Analyse-Alge`bre 4Denis PennequinTo cite this version:Denis Pennequin. Analyse-Alge`bre 4. DEUG. Universite´ Paris 1, 2001. HAL Id: cel-00707972https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00707972Submitted on 13 Jun 2012HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Soit B = (e1, . . . , en) unebase de Rn. Soit f la forme biline´aire de Rn dont la matrice dans la base B est A : si le vecteuru, (respectivement v) est repre´sente´ dans la base B par la matrice colonne X (respectivementY ) , on a :f(u, v) =tXAY.1) Montrer que pour tout couple (u, v) de vecteurs de Rn, on f(u, v) = −f(v, u).2) Montrer que pour tout vecteur de Rn, u, on a f(u, u) = 0.3) En de´duire que A ne posse`de aucune valeur propre re´elle non nulle.4) En de´duire que si A est non nulle, alors A n’est pas diagonalisable sur R.1TD semaine 2Exercice 1 Soit ϕ une forme biline´aire syme´trique non de´ge´ne´re´e sur E de dimension finie. SoitF etG deux sous-espaces de E. Montrer que (F+G)⊥ϕ = F⊥ϕ∩G⊥ϕ et (F∩G)⊥ϕ = F⊥ϕ+G⊥ϕ .Exercice 2 Soit ϕ une forme biline´aire syme´trique sur E et soit (u1, u2, . . . , up) p vecteurs deE non isotropes et deux a` deux orthogonaux. Montrer qu’ils forment un syste`me libre de E.Montrer sur un exemple que le re´sultat est faux si on ne suppose pas que les vecteurs sont nonisotropes.Exercice 3 Pour les formes quadratiques de l’exercice 1 du TD 7, calculez le noyau et le rang.Calculez le q1−orthogonal du vecteur u = (1, 1, 1, 0).Exercice 4 Soit E, un espace vectoriel de dimension n et soit (e1, . . . , en), une base de E. Soitϕ une forme biline´aire syme´trique non de´ge´ne´re´e sur E et soit g une forme line´aire sur E.1) On conside`re l’application ψ de E dans Rn de´finie par :pour tout u ∈ E, ψ(u) = (ϕ(u, e1), . . . , ϕ(u, en)).Montrer que ψ est une application line´aire bijective de E dans Rn.2) Montrer qu’il existe un unique u ∈ E tel que ψ(u) = (g(e1), . . . , g(en)).3) Montrer que pour tout v ∈ E, f(u, v) = g(v).N.B. On a montre´ qu’a` toute forme line´aire g, on peut associer un unique vecteur u de E telque pour tout v ∈ E, g(v) = ϕ(u, v).Exercice 5 Soit M une matrice re´elle syme´trique n × n, soit ϕ la forme biline´aire associe´esur Rn et soit u un vecteur non nul de Rn. Montrer que la restriction de ϕ a` F = {v ∈ Rn |v · u = 0} (l’orthogonal au sens classique de u) est non de´ge´ne´re´e si et seulement si la matrice(n+ 1)× (n+ 1) suivante est inversible : (M utu 0).2TD semaine 3Exercice 1 1) Soit M3 la matrice 3× 3 suivante (on suppose a 6= b)M3 = a b bb a bb b a .1)a) Calculer le rang, donner les valeurs propres et une base orthogonorme´e (pour le produitscalaire usuel de R3) forme´e de vecteurs propres.1)b) Soit P la matrice de passage de la base canonique a` la base de vecteurs propres. Ve´rifiezque tPP = I3. On a donctPM3P = P−1M3P . Quelle est a priori la diffe´rence entre les deuxtermes en terme d’interpre´tation ?2) on suppose n ≥ 3, reprendre 1) avec la matrice de taille n× n :Mn =a b b . . . bb a b . . . bb b a . . . b......... . . ....b b b . . . a3) On se place dans Rn que l’on munit de la forme quadratique dont l’expression dans la basecanonique (e1, ..., en) de Rn est :q(x1, ..., xn) =n∑i=1(xi − x¯)2, avec x¯ = 1nn∑j=1xj .3a) Montrer que :q(x1, ..., xn) =n∑i=1x2i − nx¯2.3b) En de´duire que :q(x1, ..., xn) = (1− 1/n)n∑i=1x2i − 2/n∑1≤j 0. Trouver un vecteur nonnul e4 orthogonal a` e1, e2 et a` e3.5) Montrer que (e1, e2, e3, e4) est une base de R4 et calculer la matrice de f dans cette base.Donner la signature de f . Comparer aux re´sultats de la question 2.Exercice 3 Soit λ et µ deux re´els. Discuter selon le signe de λ et µ la signature de la formequadratique q repre´sente´e dans une base par la matrice :M =(λ 00 µ).Faire un tableau qui en fonction du signe de det(M) et tr(M) donne la signature de q.Exercice 4 Effectuer la re´duction de Gauβ des formes quadratiques suivantes. En de´duire unebase orthogonale et la signature de la forme biline´aire syme´trique associe´e.q1(x1, x2, x3) = (x1)2 + 6(x2)2 − 4x1x2 + 8x1x3q3(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3.Donner aussi des bases orthogonales en suivant le plan de la de´monstration du the´ore`med’existence des bases orthogonales.Interros et partiels : vous pouvez traiter les exercices 1 de la premie`re interrogation de 2003(questions 1 a` 3), et des partiels de juin et septembre 2003.4TD semaine 4Exercice 1 Soit M une matrice re´elle n×n quelconque. Montrer que la matrice tMM est unematrice syme´trique positive et qu’elle est de´finie si et seulement si la matrice M est inversible(indication : on comparera tXtMMX et ‖MX‖2).Exercice 2 SoitM une matrice syme´trique inversible. Montrer que l’inverse deM est syme´trique.Montrer que siM est positive alors son inverse l’est aussi (indication : on utilisera queX 7→MXest une bijection de Rn, et on calculera t(MX)M−1(MX)).Exercice 3 Soit ϕ une forme biline´aire syme´trique de´finie positive sur E espace vectoriel. Soit(u1, u2, . . . , up) p vecteurs de E et soit M la matrice p× p de´finie par mij = f(ui, uj). Montrerque les vecteurs (u1, u2, . . . , up) forment un syste`me libre si et seulement si la matrice M estinversible.Exercice 4 Soit ϕ une forme biline´aire syme´trique sur E, espace vectoriel de dimension finie.Montrer que si ϕ est anisotrope (aucun vecteur n’est isotrope) alors ϕ est positive ou ne´gativeet non de´ge´ne´re´e. On pourra raisonner par contraposition : prenant des vecteurs x et y telsque q(x) < 0 < q(y), on e´tudiera la fonction t 7→ q(tx+ (1− t)y). Retrouvez ce re´sultat graˆceau the´ore`me de Sylvester.Interros et partiels : vous pouvez traiter l’exercice 1 du partiel de mai 2003.5TD semaine 5Exercice 1. Soit n ∈ N∗, (a1, ..., an) ∈ Rn. On de´finit sur Rn la forme biline´aire syme´trique :ϕ(x, y) =n∑i=1aixiyi.Montrer que ϕ est un produit scalaire si et seulement si :∀i, ai > 0.Exercice 2. Conside´rons E = R3 sur lequel on met les deux produits scalaires :< x, y >1= xx′ + yy′ + zz′< x, y >2= xx′ + 2yy′ + xy′ + x′y + zz′.On note ⊥i l’orthogonal au sens du produit scalaire i.1) Ve´rifier que la seconde forme biline´aire est bien un produit scalaire.2) Soit u = (1, 1, 0). Pre´ciser u⊥1 et u⊥2 .3) A partir de la base canonique de R3, fabriquer une base orthonorme´e pour le second produitscalaire en utilisant le proce´de´ de Gram-Schmidt.4) Donner l’e´quation des projections orthogonales relativement a` chaque produit scalaire sur :F = {(x, y, z) ∈ R3, x+ y = 0}en utilisant dans les deux cas chacune des me´thodes suivantes :• en trouvant une base orthogonale de F .