2]. Il existe plusieurs techniques MIMOqui peuvent eˆtre se´pare´es en deux grandes familles : la boucleouverte et la boucle ferme´e se diffe´renciant par la connaissancecomple`te ou partielle du canal. Si les techniques en boucle ou-verte ont e´te´ bien e´tudie´es comme le code d’Alamouti et lesOSTBC, seuls les pre´codeurs relativement simples comme lemax-SNR ou le “multiple beamforming” posse`dent des e´tudessur leur TEB [4, 6]. Dans cet article, nous conside´rons despre´codeurs e´volue´s en boucle ferme´e avec connaissance par-faite du canal a` l’e´mission et plus spe´cifiquement le pre´codeurmax-dmin[1]. Notre objectif est de fournir un outil permettantd’estimer rapidement les performances d’un syste`me MIMOafin d’optimiser les parame`tres comme la technique MIMO a`employer, le nombre de nœuds e´metteurs ou re´cepteurs afind’atteindre la qualite´ de service de´sire´e comme le taux d’er-reur binaire (TEB) ou la consommation d’e´nergie. Nous pro-posons une me´thode pour estimer les performances en termesde capacite´ et de TEB pour n’importe quel nombre d’antenneset n’importe quelle taille de MAQ dans un canal de Rayleigh.Le principe est donne´ dans la partie 2 et, dans un soucis de gainde place, les re´sultats sont donne´s directement dans la partie 3.Dans la partie 3, des figures illustreront la validation de la pdfobtenue et les utilisations possibles.2 Pre´codage et loi de WishartSoit un syste`me MIMO avec nT antennes a` l’e´mission et nRa` la re´ception. Un syste`me pre´code´ transmettant b symboles estde la forme :y = GHFs+Gn = HvFd s+ nv (1)ou` y[b×1] est le vecteur du signal rec¸u,H[nR×nT ] est la ma-trice de canal, s[b×1] est le vecteur de symboles transmis, n estle bruit additif,F[nT×b] est la matrice de pre´codage,G[b×nR]est la matrice de de´codage, Hv est la matrice virtuelle diag-onalise´ graˆce a` une de´composition en valeurs singulie`res etFd est la matrice optimisant un crite`re donne´ comme la dis-tance minimale pour une modulation et un nombre de symbolesdonne´s [1, 5]. La ge´ne´ralisation de ce pre´codeur est complique´eet une solution sous-optimale base´e sur deux formes a e´te´ pro-pose´e [3] :- if 0≤γ≤γ0(M),Fdmind =Fr1 =√ET(cos θM sin θM .eiϕM0 0)(2)- if γ0(M)≤γ≤pi/4,Fdmind =Focta =√ET2(cosψ 00 sinψ)(1 eipi4−1 eipi4)(3)avec les diffe´rents parame`tres utilisant N =√M − 1 :ϕM =arctan12N+√3et θM =arctan (2 sinϕM )γ=arctan√λ2λ1et ψ=arctan√2−1cos γγ0(M)=arctan√ √2−1√2N2+√6N√2−1 .(4)Cette solution n’est valable que pour b = 2 symboles mais peuteˆtre combine´e avec le principe expose´ dans [7]. La distancepour b = 2 a e´te´ exprime´e en fonction de γ et ρ =√λ1 + λ2mais nous commenc¸ons par proposer un autre changement devariables :Γ = λ1 + λ2 = ρ2 et β =λ1 − λ2λ1 + λ2= cos 2γ (5)La distance minimale au carre´ est alors :d2min = αMΓδ(β) (6)avec αM une constante de´pendante de la modulation etFr1 : δ(β) =1 + β2ou Focta : δ(β) =1− β22−√2β (7)Lorsque la matrice suit une loi de Rayleigh, la loi conjointedes valeurs propres ordonne´es de HH∗, λ1 ≥ λ2 . . . ≥ λmavec m = min(nT , nR), sont des variables ale´atoires (VA) etsuivent la loi de Wishart :fλ1,λ2,...,λm(λ1, λ2, . . . , λm) =κnS(m∏i=1λnSi e−λi) ∏1≤i<j≤m(λi − λj)2 (8)avec nS = |nT − nR| et κnS une constante de´pendante de nS .Le cas m = 2 reste relativement simple. Pour les cas m = 3et m = 4 rencontre´s dans les MIMO classiques, il faut, dansun premier temps, inte´grer la loi conjointe des λi pour obtenircelle de λ1 et λ2. Elles peuvent eˆtre trouve´es tre`s facilement etrapidement avec un logiciel type Maxima ou Mathematica etprennent la forme :fλ1,λ2(λ1, λ2) = κ(λ1λ2)nse−(λ1+λ2)(λ1 − λ2)2×m−2∑n=0e−nλ2∑i,jpn,i,jλi1λj2.