• en e´crivant d’abord F comme l’orthogonal d’un vecteur e, puis en calculant en premier laprojection sur < e >.Quelles sont, au sens de chacun de ces produits scalaires, les distances de (1, 1, 1) a` F ?Exercice 3. Dans R2 euclidien canonique, dessiner les ensembles :B = {(x1, x2) ∈ R2, 1 ≤ x1 − x2 ≤ 2}etT = {(x1, x2) ∈ R+ × R+, 2x1 + 3x2 ≤ 1}et les e´crire comme intersection d’ensembles de la forme :Pu,α := {x ∈ R2, u · x ≤ α}, (u, α) ∈ R2 × R.Exercice 4 (optionnel) On se place dans l’espace vectoriel (de dimension 3) E = R2[X]constitue´ des polynoˆmes a` coefficients re´els de degre´ au plus 2. On admettra que si P ∈ Eve´rifie P ≥ 0 et ∫ 10P (t)dt = 0, alors P = 0. On de´finit sur E la forme biline´aire suivante :< P,Q >=∫ 10P (t)Q(t)dt.1) Pour P = p1 + p2X + p3X2 et Q = q1 + q2X + q3X2, calculez < P,Q > en fonction des piet des qi. On obtient ainsi une forme biline´aire syme´trique sur R3, note´e ϕ.61)a) Montrer que ϕ est un produit scalaire de R3.1)b) Calculer le ϕ−orthogonal de (1, 1, 0) repre´sentant le polynoˆme 1 +X.1)c) Donner une base orthonorme´e de R3 pour ϕ.On se propose de reprendre la question 1) sans utiliser l’isomorphisme entre E et R3 :2)a) Montrer que < .., .. > est un produit scalaire de E.2)b) Calculer l’orthogonal de 1 +X.2)c) Donner une base orthonorme´e de E.Exercice 5 (optionnel) On se place dans l’espace vectoriel (de dimension infinie) E =C0(I,R), ou` I = [−1, 1]. On introduit les sous-espaces vectoriels de E :P = {f ∈ E, ∀x ∈ I, f(−x) = f(x)}I = {f ∈ E, ∀x ∈ I, f(−x) = −f(x)}.On introduit enfin le produit scalaire sur E :< f, g >=∫ 1−1f(t)g(t)dt.Pour f ∈ E, on note fp et fi les e´le´ments de P et I de´finis par :fp(x) =f(x) + f(−x)2et fi(x) =f(x)− f(−x)2.1) En remarquant que pour toute f ∈ E, on a f = fp + fi, montrez que E = P ⊕ I.2) Soit f ∈ P et g ∈ I. Montrez que f ⊥ g. En de´duire que P⊥ ⊂ I.3) Soit f ∈ P⊥. Calculez de deux manie`res < f, fp >, et en de´duire que P⊥ = I.Remarque : ici, nous sommes en dimension infinie, et nous avons E = P⊥ ⊕ P.Interros et partiels : vous pouvez traiter l’exercice 2 de la seconde interrogation de 2002, laquestion 4 de la premie`re interrogation de 2003 et le second exercice de la seconde interrogationde 2003.7TD semaine 6Exercice 1 (les re´sultats de cet exercice sont a` savoir retrouver rapidement ou a`connaˆıtre. Issu du sujet de partiel de juin 2002). Soit q une forme quadratique deR2 repre´sente´e dans la base canonique par une matrice M . Montrer qu’il existe une matriceorthogonale P telle que tPMP soit diagonale. En de´duire, a` l’aide d’un exercice ante´rieur, lasignature de q en fonction de det(M) et tr(M).Exercice 2 1) Montrer que deux matrices syme´triques A et B commutent si et seulement si leproduit est syme´trique.2) On se place dans le cas ou` A et B commutent. On note f (resp. g) l’endomorphisme de Rnrepre´sente´ par la matrice A (resp. B) dans la base canonique. On a donc f ◦ g = g ◦ f . Soitλ1, ..., λk les valeurs propres (re´elles) de f .2)a) Posons Ei = Ker(f − λiid). Pourquoi a t-on :Rn = ⊕ki=1Ei ?2)b) Montrer que si u ∈ Ei, alors g(u) ∈ Ei. En de´duire que g induit un endomorphisme gi surEi.2)c) Montrer qu’il existe une base orthonorme´e (pour le produit scalaire usuel de Rn) de Eidans laquelle la matrice de gi est diagonale.2)d) De´duire de 2)c) qu’il existe une base orthonorme´e (ε1, ..., εn) de Rn dans laquelle lesmatrices de f et g sont toutes deux diagonales.3) Exprimer matriciellement (sans f et g) sous forme d’une proposition ce que l’on a de´montre´dans 2).Exercice 3 1) Soit N une matrice syme´trique positive. Montrer qu’il existe une matrice Hsyme´trique telle que HH = N . (Indication : utiliser le the´ore`me sur la diagonalisation desmatrices syme´triques).2) Soit M une matrice n × n inversible telle que la matrice tMM est diagonale. Montrerqu’il existe une matrice syme´trique de´finie positive H et une matrice unitaire U telles queM = UH. (Indication : conside´rer la matrice tMM et prendre H comme la “racine carre´e decette matrice”).3) Ge´ne´raliser la conclusion pre´ce´dente pour M inversible quelconque.Exercice 4 1) Soit E, un espace euclidien et F un sous espace-vectoriel de E. On appellesyme´trie orthogonale par rapport a` F , et l’on note sF , l’unique application line´aire ve´rifiant :sF (x) = x si x ∈ F et sF (x) = −x si x ∈ F⊥. Calculez sF (x)+πF (x), et en de´duire l’expressionde sF en fonction de πF (cette expression n’est pas utile pour ce qui suit).2) Soit E, un espace euclidien et soit f une application line´aire de E dans E qui est unitaire(f∗f = id) et autoadjointe (f∗ = f). Montrer qu’il existe une base orthonorme´e de E danslaquelle la matrice de f est diagonale. Montrer que les valeurs propres de f sont e´gales a` 1 ou−1. Montrer que f est la syme´trie orthogonale par rapport a` l’espace propre associe´ a` la valeurpropre 1.3) Montrer que la matrice suivante est la matrice d’une isome´trie s de R4.1/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 −1/2 −1/21/2 −1/2 1/2 −1/21/2 −1/2 −1/2 1/2 .Montrer que s est une syme´trie. Donner une base orthonorme´e dans laquelle la matrice de sest diagonale.8TD semaine 7Exercice 1 1) Montrer que pour tout vecteur de Rn, on a les ine´galite´s :‖x‖∞ ≤ ‖x‖1 ≤ n‖x‖∞‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤√n‖x‖∞.2) En de´duire des constantes α(n) > 0 et β(n) > 0 de sorte que l’on ait pour tout x ∈ Rn :α(n)‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ β(n)‖x‖2.3) De´duire de 2) des constantes γ(n) > 0 et δ(n) > 0 de sorte que l’on ait pour tout x ∈ Rn :γ(n)‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ δ(n)‖x‖1.Exercice 2 Dessiner les ensembles suivants, e´tudier s’ils sont borne´s, et montrer :• {(x, y) ∈ R× R, x+ y2 > 0} est un ouvert de R× R.• {(x, y) ∈ R× R, x+ y ≥ 0 et x2 + y2 ≤ 1} est un ferme´ de R× R.• {x ∈ Rn | xi ≥ 0, pour tout i = 1, . . . , n, u · x ≤ w} (ou` w > 0 et ui > 0 pour touti = 1, . . . , n) est ferme´ (on ne fera le dessin qu’avec n = 2).• {(x, y) ∈ R× R, x > 0, y > 0, et xy ≥ 1} est un ferme´ de R× R.Donner l’adhe´rence du premier ensemble.Exercice 3 Soit (x(q))q une suite d’e´le´ments de Rn. On conside`re la suite re´elle (‖x(q)‖)q ou`‖.‖ repre´sente une des trois normes vues dans le cours.1) Montrer que pour tout p, q : ∥∥∥∥∥∥p+q∑k=px(k)∥∥∥∥∥∥ ≤p+q∑k=p‖x(k)‖.2) Montrer que si la se´rie re´elle de terme ge´ne´ral (‖x(q)‖)q est convergente, alors la suite (y(q))qd’e´le´ments de Rn de´finie par :∀q, y(q) =q∑k=0x(k)est de Cauchy. En de´duire que la suite (y(q))q est convergente.Exercice 4 1) Soit σ la fonction signe de´finie par : σ(0) = 0, σ(x) = 1 si x > 0 et σ(x) = −1si x < 0. A t-on σ(x) ≥ 0 sur un voisinage de 3 ? sur un voisinage de 0 ?2) Soit f la fonction constante e´gale a` 1. A t-on f(x) 6= σ(x) sur un voisinage de 0 ?Exercice 5 1) Soit (Uj)j∈J une famille de sous-ensembles ouverts de Rn. Montrer que ∪j∈JUjest un ouvert. Montrer que si J est finie, alors ∩j∈JUj est un ouvert.2) Soit (Fj)j∈J une famille de sous-ensembles ferme´s de Rn. Montrer que ∩j∈JFj est un ferme´.Montrer que si J est finie, alors ∪j∈JFj est un ferme´.Exercice 6 Soit A une partie non vide de Rn qui est a` la fois ouverte et ferme´e. Le but del’exercice est de montrer que A = Rn. On se donne a ∈ A et x ∈ Rn quelconque mais diffe´rent9de a.1) Soit :Kx = {λ ∈ R+, ∀t ∈ [0, λ], a+ t(x− a) ∈ A}.1)a) Montrer que Kx est un sous-ensemble non vide de R+ et que si λ1 ∈ Kx et si λ ∈ [0, λ1],alors λ ∈ Kx.2) Soit M la borne supe´rieure de Kx. C’est un e´le´ment de R+ ∪ {+∞}. Dans 2), on supposeque M est finie. On rappelle que A est ferme´e et ouverte.2)a) Montrer que M ∈ Kx.2)b) Montrer qu’il existe µ > M tel que µ ∈ Kx et aboutir a` une contradiction.2)c) Que de´duit-on de 2) ?3) Montrer que 1 ∈ Kx et conclure.Interros et partiels : vous pouvez traiter l’exercice 2 de la seconde interrogation de 2002(questions 3 et de´but de 4.b), l’exercice 1 de la seconde interrogation de 2003 (question 1), laquestion 1 de l’exercice 2 du partiel de juin 2003. Vous pouvez aussi traiter l’exercices 2 dela seconde interrogation de 2003. Ces exercices sont difficiles, aidez-vous de dessins pour lepremier exercice. Pour B1, on commencera admettre l’existence d’un y¯ ∈ K tel que pour touty ∈ K, yp ≤ y¯p, on prendra x¯ ∈ O et l’on se demandera s’il existe une boule de centre (x¯, y¯)incluse dans O.10TD semaine 8Exercice 1. Soit S la partie de R2 :S = {(x, y) ∈ R2, y = x3, et x 6= 0}et f la fonction qui vaut 1 sur les e´le´ments de S, 0 ailleurs.1) Montrer qu’en (0, 0), f est continue dans la direction de tout vecteur e, mais que f n’est pascontinue.2) Soit a0 = (x0, y0) ∈ S. f est-elle continue en a0 ?3) Soit a0 = (x0, y0) /∈ S tel que a0 6= 0. Montrer que f(a) = 0 sur un voisinage de a0. Ende´duire que f est continue en a0.Exercice 2 Soit f une application line´aire de Rn vers Rm qui n’est pas constamment nulle. Ilexiste une matrice m× n, A = (aij), telle que, en identifiant matrice et application line´aire, onait :∀x ∈ Rn, f(x) = Ax.1) Montrer que f(x+ h)− f(x) = f(h), et en de´duire que f est continue en x si et seulementsi f est continue en 0.2) On munit Rn et Rm de leurs normes ‖.‖1. On pose :K(f) :=m∑i=1max1≤j≤n|aij |.Montrer que pour tout h ∈ Rn, ‖Ah‖1 ≤ K(f)‖h‖1. En de´duire que f est continue.3) En de´duire que si g : Rn → R est un polynoˆme, alors g est continue. On rappelle qu’unpolynoˆme de Rn est une somme de termes de la forme :axp11 ...xpnn , a ∈ R, pj ∈ N.Remarque : nous avons donc de´montre´ les deux re´sultats essentiels suivants : toute f : Rn →Rm line´aire ve´rifie :• ∃K(f) > 0, ∀h, x ∈ Rn, ‖f(h)‖1 ≤ K(f)‖h‖1 et ‖f(x + h) − f(x)‖1 ≤ K(f)‖h‖1 (fLipschitzienne).• f est continue.Exercice 3 Soit f la fonction de R2 dans R de´finie par f(0, 0) = 0 et si (x, y) 6= 0 :f(x, y) =xy(x2 + y2)αou` α est un re´el strictement positif. Montrer que cette application est continue sur R2 \{(0, 0)}.Montrer qu’elle est continue en (0, 0) si et seulement si α < 1.Exercice 4 Etudier la continuite´ des applications de´finies de R2 vers R par fi(0, 0) = 0 et :f1(x, y) =(x+ y)2x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)f2(x, y) =x2 + y2|x|+ |y| si (x, y) 6= (0, 0).Pour f1, on examinera aussi la continuite´ suivant les directions.11Exercice 5 Peut-on prolonger par continuite´ en dehors de son domaine de de´finition D lafonction f de´finie sur :D = {(x, y) ∈ R2, x2 + y2 − 2x− 4y + 5 6= 0}par :f(x, y) =x3 + y3 − 3x2 − 6y2 + 3x+ 12y − 9x2 + y2 − 2x− 4y + 5 .Exercice 6 Les fonctions suivantes sont elles continues sur R2 :f1(x, y) = (x2 + y2) sin(1x2 + y2)si (x, y) 6= (0, 0), f1(0, 0) = 0.f2(x, y) = y sin(1x)si x 6= 0, f2(0, y) = 0.Exercice 7 La fonction suivante est-elle continue en (0, 0) ?f(x, y) =yx2e(−|y|/x2) si x 6= 0, f(0, y) = 0.Interros et partiels : commencez par montrer le point admis pour B1 (cf. semaine pre´ce´dente).Vous pouvez traiter la suite de l’exercice 2 de la seconde interrogation de 2002, la question 2 del’exercice 2 du partiel de juin 2002, les exercices 1 (question 3) et 3 de la seconde interrogationde 2003, la question 2b de l’exercice 2 du partiel de septembre 2003.12TD semaine 9Exercice 1 Soit f : R2 → R de´finie pour tout (x, y) ∈ R2 par f(x, y) = x2y3, a = (a1, a2) ∈ R2et e = (e1, e2) ∈ R2 \ {0}. Calculer ∂ef(a).Exercice 2 Soit f : R2 → R la fonction de´finie par : f(x, y) = x+y si x 6= y, f(x, y) = 2(x+y)sinon, et e1 = (1, 0), e2 = (0, 1). Montrer qu’en (0, 0), f est de´rivable dans la direction desvecteurs e1, e2, e1 + e2, mais que :∂e1+e2f(0, 0) 6= ∂e1f(0, 0) + ∂e2f(0, 0).Exercice 3 Etudier l’existence des de´rive´es partielles des fonctions suivantes et calculer-les sielles existent.• f1 de ]0,∞[×R× R dans R, f(x, y, z) = xy.• f2 de R2 dans R, f(x, y) = sin(xy).• f3 de R2 dans R, f(x, y) = sin(x sin(y)).• f4 de ]0,∞[×]0,∞[×R dans R, f(x, y, z) = xyz .• f5 de ]0,∞[×]0,∞[×R dans R, f(x, y, z) = (x+ y)z.Ecrire la matrice jacobienne de la fonction f : R2 → R2 de´finie par : f(x, y) = (sin(xy), sin(x sin(y))).Exercice 4 Soit f , l’application de R2 dans R de´finie par f(0, 0) = 0 et :f(x, y) =xyx2 + y2si (x, y) 6= (0, 0).Cette application admet-elle des de´rive´es partielles en (0, 0)? Est-elle continue en (0, 0)?Exercice 5. (Conseil : si vous avez des difficulte´s lorsque n est quelconque, com-mencez par faire n = 2 ou n = 3, puis passez au cas ge´ne´ral).Soit f , la fonction de Rn dans R de´finie par f(x) = b ·x ou` b est un vecteur de Rn. Calculer lesde´rive´es partielles de cette fonction. Donner le vecteur gradient pour tout x ∈ Rn. f est-ellede classe C1 ?Meˆme question pour f(x) = x · x.Meˆme question pour f(x) = (Ax) · x ou` A est une matrice n× n.Meˆme question pour f(x) = (Ax− b) · (Ax− b) ou` A est une matrice n× n et b un vecteur deRn.Exercice 6 (Optionnel) Soit f de ]0,∞[×R× R dans R3 de´finie par :f(r, ϕ, θ) = (r cos(θ) cos(ϕ), r cos(θ) sin(ϕ), r sin(θ)).Donner la matrice jacobienne de f en tout point de son domaine.Interros et partiels : voir a` la fin de la semaine 10 ; vous pouvez traiter certaines des questionssignale´es en semaine 10.13TD semaine 10Exercice 1 Soit S une application diffe´rentiable de R2 vers R.1) Rappeler la formule donnant D(u0,v0)S(h, k) en fonction des de´rive´es partielles ∂1S(u0, v0)et ∂2S(u0, v0).2) Soit ϕ : R → R2 de´finie par ϕ(x) = (x, x2), et f = S ◦ ϕ. f est donc une fonction de Rvers R. Rappeler la formule reliant f ′(x) et Dxf . En de´duire f′(x) en fonction des de´rive´espartielles de S.3) Ici on suppose que S(u, v) = (u−v)2. Finir le calcul commence´ en 2), et comparer le re´sultatfinal avec celui d’un calcul direct.Exercice 2 Soit u, v et w trois fonctions de´rivables de R dans R et soit R et S deux fonctionsdiffe´rentiables respectivement de R2 et de R3 dans R. Montrer que les fonctions suivantes sontdiffe´rentiables et donner leur gradient en tout point de leur domaine de de´finition.• f : R2 → R, f(x, y) = R(u(x)w(y), u(x) + v(y)).• f : R3 → R, f(x, y, z) = R(u(x+ y), v(y + z)).