(9)Il suffira d’alimenter le programme avec les coefficients pn,i,j .3 Calcul de la densite´ de probabilite´En applicant les re`gles de changement de variables ale´atoires,la densite´ jointe de Γ et β est :fΓ,β(Γ, β) = fλ1,λ2(Γ1 + β2,Γ1− β2)× Γ2(10)La pdf de Γδ(β) est de´finie par :f∆(z) =∫DΓfΓ,β(Γ, δ−1(zΓ)) ∂δ−1( zΓ )∂zdz (11)ou` DΓ est le domaine d’inte´gration de´pendant des valeurs pos-sibles de la distance de chaque pre´codeur. Il suffira ensuited’appliquer l’influence de la modulation avec la constante αM .Il faut de´terminer la contribution de chaque forme.3.1 Forme Fr1Le re´sultat pour la forme Fr1 est :fFr1(z) = κe−zzns∑n,i,jpn,jziΨn,i,j(z, 1) (12)avecΨn,j(z, a) =(γinc(ns + j + 3, ξ)(n+ 1)ns+j+3−2z γinc(ns + j + 2, ξ)(n+ 1)ns+j+2+ z2γinc(ns + j + 1, ξ)(n+ 1)ns+j+1) (13)ou` ξ = a(n+ 1)z et γinc(a, x) =∫ x0ta−1e−tdt est la fonctiongamma incomple`te infe´rieure. La dernie`re e´tape est d’appliquerla constante de modulation :pdfFr1(d2) =1αMfFr1(d2αM)(14)3.2 Forme FoctaLe calcul pour la forme Focta est plus complique´e par laforme de l’inte´grale et le fait que δ−1 accepte deux solutions :{β1 =√22 (δ +√δ2 − 4δ + 2)β2 =√22 (δ −√δ2 − 4δ + 2) (15)Il faut alors calculer deux inte´grales. Par gain de place, seul lere´sultat est donne´ par :fFocta(z) =κ2√2∑n,i,jpn,i,j(z2√2)2ns+3+i+je−z(1+n2 )×(e−z 2√2nΦi,jn,0(z,∞) + ez2√2nΦi,j0,n(z,√2 + 1)) (16)avecΦi,ja,b(x, tsup) =[e− x2√2((a+1)t+ b+1t )∑lωl(a, b, i, j)tl]tsup1+ωK0∫ tsup1e− x2√2((a+1)t+ b+1t ) 1tdt+ωK1x√2∫ tsup1e− x2√2((a+1)t+ b+1t ) (t2 − 1)24t3dt(17)Les diffe´rents coefficients ωl, ωK0 et ωK1 sont de´termine´s graˆceaux relations de re´currence en fonction des al coefficients dupolynoˆme a` inte´grer :ωl = − 1(a+1)ual + l+1(a+1)uωl+1 + b+1a+1ωk+2ωl =1(b+1)ual−2 +a+1b+1ωl−2 − l−1(b+1)uωl−1ω−1 =b+1u τa−(a+1)2τb−(b+1)(a+1)τd− b+1u τe(a+1)2+(b+1)2ω0 =τau +(b+1)τb−(a+1)τd−τe./uu((b+1)2+(a+1)2)ω1 =a+1u τa+(a+1)(b+1)τb+(b+1)2τd− a+1u τe(b+1)2+(a+1)2ωK0 =2(a+1)2τa−u(b−a)2(a+1)τb−u(b−a)2(b+1)τd+2(b+1)2τe(a+1)2+(b+1)2 + τc;ωK1 =2(a+1)2u τa+2(b+1)(a+1)2τb+2(b+1)2(a+1)τd+2(b+1)2u τe(b+1)2+(a+1)2 ;(18)avec u = z2√2, τa = a−3 + 2ω−2 + (a+ 1)uω−3, τb = a−2 +(a + 1)uω−2, τc = a−1, τd = a0 − (b + 1)uω2, τe = a1 −2ω2−(b+1)uω3. Il reste encore deux inte´grales a` calculer aveccomme parame`tres n et tsup. En appliquant un changement devariable d’inte´gration τ = t√n+1, le proble`me est reformule´par :A0 =∫ tsup1e− x2√2(t+n+1t ) 1tdt (19)=∫ tsup√n+11√n+1e− x√n+12√2(τ+ 1τ ) 1τdτ (20)A1 = x√2∫ tsup1e− x2√2(t+n+1t ) (t2 − 1)24t3dt (21)=x√2∫ tsup√n+11√n+1e− x√n+12√2(τ+1τ) ((n+1)τ2−1)2(n+ 1)τ3dτ (22)Lorsque n = 0 et tsup → ∞, ces inte´grales correspondent a`K0(x) et K1(x), les fonctions de Bessel modifie´es du secondgenre d’ordre 0 et 1. Pour les autres valeurs, elles ne sont pasde´finies. Afin d’obtenir une valeur approche´e, un de´veloppementlimite´ de e−1/τ est utilise´. Le re´sultat est une somme deK0(x),K1(x) et de Γinc(a, x) =∫∞xta−1e−tdt fonction gamma in-comple`te supe´rieure. La forme exacte n’est pas disponible maisl’approximation est tre`s facile a` programmer et offre une bonnepre´cision lorsque l’ordre de de´veloppement est compris entre10 et 20. Finalement, il faudra appliquer l’influence de la mod-ulation :pdfFocta(d2) =1αMfFocta(d2αM)(23)3.3 Utilisation des deux formes pour le max-dminPour le pre´codeur final, les re´sultats pre´ce´dents sont utilise´sen changeant les bornes qui de´pendent du seuil de choix β0 :gFr1(z) = κe−zzns∑n,i,jpn,jziΨn,j(z,β01 + β0) (24)gFocta(z) =κ2√2∑n,i,jpn,i,j(z2√2)2ns+3+i+je−z(1+n2 )×(e−z 2√2nΦi,jn,0(z, t0) + ez 2√2nΦi,j0,n(z,√2 + 1)) (25)avec t0 =√1−6β0+β0+√2(1−β0)1+β0et finalementpdfmax-dmin(d2)=pFr1(d2) + pFocta(d2) (26)avec pFr1(d2) = 1αM gFr1(d2αM)la contribution du Fr1 etpFocta(d2) = 1αM gFocta(d2αM)celle du Focta.4 Re´sultatsLa premie`re e´tape est de valider la densite´ de probabilite´de la distance minimale. La figure 1 propose des compara-isons entre la the´orie et la simulation pour diffe´rents syste`mes00.511.522.50 1 2 3 4 5dminMAQ-16 maxdmin00.10.20.30.40.50 5 10 15 20dminMAQ-4 maxdmin2x2 sim2x2 th2x2 sim2x2 th3x3 sim3x3 th4x4 sim4x4 th3x3 sim3x3 th4x4 sim4x4 thFIGURE 1 – Comparaison des ddp the´oriques et simule´es pourdes syste`mes 2× 2, 3× 3 et 4× 4MIMO syme´triques et MAQ-4 et MAQ-16. Nous pouvons ob-server que les diffe´rentes courbes se superposent et permettentde valider notre calcul de ddp.Les capacite´s des formesFr1 etFocta sont donne´es pour unematrice H en fonction de la distance minimale par :cFr1(d2) = log2(1 +RSBnRd2αM)(27)cFocta(d2)=log2(1+RSBnRd2αM+(RSBnRd22√2αM)2)(28)Il reste ensuite a` moyenner graˆce a` la ddp de la distance :CFr1 =∫ ∞0cFr1(u).pdfFr1(u) du (29)CFocta =∫ ∞0cFocta(u).pdfFocta(u) du (30)Cette dernie`re inte´grale est obtenue nume´riquement. Pour obtenircelle du max-dmin, il faut tenir compte du choix des deux formes.Or, l’expression de la ddp dans (26) est la somme de deux con-tributions. Afin d’obtenir la capacite´ du max-dmin, il suffit decalculer la somme ponde´re´e par chaque contribution :Cmax-dmin =∫ ∞0cFr1(u).PFr1(u) du+∫ ∞0cFocta(u).PFocta(u) du(31)La figure 2 trace les capacite´s simule´es et obtenues avec la for-mule (31). Ces courbes permettent d’observer que notre for-mule est tre`s proche de la simulation. De plus, on peut remar-quer que la modulation n’aura qu’une faible influence sur lacapacite´ : la distance est divise´e par la constante αM dans (27)et (28) et seule la valeur de β0 changera.Le second crite`re observe´ est le TEB. Pour cela, nous avonsutilise´ l’approximation classique du plus proche voisin :TEB '∫ ∞0NvNb2erfc(√RSBu4)pdf(u) du (32)024681012140 5 10 15 20Capacite´RSB dB4x43x32x2FIGURE 2 – Comparaison des capacite´s the´oriques et simule´espour des syste`mes 2× 2, 3× 3 et 4× 4avec Nv le nombre moyen de voisins a` la distance minimale etNb le nombre moyen de bits diffe´rents. Ces valeurs sont pro-pres a` une forme de pre´codeur et sont obtenues par une e´tudenume´rique de chaque modulation. Comme pour la capacite´,le moyennage pour le max-dmin se´parera les contributions dechaque forme. La figure 3 montre les re´sultats d’approxima-tion du TEB. Les courbes de simulation mettent en e´videnceque l’approximation est proche du TEB a` fort RSB mais peutavoir une erreur importante a` faible RSB ou pour le cas 2 × 2.Cela vient de la formule utilise´e en sachant a priori qu’elle en-trainerait une erreur surtout lorsque la distance est faible, cequi est le cas pour un syste`me 2 × 2 (cf ddp sur la figure 1) eta` faible RSB. Cette limite de l’approximation