• f : R2 → R, f(x, y) = S(x, u(x), R(x, y)).• f : (]0,∞[)3 → R, f(x, y, z) = S(xy, yz, zx).Exercice 3 1) Montrer que les applications suivantes sont diffe´rentiables, calculer leurs diffe´rentielleset leurs matrices jacobiennes :f : Rn → Rm, f(x) = Ax− b, A matrice m× n et b vecteur m× 1.g : Rn × Rn → R, g(x, y) = x · y =∑ni=1 xiyi.2) Montrer que l’application F1 : x 7→ ‖x‖22 = x · x est diffe´rentiable, et que :DxF1(h) = 2x · hpuis en de´duire que F2 : x 7→ ‖x‖2 est diffe´rentiable sur Rn\{0} (remarquer que F2 = √ ◦F1),et que :DxF2(h) =x · h‖x‖2 .3) De´duire de 1) et 2) que l’application x 7→ (Ax − b) · (Ax − b) est diffe´rentiable sur Rn, etcalculer sa diffe´rentielle puis son gradient.Exercice 4 Soit f une application diffe´rentiable de Rn dans R et soit α > 0 fixe´.1) x ∈ Rn e´tant fixe´, calculez la de´rive´e de la fonction φ de R vers R de´finie par :φ(t) = f(tx)− tαf(x).2) On suppose que pour tout x ∈ Rn et pour tout t > 0,f(tx) = tαf(x).De´duire de 1) l’identite´ d’Euler :n∑i=1xi∂f∂xi(x) = αf(x).Exercice 5 (Optionnel) Soit g, une application diffe´rentiable de Rn dans R. On suppose quepour tout x ∈ Rn tel que g(x) = 0, alors ∇g(x) est non nul. Soit X, le sous-ensemble de Rn14de´fini par X = {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0}.1) Montrer que si x ve´rifie g(x) = 0, alors il existe une suite (x(q))q d’e´le´ments de Rn quiconverge vers x et telle que pour tout q, g(x(q)) > 0.2) De´duire de la question pre´ce´dente que pour tout x ∈ Rn, les deux assertions suivantes sonte´quivalentes :(i) g(x) < 0 ;(ii) il existe r > 0 tel que pour tout x′ ve´rifiant ‖x− x′‖ < r, g(x′) ≤ 0.Exercice 6 (Optionnel) Soit f et g deux applications diffe´rentiables de Rn dans R. Montrerque les applications F , G et H de Rn dans R de´finies par :F (x) = f(x)g(x),G(x) =1g(x)etH(x) =f(x)g(x)sont diffe´rentiables et exprimer leurs gradients a` partir des gradients de f et g (H se de´duit despre´ce´dents).N.B. : pour G et H, on supposera que g ne s’annule pas.Interros et partiels : vous pouvez regartder la question 3 de l’exercice 2 du partiel de 2002,l’exercice 2 du partiel de septembre 2002, l’exercice 2 du partiel de mai 2003 (questions 2 a` 5),l’exercice 3 du meˆme partiel (plus the´orique), finir l’exercice 2 du partiel de septembre 2003 etfaire l’exercice 3 de ce partiel (e´galement plus the´orique).15TD semaines 11 et 12Exercice 1. (Exercice 3 du partiel de juin 2002). Soit A1, ..., An des parties de Rm.1) Montrer que si les parties sont deux a` deux disjointes, c’est-a`-dire si Ap ∩ Aq = ∅ si p 6= q,alors on a :1∪ni=1Ai =n∑i=11Ai .Montrer que sans hypothe`se sur les parties Ai, on a :1∪ni=1Ai ≤n∑i=11Ai .2) On se propose de pre´ciser ce qui se passe lorsqu’il n’y a pas d’hypothe`se sur les Ai.2)a) Montrer que :1− 1∪ni=1Ai =n∏i=1(1− 1Ai) .2)b) Ici on suppose n = 3 pour simplifier. De´duire de 2)a) que :1A1∪A2∪A3 = 1A1 + 1A2 + 1A3 − 1A1∩A2 − 1A2∩A3 − 1A3∩A1 + 1A1∩A2∩A3 .Remarque : En fait, ce que vous avez fait ici se traite exactement de la meˆme manie`re avec nquelconque, c’est juste un peu plus lourd a` e´crire.3) Que peut-on dire lorsque de plus les parties sont Jordan-mesurables ?Exercice 2. On de´finit les ensembles Di pour i = 1, .., 3 par :D1 = [0, 1]× [0, 1], D2 = {(x, y), 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}, D3 = {(x, y) ∈ R+∗ × R+∗ , x+ y ≤ 1}.1) Dessinez les ensembles Di, et (semaine 12) montrer qu’ils sont Jordan-mesurables.2) Sur chaque ensemble Di, calculez les inte´grales suivantes :∫∫Dixαyβ dxdy =∫∫[0,1]21Di(x, y)xαyβ dxdy∫∫Di(xα + yβ) dxdy =∫∫[0,1]21Di(x, y)(xα + yβ) dxdy∫∫Diαxβy dxdy =∫∫[0,1]21Di(x, y)αxβy dxdy.Pour celles qui ne se simplifient pas, on pourra supposer α = 1 et β = 2.Exercice 3. R, λ et µ e´tant trois re´els strictement positifs, calculezIR =∫∫DRλe−λxµe−µy dxdy avec DR = {(x, y), 0 ≤ x ≤ y ≤ R},puis limR→+∞ IR.Exercice 4. Calculez les deux inte´grales suivantes en faisant les changements de variablesindique´s (les questions sont inde´pendantes) :1)∫∫Dsin (x2 + y2) dxdy sur D = {(x, y) ∈ R × R, 0 ≤ x2 + y2 ≤ R2} (R > 0 fixe´) en passanten coordonne´es polaires (ρ, θ) telles que x = ρ cos θ et y = ρ sin θ.2)∫∫Dexp(x−yx+y)dxdy sur D = {(x, y) ∈ R+ × R+, x + y ≤ 1} en passant aux coordonne´es16(u, v) de´finies par u = x + y et v = x − y (on ne se pre´occupera pas de l’aspect impropre del’inte´grale).Exercice 5. On de´finit la fonction ψ sur le carre´ C = [0, 1]× [0, 1] par ψ(x, 0) = 0 pour tout x,et ψ(x, y) = xy si y 6= 0. On admettra que ψ est inte´grable sur C. Calculez de deux manie`res :∫∫Cψ(x, y) dxdyet en de´duire la valeur de : ∫ 10x− 1ln(x)dx.Exercice 6. On pose, pour R > 0 :IR =∫ R0e−u2du et JR =∫∫DRe−(x2+y2) dxdyou` DR = {(x, y) ∈ R+ × R+, x2 + y2 ≤ R2}.1) Calculez JR en passant aux coordonne´es polaires (ρ, θ) telles que x = ρ cos θ et y = ρ sin θ.Calculez limR→+∞ JR.2) Montrez que :I2R =∫∫CRe−(x2+y2) dxdyou` CR = [0, R]× [0, R] (on pourra partir du membre de droite). En de´duire un encadrement deI2R par deux inte´grales de type J.. avec des indices a` choisir.3) De´duire de 1) et 2) que : ∫ +∞0e−u2du =√π2puis en de´duire que la densite´ d’une loi normale est bien de masse 1, c’est-a`-dire que si m ∈ Ret σ ∈ R+∗ , on a : ∫ +∞−∞1√2πσ2e−(x−m)22σ2 dx = 1.Exercice 7. (Optionnel) Soit P un pave´ et f une fonction inte´grable sur P . Pour toutefonction g ∈ B(P,R), on posera :‖g‖∞ = supx∈P|g(x)|.On sait qu’il existe deux suites de fonctions en escalier (ϕn)n et (ψn)n telles que :∀x ∈ P, |f(x)− ϕn(x)| ≤ ψn(x) et limn→+∞∫Pψn = 0.1. Montrer par un exemple que la suite de nombres (‖ϕn‖∞)n n’est pas force´ment borne´e.Indication : prenez (en dimension 2 par exemple) f = 0 et ϕn = n1An avec des An a` choisir.2. On conside`re deux suites de fonctions en escalier (ϕn)n et (ψn)n satisfaisant a` :∀x ∈ P, |f(x)− ϕn(x)| ≤ ψn(x) et limn→+∞∫Pψn = 0et l’on introduit l’ensemble :An = {x ∈ P, |ϕn(x)| ≥ ‖f‖∞ + 1}.17An est Jordan-mesurable (ϕn e´tant en escalier, An est une re´union finie de pave´s, e´ventuellementprive´s de certaines de leurs arreˆtes).2.a. Montrer que pour tout x ∈ P , on a :|ϕn(x)− f(x)| ≥ 1An(x).Indication : distinguez les cas x /∈ An et x ∈ An, et dans le second cas, on utilisera que|a− b| ≥ |a| − |b|).2.b. En de´duire que limn→∞ µ(An) = 0.On introduit la fonction ϕˆn de´finie par :ϕˆn(x) ={ϕn(x) si x /∈ An‖f‖∞ sinon2.c. Montrer que ϕˆn est une fonction en escalier.2.d. Montrer que ‖ϕˆn‖ ≤ ‖f‖∞ + 1 (et donc supn ‖ϕˆn‖ < +∞).2.e. En remarquant que f = f1An + f1Acn , trouver une suite de fonctions en escalier (ψˆn)ntelle que l’on ait :∀x ∈ P, |f(x)− ϕˆn(x)| ≤ ψˆn(x) et limn→+∞∫Pψˆn = 0.3. Formulez le re´sultat obtenu sous forme d’une proposition.Interros et partiels : questions 4 et 5 de l’exercice 2 du partiel de juin 2002, exercice 1 dece partiel, l’exercice 3 du partiel de septembre 2002 et question 6 de l’exercice 2 du partiel dejuin 2003.18Sujets des anne´es pre´ce´dentes.Vous trouverez ici quelques sujets pose´s les anne´es pre´ce´dentes. Les difficulte´s sont commente´esau de´but de l’e´preuve (informations non fournies par e´crit le jour de l’e´preuve). Voici lessignifications des abre´viations (indique´es en gras) : clq : classique. Il s’agit de questions pouvanttomber re´gulie`rement, et que donc vous eˆtes cense´s savoir traiter. Les questions classiques sonten ge´ne´ral de difficulte´ facile fcl (alors non mentionne´), ou moyenne moy. Il arrive aussi qu’ily ait des questions difficiles diffc, celles-ci sont tre`s souvent signale´es d’une e´toile dans leurnume´ro.Seconde interrogation d’Analyse-alge`bre 4, mai 2002Ce sujet est clq, sauf la question 2 de l’exercice 1, qui est moy.Cours : e´noncez pre´cise´ment (hypothe`ses + conclusions) le the´ore`me de diagonalisation des en-domorphismes autoadjoints (i.e. ve´rifiant f∗ = f), son interpre´tation matricielle et le the´ore`mede co-re´duction (ou de re´duction simultane´e) de deux formes biline´aires syme´triques.Exercice 1.1. Ici E = R3 que l’on munit de sa structure euclidienne canonique et dans lequel on conside`rele vecteur :e1 =1√3 1−111.a. Donner l’e´quation de F = e⊥1 .1.b. Calculez, pour tout vecteur u = (u1, u2, u3)′, πe1(u) et πF (u).2. On admet l’e´nonce´ suivant :Soit E un espace euclidien, et soit G et H deux sous espaces de E en somme directe. Notonsp = dim(G) et n = dim(E). Sont e´quivalentes :(1) L’othogonal de G est H.(2) Il existe une base (e1, ..., ep) de G et une base (ep+1, ..., en) de H telles que la matrice duproduit scalaire de E dans la base (e1, ..., en) soit In.Trouver un produit scalaire < .., .. > sur E = R3 distinct du produit scalaire usuel pour lequell’orthogonal de e1 est encore F . Il est demande´ de donner sa matrice relativement a` la basecanonique de R3.Exercice 2. Soit ϕ la fonction de R vers R de´finie par ∀x ∈ R, ϕ(x) = x3, soit S le sous-ensemble de R2 de´fini par :S := {(x, y) ∈ R2, y = ϕ(x) et x 6= 0}et soit f la fonction de R2 vers R de´finie par :f(x, y) ={1 si (x, y) ∈ S0 sinon1. Dessinez une allure de l’ensemble S.2. Soit e = (e1, e2) un vecteur non nul de R2 (i.e. dont au moins l’une des composantes est19non nulle). On de´finit la fonction fe : R → R, par : fe(t) = f(te) = f(te1, te2).2.a. Re´soudre l’e´quation d’inconnue t : te2 = ϕ(te1), et en de´duire qu’il existe un re´el α(e) > 0tel que si |t| < α(e), alors fe(t) = 0.2.b. Montrer qu’en (0, 0), f est continue dans la direction de tout vecteur e non nul.2.c. f est-elle continue en (0, 0) ? (Vous pourrez, par exemple, calculer limn→+∞ f(1/n, 1/n3)).3. On pose S0 = S ∪ {(0, 0)}.3.a. L’ensemble S0 est-il ouvert ? Est-il ferme´ ? (Justifiez).3.b. Meˆmes questions pour S.4. Soit (x0, y0) /∈ S0. On note Sc0 le comple´mentaire de S0.4.a. Montrer que si (x, y) ∈ Sc0, alors f(x, y) = 0.4.b. Montrer en utilisant 3.a qu’il existe r > 0 tel que si ‖(x, y) − (x0, y0)‖2 < r, alors(x, y) ∈ Sc0. f est-elle continue en (x0, y0) ?Partiel de juin 2002Tout est clq, sauf 3.b de l’exercice 1 dont la fin est diff, et le 2.a de l’exercice 3 qui est moy.Exercice 1. On se donne une matrice A syme´trique d’ordre 2, (ε1, ε2) la base canonique deR2 ; soit q la forme quadratique de matrice A relativement a` la base canonique de R2. ON sedonne enfin deux re´els λ et µ.1. Indiquez, en justifiant rapidement mais pre´cise´ment, si les assertions suivantes sont justesou fausses :1.a. si il existe une matrice P inversible telle que tPAP =(λ 00 µ), alors λ et µ sont lesvaleurs propres de A.1.b. si il existe une matrice P inversible telle que tPAP = I2 ettPAP =(λ 00 µ), alors λet µ sont les valeurs propres de A.2. Soit B la matrice(λ 00 µ), et vq1 la forme quadratique de matrice B dans la basecanonique.2.a. Calculer q1(ε1), q1(ε2) et ϕ(ε1, ε2) ou` ϕ1 est la f.b.s. associe´e a` q1.2.b. On suppose dans la question 2.b que det(B) > 0.2.b.i. On suppose ici de plus que tr(B) > 0. Que peut-on dire du signe de λ et µ ? Trouverune base de R2 dans laquelle la matrice de q1 est I2, et en de´duire la signature de la formequadratique q1.2.b.ii. On suppose ici de plus que tr(B) > 0. En suivant un plan analogue a` celui de 2.b.i,mais avec les adaptations ne´cessaires, montrer que la signature de q1 dans ce cas est (0, 2).2.b.iii. Montrer que l’hypothe`se tr(B) = 0 est impossible si det(B) > 0.2.c. Nous e´tudions maintenant le cas ou` det(B) < 0. Que peut-on dire du signe de λ et µ ? nde´duire la signature de q1 (vous pouvez traiter le cas λ > 0, l’autre cas e´tant identique).2.d. Si det(B) = 0, l’une des valeurs est nulle, par exemple on suppose µ = 0. Discuter lesigne de λ en fonction de celui de tr(B), et en de´duire la signature selon le signe de tr(B) (unere´daction plus rapide que dans les questions pre´ce´dentes sera accepte´e).2.e. Re´sumer la question (de 2.b a` 2.d) par un tableau qui en fonction de la trace et dude´terminant de B donne la signature de la forme quadratique associe´e.3. Revenons a` la matrice A.3.a. Soit q0 la forme quadratique de matrice I2 dans la base canonique. En utilisant q0 etun re´sultat du cours dont vous rappelerez l’e´nonce´, de´montrez qu’il existe des re´els λ et µ et20une matrice P inversible tels que tPAP = I2 ettPAP =(λ 00 µ). On note B la matrice(λ 00 µ).3.b.* Montrer que det(A) = det(B) et tr(A) = tr(B), et en de´duire que les re´sultats de 2s’adaptent a` A.3.c. Application : indiquez les signatures des formes quadratiques dont les matrices relative-ment a` la base canonique de R2 sont :A1 =(0 11 7)et A2 =(2 33 −5).Exercice 2. Dans tout cet exercice, on conside`re deux re´els strictements positifs α et β et lafonction fαβ de R2 vers R de´finie par :fαβ(x, y) ={xαyβx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon.1. Montrer qu’en dehors de (0, 0), fαβ est de classe C1, et exprimer ∇fαβ(x, y).2. Conside´rons un vecteur e = (e1, e2) non nul de R2.2.a. Montrer que si e1 = 0 ou si e2 = 0, alors fαβ est continue en (0, 0) dans la direction duvecteur e.2.b. Montrer que lorsque e1 et e2 sont tous deux non nuls, fαβ est continue en (0, 0) dans ladirection du vecteur e si et seulement si α+ β > 2.2.c. Montrer que lorsque α+ β > 2, fαβ est continue en (0, 0).3. On s’inte´resse a` la de´rivabilite´ de fαβ en (0, 0).3.a. Etudier l’existence des de´rive´es partielles en (0, 0).3.b. Montrer que lorsque α+β > 3, fαβ est de´rivable en (0, 0) dans la direction de tout vecteure, et calculer ∂efαβ(0, 0).4. Dans cette question, on suppose α = β = 1/2.4.a. a e´tant un re´el strictement positif fixe´, calculez les de´rive´es des fonctions x 7→ ln(x2 + a)et x 7→ (x2 + a)(ln(x2 + a)− 1).4.b. On conside`re le pave´ P = [1; 2]× [1; 2]. Calculez l’inte´grale :∫∫Pxyx2 + y2dxdy.5. On revient au cas α et β quelconques. Pour r ∈]0; 1[, on pose :Dr = {(x, y) ∈ R2, r2 ≤ x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.On pose e´galement :Wα,β =∫ pi/20cosα(θ) sinβ(θ)dθet :Ir(α, β) =∫∫Drfαβ(x, y)dxdy.5.a. Exprimez Ir(α, β) a` l’aide de Wα,β .5.b. Etudiez si la limite de Ir(α, β) lorsque r tend vers 0 existe, et si oui, la calculer.21Exercice 3. Soit p un entier au moins e´gal a` 2. On se donne un pave´ P de R2 contenant toutesles parties conside´re´es dans cet exercice. On rappelle que :∩pi=1Ai = (∩p−1i=1Ai) ∩Ap.1. Soit E1, ..., Ep des parties de R2. Montrer que :1∩pj=1Ej = 1E1 ...1Ep .En de´duire que si E1, ..., Ep sont Jordan-mesurables, alors E1 ∩ ... ∩ Ep est Jordan-mesurable.2. Soit A, B, C trois parties Jordan-mesurables.2.a. Calculer 1− 1A∪B∪C en fonction de 1− 1A, 1− 1B et 1− 1C .2.b. De´duire de 2.a que :1A∪B∪C = 1A + 1B + 1C − 1A∩B − 1B∩C − 1A∩C + 1A∩B∩C .2.c. De´duire de 2.b et 1 que A ∪ B ∪ C est Jordan-mesurable, et exprimer m(A ∪ B ∪ C) enfonction de mesures d’ensembles A, B, C et de leurs intersections.3. En suivant un plan analogue a` celui de la question 2, expliquer comment montrer que si A,B, C, D sont des parties Jordan-mesurables, alors il en est de meˆme de A∪B∪C∪D, et donnerune formule analogue pour la mesure de cet ensemble. Attention : il n’est pas demande´de tout refaire, seulement de donner les grandes lignes de la de´monstration.Partiel de septembre 2002L’exercice 1 est un exercice type, a` savoir faire les yeux ferme´s. L’exercice 2 est clq, avectoutefois des questions moy (1.c, 2.b) et une qustion diffc (au niveau de la re´daction), laquestion 3. L’exercice 3 est clq mais de niveau interme´diaire entre fcl et moy. La question 1.aest moy.Exercice 1. Soit ϕ la forme biline´aire syme´trique de R3 dont la matrice dans la base canonique(ε1, ε2, ε3) de R3 est :M = 1 1 11 2 41 4 1 .On note q la forme quadratique associe´e.1. Donnez l’expression de ϕ((x, y, z), (x′, y′, z′)) et de q(x, y, z).2. Calculez det(M). ϕ est-elle de´finie positive ? de´finie ne´gative ?3. On pose e1 = ε1. De´terminez l’orthogonal F de e1 relativement a` la forme quadratique q.Quelle est la dimension de F ?4. Choisissez un vecteur e2 ∈ F tel que q(e2) > 0. Trouver un vecteur e3 qui est q− orthogonala` e1 et a` e2.5. Montrer que (e1, e2, e3) est une base de R3, et exprimer la matrice de q dans cette base.De´terminez la signature de q. Ce re´sultat contredit-il les deux derniers de la question 1 ?Exercice 2. On se donne deux entiers m et n tels que m ≤ n, et on se place dans Rn muni deson produit scalaire canonique · et de sa norme euclidienne canonique :‖u‖ =√√√√ n∑i=1u2i =√u · u22(note´e ‖u‖2 dans le cours). On se donne e´galement une matrice d’ordre n×m, A et un vecteurcolonne b de taille n. On de´finit enfin f : Rm → R par :f(x) = ‖Ax− b‖2.1. On de´finit les fonctions q : Rn → R et ℓ : Rm → Rn :q(u) = ‖u‖2 =n∑i=1u2i ,ℓ(x) = Ax− b.On a donc f = q ◦ ℓ.1.a. Calculez les de´rive´es partielles de q. En de´duire que q est de classe C1, et la valeur deDuq(h).1.b. En revenant a` la de´finition, calculez Dxℓ(h).1.c. De´duire des questions pre´ce´dentes la valeur de Dxf(h), puis que ∇f(x) = 2tA(Ax− b).2. On suppose qu’il existe un vecteur x∗ ∈ Rn tel que pour tout x ∈ Rn, f(x) ≥ f(x∗). Soit eun vecteur non nul. On de´finit la fonction φe : R → R par φe(t) = f(x∗ + te).2.a. Montrer que φe est minimale en 0. Montrer que φe est de´rivable en 0 et que φ′e(0) = 0.2.b. En de´duire que ∇f(x∗) = 0.2.c. En utilisant 2.b et le dernier re´sultat de 1.c, montrez que :tAAx∗ = tAb.2.d. Si tAA est inversible, montrez qu’il y a un et un seul x∗ solution, et donnez son expression.3. A quelle occasion avez-vous vu une formule analogue en cours ? Expliquez tre`s pre´cise´mentpourquoi on a obtenu le meˆme re´sultat (par une me´thode diffe´rente).Exercice 3. On se donne un pave´ P de R2 contenant toutes les parties mises en jeu danscet exercice. On admettra qu’une re´union (finie) de parties Jordan-mesurables est Jordan-mesurables.1. Soit A1, ..., An, n parties de R2.1.a. Montrez que :1∪ni=1Ai ≤n∑i=11Ai .1.b. Supposant que toutes les parties sont Jordan-mesurables, qu’en de´duit-on concernantµ(∪iAi) (la re´ponse sera utile dans 2.b) ?2. Soit A une partie satisfaisant la proprie´te´ suivante : pour tout ε > 0, il existe Nε ∈ N∗, ilexiste Nε pave´s P1, ..., PNε tels que :A ⊂ ∪Nεi=1Pi etNε∑i=1µ(Pi) ≤ ε.On note Bε = ∪Nεi=1Pi.2.a Bε est-il ne´cessairement un pave´ ? Justifiez.2.b. Montrer que :0 ≤ 1A − 0 ≤ 1Bε et µ(Bε) ≤ ε.2.c. En de´duire que A est Jordan-mesurable et que µ(A) = 0.3. Soit a ∈ R et S le segment joignant les points (0, 0) et (1, a) dans R2. Soit n un entier aumoins e´gal a` 1. On pose, pour k variant de 0 a` n− 1 :Pk,n =[kn,k + 1n]×[akn, ak + 1n].233.a. Montrer que pour tout n, on a :S ⊂ ∪n−1k=0Pk,n.3.b. Montrer que :n−1∑k=0µ(Pk,n) =an.3.c. Que peut-on en de´duire pour S (justifier) ?Premie`re Interrogation d’Analyse-alge`bre 4, 2003L’exercice 1 est encore un exercice type a` savoir faire les yeux ferme´s, l’exercice 2 est in-terme´diaire entre moy et diffc. C’est un excellent moyen de travailler le chapitre 2 au niveauthe´orique.Cours : Donner l’e´nonce´ complet du the´ore`me de Cauchy-Schwarz vu en cours. Faire lade´monstration comple`te de la partie ine´galite´.Exercice 1. Soit E = R3 muni de sa base canonique. On conside`re la forme quadratique qde´finie par :q(x, y, z) = x2 − y2 + 2z2 + 8xy + 4xz.1. q est-elle de´finie positive ? De´finie ne´gative ? (On attend des justifications impliquant leminimum de calculs).2. De´terminer l’expression de la forme biline´aire syme´trique ϕ associe´e, ainsi que la matrice deq dans la base canonique de R3.3. On se donne la base ε1 = (1, 1, 0), ε2 = (1, 0, 1), ε3 = (0, 1, 1) de R3.3.a. De´terminer la matrice de q dans la base (ε1, ε2, ε3) en utilisant la de´finition.3.b. Indiquez deux autres me´thodes pour obtenir ce re´sultat. On attend une descriptionpre´cise des me´thodes, un calcul pose´, mais il n’est pas demande´ d’effectuer le calcul final.4.4.a. Soit e1 = (1, 0, 0). De´terminez F = e⊥1 .4.b. De´terminez un vecteur e2 ∈ F tel que q(e2) < 0.4.c. De´terminez un vecteur e3 non nul dans e⊥1 ∩ e⊥2 .4.d. Montrer que (e1, e2, e3) est une base de R3, et de´terminez la matrice de q dans cette base.4.e. De´terminer la signature de q. Le re´sultat obtenu est-il en accord avec vos re´ponses a` laquestion 1 ?Exercice 2. Soit E un espace euclidien. Pour tout s.e.v. F de E, πF la projection orthogonalede E sur F .1. Montrer que pour tout u ∈ E, ‖πF (u)‖ ≤ ‖u‖, avec e´galite´ si et seulement si u ∈ F .2. Soit u ∈ F ∩G. De´terminez (πF ◦ πG)(u).3. On suppose dans la question 3 qu’il existe un s.e.v. H de E tel que πF ◦ πG = πH .3.a. A l’aide de 2, donner une relation entre F , G et H.3.b. * Soit u ∈ H. Montrez successivemnt, a` l’aide de raisonnements par l’absurde, que u ∈ G,puis que u ∈ F .3.c. Re´sumer la question 3 sous la forme d’une proposition.4. On cherche de´sormais des conditions assurant que πF ◦ πG = πH .4.a. * A l’aide de la question 2, montrez que la condition ne´cessaire et suffisante est queπG(F⊥) ⊂ F⊥.4.b. Montrer qu’une condition suffisante est πF ◦ πG = πG ◦ πF .24Seconde interrogation d’Analyse-alge`bre 4, mai 2003Les questions 1 et 2 de l’exercice 1 sont clq (seule la fin de 2.c estmoy au niveau de la re´daction),la question 3 est diffc). L’exercice 2 est diffc, je vous conseille fortement de faire des dessins(avec n = 2) et d’essayer de comprendre ge´ome´triquement ce que signifie cette hypothe`se). Laquestion 1 de l’exercice 3 est fcl, la question 2 est fcl pour celui qui connaˆıt bien son cours,sinon moy, et la question 3 est diffc.Exercice 1.1. 