avait de´ja` e´te´ ob-serve´e pour les MAQ-M et des ame´liorations ont e´te´ publie´esen e´tudiant la constellation entie`rement. Un travail analoguepourrait eˆtre mene´ pour le pre´codeur max-dmin avec la priseen compte de la constellation du Fr1 et celles du Focta .5 ConclusionDans cet article, nous avons propose´ une me´thode d’e´tudedes performances d’un pre´codeur MIMO complexe. Elle estbase´e sur l’e´tude de la densite´ de probabilite´ de la distance min-imale. Nous avons pu obtenir une forme approche´e facilementprogrammable pour une utilisation nume´rique. Des simulationsont montre´ que les re´sultats e´taient tre`s proches de la valeurexacte. Nous avons ensuite propose´ deux utilisations de cetteddp en calculant la capacite´ moyenne du pre´codeur et une ap-proximation simple et rapide du TEB. Si les re´sultats pour lacapacite´ sont tre`s bons, ils sont en revanche plus mode´re´s pourle TEB avec une erreur a` faible RSB mais tout en restant bonsa` fort RSB. Ces re´sultats sont tre`s encourageants car ils offrentde nombreuses perspectives : e´tude des performances pour lepre´codeur E-dmin avec plus de symboles, application a` d’autrespre´codeurs qui optimisent d’autres crite`res, calcul d’autres in-dices de performances comme l’information mutuelle puis es-timer les performances avec un de´codage souple, une approxi-10 610 510 410 310 210 11000 5 10 15 20 25 30TEBRSB dBMAQ-16 maxdmin10 610 510 410 310 210 11000 5 10 15 20 25 30TEBRSB dBMAQ-4 maxdmin2x2 th3x3 th4x4 th2x2 sim3x3 sim4x4 sim2x2 th3x3 th4x4 th2x2 sim3x3 sim4x4 simFIGURE 3 – Comparaisons des TEB obtenus par approximationthe´orique et par simulation, pour des syste`mes 2 × 2, 3 × 3 et4× 4, MAQ-4 et MAQ-16mation plus fine du TEB avec l’e´tude des constellations.Re´fe´rences[1] L. Collin, O. Berder, P. Rostaing, and G. Burrel. Opti-mal minimum distance based precoder for spatial multi-plexing systems. IEEE Transaction on signal Processing,52(3) :617–627, March 2004.[2] S. Cui, A. J. Goldsmith, and A. Bahai. Energy-efficiencyof MIMO and cooperative MIMO techniques in sensor net-works. IEEE J. Select. Areas Commun., 22(6), Aug. 2004.[3] Q. Ngo, O. Berder, and P. Scalart. Minimum euclideandistance based precoders for MIMO systems using rectan-gular QAM modulations. IEEE Trans. Signal Processing,2009.[4] Luis G. Ordo`nez, Daniel P. Palomar, Alba Page`s-Zamora,and Javier Rodrı´guez Fonollosa. High-SNR Analyti-cal Performance of Spatial Multiplexing MIMO SystemsWith CSI. Signal Processing, IEEE Transactions on,55(11) :5447–5463, nov. 2007.[5] Quoc-tuong, O. Berder, B. Vrigneau, and O. Sentieys.Minimum distance based precoder for MIMO-OFDM sys-tems using a 16-QAM modulation. IEEE ICC’09, Ger-many, 2009.[6] M. Sadek, A. Tarighat, and A.H. Sayed. Active antenna se-lection in multiuser MIMO communications. IEEE Trans-action on Signal Processing, 55(4) :1498–1510, April2007.[7] B. Vrigneau, J. Letessier, P. Rostaing, L. Collin, and G. Bu-rel. Extension of the MIMO Precoder based on the Mini-mum Euclidean Distance : a cross-form matrix. IEEE Jour-nal on Selected Areas in Communications, 2(2) :135–146,04 2008.

Probabilité de la distance minimale pour un système MIMO précode

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00939444

Probabilité de la distance minimale pour un système MIMO précode

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

HAL-UNILIM