1.a. Rappeler les de´finitions d’ensemble ouvert et d’ensemble ferme´ dans Rn.1.b. On de´finit dans R2 les ensembles A = R+ × R+ et B = A \ {(0, 0)}. A est-il ouvert ?ferme´ ? (justifier).1.c. Montrer que (0, 0) ∈ B.2. Etant donne´s deux re´els strictement positifs α et β et un re´el γ, on de´finit la fonctionf : A→ R par :∀(x, y) ∈ B, f(x, y) = xαyβx+ y, f(0, 0) = γ.2.a. Montrer que f est continue sur B.2.b. On suppose que α + β > 1. Montrer qu’il existe une valeur de γ pour laquelle f estcontinue sur A.2.c. On suppose α + β = 1. Montrer que pour toute direction h ∈ R+ × R+, il existe unevaleur de γ (de´pendant de h) de sorte que f soit continue en (0, 0) dans la direction h. Peut-ontrouver une valeur de sorte que f soit continue en (0, 0) (justifier soigneusement) ?2.d. On pose γ = 0. Etudier les continuite´s directionnelles de f en (0, 0) lorsque α+ β < 1.2.e. En de´duire la condition ne´cessaire et suffisante sur α et β pour que f soit continue en(0, 0) lorsque γ = 0.3. De´sormais, on suppose que γ = 0. Soit a, b, c, d quatre re´els strictement positifs. Etudier lacontinuite´ en (0, 0) de la fonction g : A→ R de´finie par g(0, 0) = 0 et :∀(x, y) ∈ B, g(x, y) = xaybxc + yd.On pourra, par exemple, se ramener au cas de f en introduisant une bijection (explicite)ϕ : A→ A telle que(ϕ(x, y)→ (0, 0))⇔ ((x, y)→ (0, 0))et telle que g◦ϕ soit une fonction f avec des coefficients α et β explicites en fonction de a, b, c, d.Exercice 2. On dit qu’une norme sur Rn est uniforme´ment convexe si elle ve´rifie :∀ε ∈]0; 1[, ∃δ ∈]0; 1[, (‖x‖ = 1, ‖y‖ = 1, ‖x− y‖ ≥ ε) =⇒ (‖(x+ y)/2‖ ≤ 1− δ) .Pour chacune des trois normes vues en cours, e´tudier si elle est uniforme´ment convexe sur Rn,n ≥ 2.Exercice 3. Soit (E, ‖.‖) un espace pre´hilbertien, q une forme quadratique sur E. On conside`reles hypothe`ses :(H1) q est de´finie positive.(H2) ∃α > 0, ∀u ∈ Rn, q(u) ≥ α‖u‖2.1. Montrer (H2)⇒ (H1).2. On suppose que E est euclidien. Soit S = {v ∈ E, ‖v‖ = 1}. Montrer que infv∈S q(v) > 0,25et en de´duire que (H1)⇒ (H2).3. Montrer a` l’aide d’un contre-exemple qu’en dimension infinie, on peut avoir (H1) et non(H2).Partiel de mai 2003L’exercice 1 est clq, sauf A.4.b et B.4 qui sont diffc. L’exercice 2 est clq, mais presqu’aucune´le`ve n’avait re´ussi les questions 4 et 5 : traitez-les avec soin. L’exercice 3 est de difficulte´ moya` diffc, c’est un excellent exercice pour re´viser l’aspect the´orique sur la diffe´rentiabilite´.Exercice 1. On conside`re dans tout cet exercice la matrice syme´trique d’ordre p :Ap(λ) =(λ|j−i|)1≤i,j≤n,ou` p est un entier au moins e´gal a` 2, et λ un re´el. Ainsi, on a par exemple :A2(λ) =(1 λλ 1), A3(λ) = 1 λ λ2λ 1 λλ2 λ 1 .On note qp la forme quadratique de matrice Ap(λ) relativement a` la base canonique de Rp et ϕpla forme biline´aire syme´trique associe´e. On admettra sans de´monstration les e´nonce´s suivants :E1. Pour tout p ≥ 2 et tout λ ∈ R, det(Ap(λ)) = (1− λ2)p−1.E2. Soit E un espace vectoriel muni d’une forme quadratique q de signature (s, t) et F uns.e.v. de E. On note (sF , tF ) la signature de la restriction de q a` F . Alors sF ≤ s ettF ≤ t.E3. Soit E un espace vectoriel muni d’une forme quadratique q. On note A la matrice de qdans une base de E. Si det(A) < 0, alors la signature de q est de la forme (s, t) avecs + t = n et t impair. Si det(A) > 0, alors la signature de q est de la forme (s, t) avecs+ t = n et t pair.La question A.4 n’est pas ne´cessaire pour la suite et peut eˆtre passe´e.Partie A. On suppose dans toute cette partie que p = 2.A.1. Donner les expressions de q2 et de ϕ2.A.2. A l’aide du crite`re trace-de´terminant vu en TD, discuter la signature de la forme quadra-tique q2 selon la valeur de λ.A.3. On note e1 =(10). Trouver un vecteur e2 de R2 (de´pendant de λ) de sorte que lamatrice de q2 dans la base (e1, e2) soit diagonale a` e´le´ments diagonaux dans {−1, 0, 1}. Retrou-ver les re´sultats de A.2 concernant la signature de q2. On note Λ l’ensemble des re´els λ pourlesquels q2 est de´finie positive.26A.4. Dans cette question uniquement, ou deux parame`tres interviennent, on note q(θ)2 la f.q.de matrice A2(θ) dans la base canonique. Soit λ ∈ Λ et µ ∈ R.A.4.a. Montrer qu’il existe une base (ε1, ε2) de R2 qui est orthonorme´e pour la forme quadra-tique q(λ)2 et orthogonale pour q(µ)2 .A.4.b.* En suivant l’esprit du cours, comment feriez-vous pour la de´terminer ? (On ne de-mande pas d’effectuer les calculs, juste d’expliquer la de´marche).Partie B. On revient au cas p arbitraire. Bien que ce ne soit pas ne´cessaire, vous pouvezcommencer (sur votre brouillon) par traiter les questions pour p = 3 si cela vous aide.B.1. On suppose que λ = 1, et l’on note e1 le premier vecteur de la base canonique.B.1.a. Calculer qp(e1). Calculer Ap(1)e1 et en de´duire le qp−orthogonal de e1, que nousnoterons F .B.1.b. De´terminez une base de F et sa dimension (on ne demande pas de justifier que lesvecteurs propose´s forment une base).B.1.c. En de´duire une base dans laquelle la matrice de qp est diagonale avec e´le´ments diago-naux 1, 0, 0, ..., 0, puis la signature de qp.B.2. En suivant un plan analogue a` B.1, donner la signature de qp et une base orthogonalelorsque λ = −1.B.3. On suppose que |λ| < 1. Montrer que qp est de´finie positive.B.4.* On suppose que |λ| > 1. En travaillant par re´currence sur p, donner la signature de qp(il est conseille´, sur son brouillon, de regarder les cas p = 2, de´ja` re´gle´ en A et les passages dep = 2 a` p = 3, e´ventuellement de p = 3 a` p = 4).Exercice 2. On conside`re la fonction f de´finie sur R2 par f(0, 0) = 0 et pour tous (x, y) 6=(0, 0) :f(x, y) =x3x2 + |y| .On note :O+ = R× R+∗ = {(x, y) ∈ R2, y > 0}O− = R× R−∗ = {(x, y) ∈ R2, y < 0}Oo = R∗ × {0} = {(x, y) ∈ R2, x 6= 0 et y = 0}.1. Re´pondre aux questions suivantes en utilisant les moyens de ce cours : O+ est-il ouvert dansR2 ? ferme´ ? Meˆmes questions pour Oo.2. Simplifiez l’expression de f sur O− (au niveau de la valeur absolue). En de´duire que f estC1 sur O− et donner l’expression des de´rive´es partielles de f sur O−.3. Montrer que f est C1 sur O+ et donner l’expression des de´rive´es partielles de f sur O+.(On pourra soit utiliser un argument de syme´trie par rapport au cas pre´ce´dent pour e´viter lescalculs, soir reprendre un chemin analogue).274. Etudier l’existence des de´rive´es partielles en un point (x0, 0) ∈ Oo.5. On e´tudie maintenant la fonction en (0, 0).5.a. Montrer que f est continue en (0, 0).5.b. Montrer que f admet en (0, 0) une de´rive´e directionnelle dans toute direction h =(h1, h2) ∈ R2, et la calculer.5.c. f est-elle diffe´rentiable en (0, 0) (on justifiera la re´ponse) ?6. On se propose de calculer I =∫ ∫Ef(x, y)dxdy sur l’ensemble Jordan-mesurable :E = {(x, y) ∈ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y ≤ 1}.On se propose de le faire via un changement de variable : (x, y) = φ(u, v) = (v, y = u− v2).6.a. De´terminer le domaine A = φ−1(E) image re´ciproque de E par ce changement de variable.En dessiner une allure.6.b. Ecrire le changement de variables en inte´grant d’abord par rapport a` v (c’est-a`-dire qu’onse ramenera a` une expression du type I =∫ ba[∫ φ2(u)φ1(u)g(u, v)dv]du, ou` a, b sont des re´els et φ1,φ2, g des fonctions explicites a` de´terminer). Terminer le calcul de I.Exercice 3. Les questions 2 et 3 sont inde´pendantes. Soit Ω un ouvert non vide de Rn,f : Ω→ R une fonction continue sur Ω, et a ∈ Ω.Etant donne´ h ∈ Rn, on note Ca,h l’ensemble des applications γ de´finies et continues sur unvoisinage de 0 dans R a` valeurs dans Ω, diffe´rentiables en 0 et telles que γ(0) = a, γ′(0) = h.On dit que f est quasi-diffe´rentiable en a si il existe une application line´aire u : Rn → R telleque pour tout γ ∈ Ca,h, f ◦ γ est de´rivable en 0 et (f ◦ γ)′(0) = u(γ′(0)). u s’appelle unequasi-diffe´rentielle de f en a.1. Soit h ∈ Rn.1.a. Montrer qu’il existe ε > 0 tels que si |t| ≤ ε, alors a+ th ∈ Ω.On de´finit alors σ :]− ε; ε[→ R par σ(t) = a+ th.1.b. Montrer que σ ∈ Ca,h.1.c. De´duire de 1.b. que si f est quasi-diffe´rentiable en h de quasi-diffe´rentielle u, elle admetune de´rive´e directionnelle dans toute direction h et ∂hf(a) = u(h).1.d. En de´duire que u est unique. On la note alors qaf .2. On suppose que f est Lipschitzienne de rapport k (i.e. ∀a, b ∈ Ω, |f(b)−f(a)| ≤ k‖b−a‖), etqu’elle admet des de´rive´es directionnelles dans toute direction, et que h→ ∂hf(a) est line´aire.Montrer que f est quasi-diffe´rentiable et que qaf(h) = ∂hf(a).3. Montrer que si f est diffe´rentiable en a, elle est quasi-diffe´rentiable en a, et qaf = Daf .Partiel de Septembre 2003L’exercice 3 est clq et peut eˆtre traite´ tre`s rapidemnt si vous savez prendre un peu de recul.L’exercice 2 est clq, sauf sa dernie`re question que je classe en diffc. Le dernier exercice estplus the´orique. Ces questions sont moy, sauf celles pre´ce´de´es d’une e´toile qui sont diffc.Exercice 1. Soit E = R3 muni de sa base canonique (e1, e2, e3) et dans lequel on conside`re lesvecteurs u1 = e1 + e2, u2 = e1 − e2, u3 = e1 + e2 + e3. (u1, u2, u3) est une base de E (on ne28demande pas de le de´montrer). On introduit e´galement une forme biline´aire syme´trique ϕ deforme quadratique associe´e q en posant :q(u1) = q(u2) = 1, q(u3) = −1, ϕ(u1, u2) = ϕ(u1, u3) = ϕ(u2, u3) = 0.1. De´terminez la signature de ϕ.2. De´terminer {u1, u2}⊥ϕ .3. De´terminer la matrice de ϕ dans la base (e1, e2, e3).4. De´terminer une base ϕ−orthogonale (vi)i commenc¸ant par le vecteur v1 = e2.Exercice 2. Soit l’application f : R2 → R de´finie par :f(x, y) ={x5+y5x2+y4 si (x, y) 6= (0, 0)0 si x = y = 0.1. Montrer que f est C1 sur R2\{(0, 0)}. De´terminez ses de´rive´es partielles, puis sa diffe´rentielle.2.2.a. Montrer que f est continue en (0, 0). (On pourra, par exemple, montrer que pour tout(x, y) ∈ R2 voisins de (0, 0), |f(x, y)| ≤ 2‖(x, y)‖∞).2.b. Montrer que f admet des de´rive´es directionnelles dans toutes les directions h en (0, 0), etles calculer.2.c. En de´duire les de´rive´es partielles de f en (0, 0).2.d. Montrer a` l’aide de 2.c et de 1 que f n’est pas C1 en (0, 0).2.e. * A l’aide de 2.b, e´tudier si f est diffe´rentiable en (0, 0).Exercice 3. Les questions pre´ce´de´es d’une e´toile sont plus difficiles. O est un ouvert non videde Rn (n ≥ 1).Partie A. Soit deux fonctions continues ϕ1 et ϕ2 de O dans R. On de´finit la fonction ψ : O → Rpar :∀x ∈ O, ψ(x) = max{ϕ1(x), ϕ2(x)} = |ϕ1(x)− ϕ2(x)|+ ϕ1(x) + ϕ2(x)2(on ne demande pas de montrer la dernie`re relation).A.1. Montrer que ψ est continue sur O.A.2. Soit x0 ∈ O et h ∈ Rn. On suppose que ϕ1 et ϕ2 admettent en x0 une de´rive´e directionnellea` droite dans la direction h. On rappelle que la de´finition de la de´rive´e directionnelle a` droiteest :∂+h f(x0) = limt→0+1t[f(x0 + th)− f(x0)] .A.2.a. Montrer (par exemple en revenant a` la de´finition de la de´rive´e directionnelle) que pourtout i ∈ {1, 2}, il existe une fonction εi de´finie au voisinage a` droite de 0 (dans R) a` valeursdans R, de limite nulle a` droite en 0 et telle que :ϕi(x0 + th) = ϕi(x0) + t∂+h ϕi(x0) + tεi(t).A.2.b. On suppose que ϕ1(x0) > ϕ2(x0). Montrer qu’on a encore ϕ1 > ϕ2 sur un voisinage dex0 et en de´duire l’existence et la valeur de ∂+h ψ(x0). (On ne traite pas le cas ϕ1(x0) < ϕ2(x0)qui serait analogue).A.2.c. On suppose que ϕ1(x0) = ϕ2(x0). De´montrer l’existence de ∂+h ψ(x0) et la calculer. (Onpourra utiliser A.2.a et se´parer les cas ∂+h ϕ1(x0) > ∂+h ϕ2(x0) et ∂+h ϕ1(x0) = ∂+h ϕ2(x0)).A.2.d. Re´sumer sous forme la plus synthe´tique possible les re´sultats de la question A.2. Onpourra introduire l’ensemble :I(x0) = {i ∈ {1, 2}, ψ(x0) = ϕi(x0)}.29A.3. Commenter a` l’aide de 2. l’existence d’une de´rive´e a` droite et a` gauche en x0 = π/4 dansle cas suivant : O = R, ϕ1 = sin, ϕ2 = cos.Partie B. Dans cette partie, on se donne un compactK non vide de Rp (p ≥ 1), et l’on conside`rel’ensemble O × K des couples (x, y) avec x ∈ O et y ∈ K. C’est donc un sous-ensemble deRn × Rp, qui est lui-meˆme identifiable a` Rn+p a` l’aide d’une bijection line´aire canonique. Laquestion B.1 est de´licate et non ne´cessaire pour la suite. N’y passez pas trop de temps. On sedonne enfin une fonction f : O ×K → R continue.B.1.* O × K peut-il eˆtre un ouvert de Rp+n ? (On attend une re´ponse avec justification auprogramme de cet enseignement).B.2. On pose, pour a ∈ O :M(a) = supy∈Kf(a, y) ∈ R ∪ {+∞} et Λ(a) = {y ∈ K, f(a, y) =M(a)}(M(a) = +∞ est e´quivalent au fait que l’ensemble des valeurs {f(a, y), y ∈ K} est non majore´).B.2.a. Montrer que pour tout a ∈ O, M(a) ∈ R et que Λ(a) est un compact non vide de Rp.B.2.b. Montrer que pour tous (a, b) ∈ O ×O :|M(a)−M(b)| ≤ supy∈K|f(a, y)− f(b, y)|.B.2.c. * De´duire de B.2.b. que M est continue.B.3. * Rede´montrez le re´sultat deA.1 a` partir deB.2.c. (on attend une justification comple`te).30

Analyse-Algèbre 4

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